第四章 影響線

第四章影響線1第1頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四本章討論：靜定結(jié)構(gòu)的影響線。主要內(nèi)容有：

1、影響線的概念、影響線與內(nèi)力圖的區(qū)別；2、靜力法作靜定結(jié)構(gòu)的影響線，影響函數(shù)的意義；3、機(jī)動(dòng)法作靜定結(jié)構(gòu)的影響線的原理、步驟(概念要清楚、作影響線要快速)；4、影響線的應(yīng)用：兩個(gè)方面(1)確定固定荷載下結(jié)構(gòu)的各種量值(內(nèi)力、反力)；(2)確定移動(dòng)荷載的最不利位置。

5、了解簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖和絕對(duì)最大彎矩。2第2頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四前面各章討論的荷載都是固定荷載，荷載作用點(diǎn)的位置是固定不變的。但是有些結(jié)構(gòu)要承受移動(dòng)荷載，荷載作用點(diǎn)在結(jié)構(gòu)上是移動(dòng)的。本章著重討論結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題具有結(jié)構(gòu)內(nèi)力隨荷載的移動(dòng)而變化的特點(diǎn)，為此需要研究?jī)?nèi)力的變化范圍和變化規(guī)律?！?-1影響線的基本概念3第3頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)計(jì)時(shí)必須以內(nèi)力的最大值作為設(shè)計(jì)依據(jù)，為此需要確定荷載的最不利位置，即使結(jié)構(gòu)某個(gè)內(nèi)力或支座反力達(dá)到最大值的荷載位置。即：1、主要討論移動(dòng)荷載下靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力變化(變化范圍、變化規(guī)律)和內(nèi)力計(jì)算問(wèn)題。2、確定荷載的最不利位置(使結(jié)構(gòu)某個(gè)內(nèi)力或支座反力達(dá)到最大值的荷載位置)。4第4頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、移動(dòng)荷載荷載可以按照不同的方法進(jìn)行分類，下面給出按特征進(jìn)行分類的結(jié)果：移動(dòng)荷載荷載按作用時(shí)間恒載(固定)活載可動(dòng)荷載(占任意位置)簡(jiǎn)例：工業(yè)廠房中，吊車梁受吊車輪壓的作用。5第5頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四FPFPdlABFRAFRB

計(jì)算簡(jiǎn)圖：當(dāng)?shù)踯囈苿?dòng)時(shí)，各輪壓的大小、方向及輪壓間距d不變。吊車右移時(shí)：支座反力FRA、FRB

和梁上各截面的內(nèi)力(M、FQ)隨荷載的移動(dòng)而發(fā)生變化。

當(dāng)梁上有兩組荷載移動(dòng)時(shí)，梁的受力情況將更復(fù)雜。6第6頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

移動(dòng)荷載：荷載的大小、方向一定，但荷載位置連續(xù)變化的荷載。

移動(dòng)荷載有時(shí)也是連續(xù)的，如橋梁上通過(guò)的人群和履帶車輛等。但是通常是一組互相平行且間距不變的豎向荷載（吊車輪壓對(duì)吊車梁而言是移動(dòng)荷載、汽車、火車輪壓對(duì)橋梁來(lái)說(shuō)也是移動(dòng)荷載）。汽車或火車輪壓產(chǎn)生的移動(dòng)荷載的特點(diǎn)是：一組豎向集中力（可包括均布荷載），各集中力的大

7第7頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小、方向固定，相互間的位置也固定，作為整體在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)。

FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q在移動(dòng)載荷作用下，結(jié)構(gòu)任意截面的內(nèi)力（M、FQ

、FN）和位移（△、θ）及支座反力均隨移動(dòng)荷載在結(jié)構(gòu)上的位置變化而變化。8第8頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、問(wèn)題的提出結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下，主要討論下述問(wèn)題：1、對(duì)于給定截面C，其位移或內(nèi)力（例如Mc）當(dāng)給定的移動(dòng)荷載在什么位置時(shí)得到最大值？即：(1)結(jié)構(gòu)的位移、反力和內(nèi)力最大值是多少？(2)最大值發(fā)生在哪個(gè)截面上？(3)荷載(輪壓)移動(dòng)到何位置時(shí)上述情況發(fā)生？

