第四章能帶理論

第四章能帶理論第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三將T()和H同時(shí)作用在任意函數(shù)f(r)上，由于2在正交變換下形式不變，而坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、反演、反映等都是正交變換，所以，第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三而電子的勢能函數(shù)U(r)應(yīng)具有與晶格相同的對稱性，即由于f(r)是任意函數(shù)，所以T()與H可對易由此可以可得一個(gè)推論：若n,k(r)是晶體波動(dòng)方程的解，那么，T()n,k(r)也是方程的解，且n,k(r)與T()n,k(r)有相同的能量本征值。第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三在晶體中電子運(yùn)動(dòng)的本征態(tài)波函數(shù)為Bloch函數(shù)這里n為能帶標(biāo)記，k為簡約波矢，對應(yīng)的能量本征值為En(k)。將T()作用在n,k(r)上得，由于是正交變換，因此，有另外，由于也是以Rl為周期的周期函數(shù)，因此，可以改寫為第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三這表明，用T()作用在Bloch函數(shù)的結(jié)果只是將簡約波矢k變換到另一個(gè)簡約波矢k。根據(jù)上面的推論，它們應(yīng)具有相同的能量本征值。所以，有這表明，在k空間中En(k)具有對稱性，將取遍晶體點(diǎn)群的所有對稱操作，上式都成立。于是，我們就證明了，在k空間中En(k)具有與晶體點(diǎn)群完全相同的對稱性。第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三另外，由于在晶體中電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓算符是實(shí)算符，H*＝H，所以，如果n,k(r)是方程的解，那么*n,k(r)也是方程的解，且這兩個(gè)解具有相同的能量本征值。即在晶體中，第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三另一方面，用－k取代k，得

需要指出的是，這個(gè)結(jié)論不依賴于晶體的點(diǎn)群對稱性，不管晶體中是否有對稱中心，在k空間中En(k)總是有反演對稱的。這實(shí)際上是時(shí)間反演對稱性的結(jié)果。

從以上討論可以看出，對于同一能帶，有來自于晶格的周期性來自于晶體的點(diǎn)群對稱性來自于時(shí)間反演對稱性第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三PP’’P’kxky以二維正方晶格為例，二維正方晶格的點(diǎn)群是C4V(4mm),所以，對于一般位置P，在簡約區(qū)中共有8個(gè)點(diǎn)與P點(diǎn)對稱相關(guān)。在這些點(diǎn)，電子都有相同的能量En(k)。因此，我們只需研究清楚簡約區(qū)中1/8空間中電子的能量狀態(tài)，就可以知道整個(gè)k空間中的能量狀態(tài)了。我們將這部分體積稱為簡約區(qū)的不可約體積。依此類推，對于立方晶系的Oh(m3m)點(diǎn)群，只需研究(1/48)b即可。第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三XZMkxky-/a/a-/a

對于一般位置k，簡約區(qū)中對稱相關(guān)的波矢量數(shù)就等于點(diǎn)群的階數(shù)。但若k在簡約區(qū)中的某些特殊位置（對稱點(diǎn)、對稱軸或?qū)ΨQ面）上，即在晶體點(diǎn)群中，存在某些對稱操作，使得k=k

或k=k+Gl這時(shí)，簡約區(qū)中等價(jià)波矢量數(shù)就少于點(diǎn)群的階數(shù)。在二維正方晶格的簡約區(qū)中，k有以下特殊位置：第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三MXRZST簡單立方晶格的簡約區(qū)中k的特殊位置：第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三二、自由電子的能帶自由電子的能量為這里，k’為廣延波矢，不一定在簡約區(qū)中，但我們一定可以找到唯一一個(gè)倒格矢Gn’,使得k為簡約波矢。1.一維情況k為簡約波矢第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三為簡單，取k的單位為En(0)(k)的單位為第一能帶：n=1，n’=0相應(yīng)波函數(shù)：第二能帶：n=2，n’=－1相應(yīng)波函數(shù)：第三能帶：n=3，n’=1相應(yīng)波函數(shù)：第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三2.二維情況：例：二維正方晶格的簡約區(qū)中沿X（即kx）軸作出En(0)(k)曲線。為簡單，取kx、ky的單位為En(0)(k)的單位為XZMkxky-/a/a-/a在X軸上，ky=0第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1)(0,1)(1,1)(1,1)相應(yīng)的波函數(shù)為顯然，當(dāng)n1和n2的絕對值最小時(shí)，相應(yīng)的能量最低。（第一布里淵區(qū)）（單）相應(yīng)的波函數(shù)：第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三第一近鄰倒格點(diǎn)：（單）波函數(shù)：（雙）波函數(shù)：{（單）波函數(shù)：第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三第二近鄰倒格點(diǎn)：（雙）相應(yīng)的波函數(shù)：{（雙）相應(yīng)的波函數(shù)：{第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三LXU,KLXU,KEnergy(eV)LXU,K第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三§6.6能態(tài)密度和費(fèi)米面一、能態(tài)密度1.定義能態(tài)密度：dSdkkxkyEE+dEdZ為能量在E－E+dE兩等能面間的能態(tài)數(shù)（考慮了電子自旋），即能態(tài)密度為能帶中單位能量間隔內(nèi)的電子能態(tài)數(shù)。dZ=2(k)(k空間中能量在E－E+dE兩等能面間的體積)第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三2.近自由電子的能態(tài)密度對于自由電子：在k空間中，能量為E的等能面是半徑為的球面，在球面上第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

