五年級(jí)奧數(shù)舉一反三第周之長方體和正方體

長方體和正方體（一）、知識(shí)重點(diǎn)在數(shù)學(xué)比賽中，有很多相關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點(diǎn)： 一定以基本觀點(diǎn)和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件交流起來；依靠已經(jīng)累積的空間觀點(diǎn)，察看經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，能夠經(jīng)過變形的方法來解決。二、精講精練【例題】一個(gè)部件形狀大小以下列圖：算一算，它的體積是多少立方厘米表面積是多少平方厘米（單位：厘米） 練習(xí)：一個(gè)長厘米，寬厘米，高厘米的長方體，被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少把一根長米的長方體木材鋸成米長的兩段，表面積增添了平方分米，求這根木材本來的體積。有一個(gè)長正方體（如圖），有一個(gè)長正方體（如圖），【例題】有一個(gè)長方體形狀的部件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎（單位：厘米）練習(xí)：有一個(gè)形狀以下列圖的部件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。有一個(gè)棱長是厘米的正方體，從它的一個(gè)極點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長是厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少假如把上題中挖下的小正方體粘在另一個(gè)面上（如圖），那么獲得的物體的體積和表面積各是多少假如把上題中挖下的小正方體粘在另一個(gè)面上（如圖），那么獲得的物體的體積和表面積各是多少【例題】一個(gè)正方體和一個(gè)長方體拼成了一個(gè)新的長方體，拼成的長方體的表面積比本來的長方體的表面積增添了平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米練習(xí)：把兩個(gè)完整相同的長方體木塊粘成一個(gè)大長方體，這個(gè)大長方體的表面積比本來兩個(gè)長方體的表面積的和減少了 平方厘米，而長是本來長方體的 倍。假如拼成的長方體的長是 厘米，那么它的體積是多少立方厘米一根長厘米，寬和高都是 厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè)最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米把塊棱長都是分米的正方體粘成一個(gè)長方體，它們的表面積最多會(huì)減少多少平方分米

TOC\o"1-5"\h\z【例題】把塊相同的長方體磚拼成一個(gè)大長方體。已知每塊磚的體積是 立方厘米，求大長方體的表面積?！舅悸穼?dǎo)航】要求大長方體的表面積，一定知道它的長、寬和高。我們用、、分別表示小長方體的長、寬、高，明顯，即 即 ，磚的體積是 。由可知， 。大長方體的長是義 厘米，寬厘米，高是十 厘米，表面積就不難求了。練習(xí)： 一塊小正方體的表面積是平方厘米，那么，由 個(gè)這樣的小正方體所構(gòu)成的大正方體的表面積是多少平方厘米一個(gè)長方體的體積是 立方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長方體的表面積。有 個(gè)正方體，每個(gè)正方體的體積都是立方厘米，用這些正方體能夠拼成幾種不一樣的長方體【例題】一個(gè)長方體，前方和上邊的面積之和是 平方厘米，這個(gè)長方體的長、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長方體的體積和表面積各是多少【思路導(dǎo)航】長方體的前方和上邊的面積是長義寬+長義高長x（寬+高），因?yàn)榇碎L方體的長、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有 Xx（+）,即長、寬、高分別為、、厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就簡單了。練習(xí)：有一個(gè)長方體，它的前方和上邊的面積和是 平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長方體的體積是多少一個(gè)長方體的長、寬、高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是立方厘米，求它的表面積。一個(gè)長方體的長、寬、高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是立方厘米，求它的表面積。一個(gè)長方體和一個(gè)正方體的棱長之長相等，已知長方體長、寬、高分別是分米、分米、分米，求正方體體積。長方體和正方體（二）一、知識(shí)重點(diǎn)在長方體、正方體問題中，我們還會(huì)經(jīng)常碰到這樣一些狀況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體；把兩個(gè)物體融化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占據(jù)一部分的體積。解答上述問題，一定掌握這樣幾點(diǎn)：將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)消耗），體積不變；兩個(gè)物體融化成一個(gè)物體后，新物體的體積是本來物體體積的和；物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。