該問(wèn)題是求移動(dòng)荷載的最不利位置問(wèn)題。9第9頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、對(duì)于給定的移動(dòng)荷載組，簡(jiǎn)支梁AB上哪個(gè)截面的彎矩當(dāng)移動(dòng)荷載在什么位置時(shí)取得最大值？該問(wèn)題是簡(jiǎn)支梁絕對(duì)最大彎矩的求解問(wèn)題。此外，還要討論簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖的畫法等問(wèn)題。為求解以上問(wèn)題，首先要討論結(jié)構(gòu)影響線的求解。實(shí)際移動(dòng)荷載是由若干集中力及均布荷載組成的，而且每個(gè)集中力的大小也不同。但我們首先要討論的是具有共性的問(wèn)題，即單個(gè)移動(dòng)荷載FP=110第10頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移的變化規(guī)律。現(xiàn)討論下圖所示簡(jiǎn)支梁，當(dāng)單個(gè)荷載FP=1在梁上移動(dòng)時(shí)，支座A的反力FRA的變化規(guī)律。

FP=1xBAlFRA11第11頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由上式可見(jiàn)，F(xiàn)RA與FP成正比，比例系數(shù)稱為FRA的影響系數(shù)，用表示，即：上式是反力影響系數(shù)與移動(dòng)荷載位置參數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)圖形就稱為反力

FRA的影響線。xyFRA影響線1y(無(wú)量綱)12第12頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在影響線圖形中，橫坐標(biāo)x表示單位移動(dòng)荷載在梁上的位置；縱坐標(biāo)y表示當(dāng)單位荷載在該位置時(shí)，影響系數(shù)的大小。若梁上作用有固定荷載，則根據(jù)疊加原理，A支座的反力FRA為：BFP1AFP2xyy1y2FRA影響線113第13頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、影響線定義

當(dāng)單位集中移動(dòng)荷載FP=1在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)，表示結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z變化規(guī)律的曲線，稱為該量值Z的影響線。量值Z可以是截面內(nèi)力或位移，也可以是支座反力。影響系數(shù)是Z與FP的比例系數(shù)，即：14第14頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四與Z的量綱不同，它們相差荷載FP的量綱。如FRB的量綱是[力]，則的量綱是[力]/[力]，即無(wú)量綱。1、影響線豎標(biāo)(縱坐標(biāo))的含義某量值Z的影響線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示荷載FP=1作用于此點(diǎn)時(shí)該量值的大?。ㄓ绊懴禂?shù)）。2、影響線的作用(1)求得某量值的最大值；(2)確定該量值的最不利荷載位置。15第15頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、繪制影響線的規(guī)定(1)反力向上為正；(2)彎矩以梁的下側(cè)受拉為正；(3)剪力以使截面所在段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。(4)正值畫在基線(梁軸線)上側(cè)，負(fù)值畫在下側(cè)。16第16頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4-2靜力法作影響線作影響線的方法有兩種：靜力法;機(jī)動(dòng)法。本節(jié)討論：靜力法靜力法：以荷載作用位置x為變量，利用靜力平衡方程寫出影響函數(shù)，作出影響線。17第17頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四梁彎矩M的正負(fù)號(hào)：剪力FQ的正負(fù)號(hào)：一、內(nèi)力和支座反力的正負(fù)號(hào)軸力FN的正負(fù)號(hào)：豎向反力通常以向上為正，向下為負(fù)。18第18頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、簡(jiǎn)支梁的影響線FP=1xBAlabC

靜力法作影響線：用靜力平衡方程求出的函數(shù)關(guān)系，然后畫出函數(shù)圖形就求得了的影響線。19第19頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.支座反力影響線FRA影響線1FRB影響線120第20頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.彎矩和剪力影響線當(dāng)FP=1在AC段，取CB段作隔離體：bBCFP=1xBAlabC分析上式：21第21頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)FP=1在CB段，取AC段作隔離體：aCA分析上式：FP=1xBAlabC22第22頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四截面C彎矩和剪力影響線如下圖示。abMC影響線