考慮周期場的影響，在近自由電子情況下，周期場的影響主要表現(xiàn)在布里淵區(qū)邊界附近，而離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)處，周期場對電子運(yùn)動(dòng)的影響很小。以簡單立方晶體為例，考察第一布里淵區(qū)中等能面的一個(gè)二維截面。在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)外側(cè)附近各作一個(gè)自由電子的等能面（球面）。第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三0QQ’PNMM’在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)側(cè)：對自由電子：EP(0)=EQ(0)考慮周期場的影響：EQ(0)↘EQ，EP(0)EP

所以，EP>EQ在布里淵區(qū)邊界面的外測：對自由電子：EN(0)=EM(0),考慮周期場影響后，EM(0)↗EM，EN(0)EN，即，考慮周期場影響后，EM>EN。所以，考慮周期場影響后，在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)側(cè)與外側(cè)等能面均形成向外突出的凸面。第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三近自由電子的等能面近自由電子的能態(tài)密度EA第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三N(E)N(E)EBⅡEBⅡECⅠECⅠEE當(dāng)ECⅠ>EBⅡ時(shí)，出現(xiàn)能帶重疊；當(dāng)ECⅠ<EBⅡ時(shí)，有能隙（禁帶）。第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三3.緊束縛近似的能態(tài)密度

以簡單立方晶格s帶為例來研究緊束縛近似的能態(tài)密度的特征。

在k=0，即能帶底附近，等能面近似為球面，但隨著E的增大，等能面明顯偏離球面。第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三N(E)E0E0–6J1E0–2J1E0+6J1E0+2J1緊束縛近似的等能面緊束縛近似的能態(tài)密度

在、X、M和R點(diǎn)處，kE=0，這些點(diǎn)稱為VanHove奇點(diǎn)，這些點(diǎn)都是布里淵區(qū)中的高對稱點(diǎn)。E(Γ)E(X)E(M)E(R)第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三二、費(fèi)米面這里僅就近自由電子的費(fèi)米面結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論。對金屬，由于EＦ０>>KBT，所以，在T>0時(shí)，只有費(fèi)米面附近的少量電子受到熱激發(fā)，其費(fèi)米半徑的相對變化為在室溫下，這個(gè)比值約為10－2，因此，可以認(rèn)為金屬的費(fèi)米面基本上與T無關(guān)。第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三1.費(fèi)米面的構(gòu)造步驟

根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)畫出倒易空間中擴(kuò)展的布里淵區(qū)圖形；按電子濃度求出相應(yīng)的費(fèi)米半徑，并作出費(fèi)米球

（或費(fèi)米園）；將處在各個(gè)布里淵區(qū)中的費(fèi)米球（園）分塊按倒格矢

平移到簡約區(qū)中，來自第n個(gè)布里淵區(qū)的對應(yīng)于第n個(gè)

能帶，于是在簡約區(qū)中得到對應(yīng)于各個(gè)能帶的費(fèi)米面

圖形；按照近自由電子作必要的修正。第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三2.修正的依據(jù)

電子的能量只在布里淵區(qū)邊界附近偏離自由電子能量，

等能面在布里淵區(qū)邊界面附近發(fā)生畸變，形成向外突

出的凸包；等能面幾乎總是與布里淵區(qū)邊界面垂直相交；費(fèi)米面所包圍的總體積僅依賴于電子濃度，而不取決

于電子與晶格相互作用的細(xì)節(jié)；周期場的影響使費(fèi)米面上的尖銳角圓滑化。第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三證明在一般情況下，等能面與布里淵區(qū)邊界面垂直相交：在k空間中，En(k)具有反演對稱性，En(k)＝En(－k)又由于En(k)的平移對稱性，En(k)＝En(kGn’)在布里淵區(qū)邊界面附近，將k分解為k＝k∥＋k，由于布里淵區(qū)邊界面是倒格矢的垂直平方面，所以，在布里淵區(qū)邊界面上，有第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三沿布里淵區(qū)邊界面的法線方向上，如果沿一個(gè)邊界面的法線方向上處處都有那么，與該邊界面相交的等能面必與此邊界面垂直。第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三例：二維正方晶格近自由電子的費(fèi)米面圖形。設(shè)二維晶格的晶格常數(shù)為a，晶體的原胞數(shù)為N，k的分布密度：如果晶體中平均每個(gè)原子有個(gè)價(jià)電子，稱其電子濃度為電子/原子。對于簡單晶格，每個(gè)原胞中只有一個(gè)原子，則晶體的價(jià)電子總數(shù)為第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三其中為簡約區(qū)的內(nèi)切園半徑電子濃度kF/