二、精講精練【例題】有兩個(gè)無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長厘米，寬厘米，水面高厘米；乙水箱長厘米，寬厘米，深厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度相同，此刻水面高多少厘米【思路導(dǎo)航】因?yàn)榇撕髢蓚€(gè)水箱里的水面的高度相同，我們能夠這樣思慮：把兩個(gè)水箱并靠在一同，水的體積就是（甲水箱的底面積乙水箱的底面）義水面的高度。這樣，我們只需先求出本來甲水箱中的體積： XX （立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和： X+X （平方厘米），就能獲得此后水面的高度。練習(xí)：有兩個(gè)水池，甲水池長分米、寬分米、水深分米，乙水池空著，它長分米、寬和高都是分米。此刻要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個(gè)水池中水面相同高。問水面高多少有一個(gè)長方體水箱，從面量長厘米、寬厘米、深厘米，箱中水面高厘米。放進(jìn)一個(gè)棱長厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時(shí)水面高多少厘米一段鋼材長分米，橫截面面積是平方分米。假如把它煅燒成一橫截面面積是平方分米的鋼筋，求這依據(jù)鋼筋的長。【例題】將表面積分別為平方厘米、平方厘米和平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體(不計(jì)消耗)，求這個(gè)大正方體的體積?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而 Xx(X),所以這個(gè)正方體的棱是厘米。用相同的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長： X(X),棱長是厘米；X(X)，棱長是厘米。知道了棱長就能夠分別算出它們的體積，這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)：有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是平方厘米、平方厘米和平方厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的體積。將表面積分別為平方厘米和平方厘米的兩個(gè)正方體鐵塊熔成一個(gè)長方體，已知這個(gè)長方體的長是厘米，寬厘米，求它的高。把塊邊長是分米的正方體鐵塊熔成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面積是多少平方分米【例題】有一個(gè)長方體容器，從里面量長分米、寬分米、高分米，里面注有水，水深分米。假如把一塊邊長分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上漲多少分米【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是XX(立方分米)，把它浸入水中后，它就占了立方分米的空間，所以，水上漲的體積也就是立方分米，用這個(gè)體積除以底面積(X)就能獲得水上漲的高度了。練習(xí)：有一個(gè)小金魚缸，長分米、寬分米、水深分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上漲分米。這塊假山石的體積是多少立方分米有一個(gè)正方體容器，邊長是厘米，里面注滿了水。有一根長厘米，橫截面是平方厘米的長方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會(huì)溶出多少立方厘米的水有一塊邊長是厘米的正方體鐵塊，淹沒在一個(gè)長方體容器里的水中。拿出鐵后，水面降落了厘米。這個(gè)長方體容器的底面積是多少平方厘米【例題】有一個(gè)長方體容器（以下列圖），長厘米、寬厘米、高厘米，里【例題】有一個(gè)長方體容器（以下列圖），長厘米、寬厘米、高厘米，里面的水深厘米。假如把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)當(dāng)是多少厘米【思路導(dǎo)航】第一求出水的體積： XX （立方厘米）。當(dāng)容器豎起來此后，水流動(dòng)了，但體積沒有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)底面積是X 平方厘米的長方體。只需用體積除以底面積就知道此刻水的深度了。練習(xí)：有兩個(gè)長方體水缸，甲缸長分米，寬和高都是分米；乙缸長分米、寬分米，里面的水深分米?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米有一塊邊長分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長方體，這長方體的截面是一個(gè)長厘米、寬厘米的長方形，求它的長。像例題中所說，假如讓長 厘米、寬 厘米的面朝下，這時(shí)的水深又是多少厘米【例題】長方體不一樣的三個(gè)面的面積分別為平方厘米、 平方厘米和平方厘米。這個(gè)長方體的體積是多少立方厘米【思路導(dǎo)航】長方體不一樣的三個(gè)面的面積分別是長X寬、長義高、寬義高得來的。因此，XX（長義寬義高）義（長X寬義高），而XX X。所以，這個(gè)長方體的體積是立方厘米。練習(xí)：平方厘米和平方厘米，一個(gè)長方體，不一樣的三個(gè)面的面積分別是平方厘米、