FQC影響線

llal23第23頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由以上可知：

1、作MC的影響線時(shí)

①可按的影響線作MC的影響線，

的影響線擴(kuò)大b倍，的影響線擴(kuò)大a倍，按x的范圍選取。②彎矩MC的影響系數(shù)的量綱是[長(zhǎng)度]。

abMC影響線

24第24頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2、作的影響線時(shí)：①可用的影響線畫出QC影響線；②AC、BC段上

的影響線互相平行；③影響系數(shù)為無(wú)量綱量；④的影響系數(shù)在作用在C點(diǎn)時(shí)無(wú)意義（突變正到負(fù)）。FQC影響線

llal25第25頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四下面討論影響線與內(nèi)力圖的區(qū)別。xFP=1ACablBDACablBFP=1D影響線

FQC影響線

MC影響線

ydFQC圖

內(nèi)力圖

ydMC圖26第26頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1）橫坐標(biāo)x：影響線圖中，x是移動(dòng)荷載的位置；內(nèi)力圖中，x是梁截面位置。2）縱坐標(biāo)y：影響線圖中，y是當(dāng)FP=1在該位置時(shí)影響系數(shù)的值；內(nèi)力圖中，y是梁該截面的內(nèi)力值。3）荷載位置：求影響線時(shí)，F(xiàn)P=1是移動(dòng)荷載；內(nèi)力圖中，荷載位置固定。即：MC的影響線：是指定截面C的彎矩MC隨FP=1的位置參數(shù)x而變化的規(guī)律曲線。27第27頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四彎矩圖MC：表示的是當(dāng)FP作用在C點(diǎn)時(shí)，不同截面彎矩的分布規(guī)律(截面隨x而變化)。且作圖規(guī)定不同：M圖畫在受拉側(cè)；影響線是在規(guī)定使梁下側(cè)受拉時(shí)為正，畫在梁的上側(cè)，當(dāng)影響系數(shù)的值為負(fù)時(shí)，畫在梁的下側(cè)。MC影響線

ydydMC圖28第28頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四豎標(biāo)的含義：在MC的影響線中：yD

—當(dāng)FP=1作用在D點(diǎn)時(shí)，C截面彎矩MC的影響值。在彎矩圖M中：yD

—當(dāng)FP固定作用在C點(diǎn)時(shí)，在D截面產(chǎn)生的彎矩MD的值。下面分析FQC影響線：看其特點(diǎn)。MC影響線

ydydMC圖29第29頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ACBFP=1FQC左=b/lFQC右=-a/l在FQC影響線圖中，豎標(biāo)是當(dāng)FP=1作用于C截面時(shí)，F(xiàn)QC左的值；豎標(biāo)則是FQC右的值，如下圖所示。FQC影響線

llal30第30頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、伸臂梁的影響線

作伸臂梁的影響線時(shí)，先畫出簡(jiǎn)支梁的影響線，然后延伸至懸臂段。1.支座反力影響線作FRA及FRB的影響線如右圖示。lFRA影響線

lFRB影響線xFP=1ACablBddED31第31頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)FP=1在DC段時(shí)，取CE段作隔離體(圖a)：2.C截面彎矩及剪力影響線當(dāng)FP=1在CE段時(shí)，取DC段作隔離體(圖b)：bBCdEa)dADaCb)32第32頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四MC影響線FQC影響線MC及FQC影響線如下圖示：3.作FQA右及A左截面內(nèi)力影響線