平方厘米和平方厘米，這個(gè)長方體的體積是多少立方厘米一個(gè)長方體，不一樣的三個(gè)面的面積分別是 平方厘米、 平方厘米和平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長方體的體積是多少立方厘米一個(gè)長方體的體積是立方厘米，而且長、寬、高是三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)。這個(gè)長方體的表面積是多少平方厘米長方體和正方體、知識(shí)重點(diǎn)解答相關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要確實(shí)掌握長方體、正方體的特點(diǎn)，熟習(xí)計(jì)算方法，認(rèn)真剖析每一步操作后表面幾何體積的等比狀況外，還一定知道：把一個(gè)長方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增添的表面積等于切面面積的兩倍。二、精講精練【例題】一個(gè)棱長為厘米的正方體木塊，假如把它鋸成棱長為厘米的正方體若干塊，表面積增添多少厘米【思路導(dǎo)航】把棱長為厘米的正方體鋸成棱長為厘米的正方體，能夠按下列圖中的線共鋸次，每鋸一次就增添兩個(gè)義 平方厘米的面，鋸次共增添義義 平方厘米的面積。所以，鋸好后表面積增添平方厘米。練習(xí)：把塊棱長是厘米的小正方體堆成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面積比本來全部的小正方體的表面積之和少多少平方厘米有一個(gè)棱長是米的正方體木塊，假如把它鋸成體積相等的個(gè)小正方體，表面積增添多少平方米把一個(gè)正方體的六個(gè)面都涂上紅色，而后把它鋸兩次鋸成個(gè)相同的小長方體，沒有涂顏色的面積是平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米【例題】有一個(gè)正方體木塊，把它分紅兩個(gè)長方體后，表面積增添了平方厘米，這個(gè)正方體木塊本來的表面積是多少平方厘米【思路導(dǎo)航】把正方體分紅兩個(gè)長方體后，增添了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是 +平方厘米，而正方體有 個(gè)這樣的面。所以原正方體的表面積是 X 平方厘米。練習(xí)：把三個(gè)棱長都是厘米的正方體拼成一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積是多少平方厘米有一個(gè)正方體木塊，長分米、寬分米、高分米，此刻把它鋸成兩個(gè)長方體，表面積最多增添多少平方分米有三塊完整相同的長方體積木，它們的長是厘米、寬厘米、高厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成一個(gè)大的長方體，如何搭表面積最大最大是多少平方厘米【例題】有一個(gè)正方體，棱長是分米。假如按下列圖把它切成棱長是分米的小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少想想：在切的過程中，每切全部，就會(huì)增添兩個(gè)X平方分米的面，你能用這類思路來計(jì)算所求問題嗎練習(xí)：用棱長是厘米的小正方體擺成一個(gè)稍大一些的正方體，起碼需要多少個(gè)小正方體假如要擺一個(gè)棱長是厘米的正方體，需要多少個(gè)小正方體有一個(gè)長方體，長厘米、寬厘米、高厘米，假如把它鋸成棱長是厘米的小正方體，一共能鋸多少個(gè)這些小正方體的表面積和是多少把個(gè)棱長是厘米的小正方體擺成一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積起碼是多少平方厘米【例題】一個(gè)正方體的表面涂滿了紅色，而后以下列圖切開，切開的小正方體中:()三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)()二個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)()一個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)()六個(gè)面都沒有涂色的有幾個(gè)TOC\o"1-5"\h\z【思路導(dǎo)航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有 XX個(gè)。()三個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的極點(diǎn)處，共有 個(gè)；()二個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有 X個(gè)；()一個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個(gè)面上，共有 X個(gè);()六個(gè)面都沒有涂色的在大正方體的中間，有 一(++)個(gè)。練習(xí)：把一個(gè)棱長是厘米的正方體的六個(gè)面涂滿紅色，而后切成立方厘米的小正方體，把一個(gè)棱長是厘米的正方體的六個(gè)面涂滿紅色，而后切成立方厘米的小正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個(gè)面都沒有涂色的各有多少個(gè)把若干個(gè)體積相同的小正方體堆成一個(gè)大的正方體，而后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有個(gè)，那么，這些小正方體一共有多少個(gè)把立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，而后切成立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個(gè)面都沒有涂色的有多少個(gè)【例題】一個(gè)長方體的長、寬、高分別是厘米、厘米和厘米，若把它切割成三個(gè)體積相等的小長方體，這三個(gè)小長方體表面積的和最大是多少平方厘米【思路導(dǎo)航】這個(gè)長方體本來的表面積是(X+X+x)x平方厘米，每切割一刀，增添個(gè)面。切成三個(gè)體積相等的小