先作FQA右影響線。33第33頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四FQA右影響線如下圖示。當(dāng)FP=1在DA段，取AE段作隔離體（圖a)：當(dāng)FP=1在AE段，取DA段作隔離體（圖b)：A右dDb)lBdEa)A右34第34頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四容易求得FQA左及MA左影響線見(jiàn)下圖。小結(jié)：伸臂梁簡(jiǎn)支段AB某截面彎矩和剪力的影響線在AB段與簡(jiǎn)支梁相同，伸臂段圖形則是簡(jiǎn)支段圖形的延伸。d1MA左影響線FQA左影響線FQA右影響線l伸臂段上某截面內(nèi)力影響線只在截面到梁端有影響，其余部分上無(wú)影響。35第35頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如圖簡(jiǎn)支梁AB，荷載FP=1在上部縱梁上移動(dòng)，縱梁支在橫梁上，橫梁由主梁支承。[作用在縱梁上的荷載通過(guò)橫梁形成主梁上的荷載（結(jié)點(diǎn)荷載）]。求主梁AB某截面內(nèi)力Z的影響線。四、結(jié)點(diǎn)荷載作用下梁的影響線FP=1ACDKxB縱梁橫梁主梁36第36頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由下面的證明可以得出結(jié)論：在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，主梁截面K某內(nèi)力Z的影響線在相鄰結(jié)點(diǎn)之間是一條直線。下面以MK為例加以證明。證明：1）在直接移動(dòng)荷載作用下，MK的影響線已經(jīng)畫出。當(dāng)FP=1在截面C或D時(shí)，可得（見(jiàn)圖a)）MK影響線（直接荷載）AKBa)ydycCD37第37頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，當(dāng)移動(dòng)荷載FP=1作用在C﹑D截面之間時(shí)，根據(jù)疊加原理可得（圖b)：dCDKFP=1b)可見(jiàn)，是的一次函數(shù)，也是x的一次函數(shù)。所以，MK影響線在結(jié)點(diǎn)C、D之間是一直線。反力反力38第38頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四MK影響線（結(jié)點(diǎn)荷載）ACKDBycydc)結(jié)點(diǎn)荷載作用下

MK影響線如下圖c)所示：在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，

FQK影響線如下圖所示：FQK影響線ACKDB39第39頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作結(jié)點(diǎn)荷載下影響線的步驟為：1）作截面K的某量值Z在直接移動(dòng)荷載下的影響線，并確定與各結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。2）確定與各結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)，在兩結(jié)點(diǎn)之間連以直線，就得到結(jié)點(diǎn)荷載作用下的影響線。結(jié)論：在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，主梁中任一截面的內(nèi)力影響線在相鄰兩結(jié)點(diǎn)間為一直線，且結(jié)點(diǎn)處影響線豎標(biāo)與直接荷載下完全相同。在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，主梁在相鄰結(jié)點(diǎn)之間沒(méi)有外力，因此各截面的剪力都相等，稱為結(jié)間剪力。40第40頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4-2-1

作圖示梁在結(jié)點(diǎn)荷載作用下的影響線。FP=1ACDxFEd/2d/22d/3ddddd解：d/2d/23d/4MC影響線d/21/3FQC影響線1/31/31/21/241第41頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5d/6d/35d/12MD影響線FQD影響線1/61/35/62/3FP=1ACDxFEd/2d/22d/3ddddd42第42頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ME影響線2d/3FQF左影響線1/31/32/31/31/32/3FQF右影響線1/3FP=1ACDxFEd/2d/22d/3dddddF點(diǎn)左側(cè)結(jié)間剪力F點(diǎn)右側(cè)結(jié)間剪力43第43頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四五、靜定平面桁架影響線平面桁架只承受結(jié)點(diǎn)荷載，單位移動(dòng)荷載FP=1通過(guò)縱梁﹑橫梁（橫梁放置在結(jié)點(diǎn)上）系統(tǒng)傳給桁架結(jié)點(diǎn)，如同前面討論的簡(jiǎn)支梁受結(jié)點(diǎn)荷載的情況一樣。因此，桁架任一桿的軸力影響線在兩結(jié)點(diǎn)之間是一直線。求桁架桿件軸力的影響線時(shí)，把單位移動(dòng)荷載FP=1依次作用在各結(jié)點(diǎn)上，用結(jié)點(diǎn)法或截面法求出桿件的軸力即可。44第44頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4-2-2

作圖示桁架FN1﹑FN2的影響線。FP=1AEFFP=121BCD5dIIh解：1）支座反力FRA﹑FRB的影響線與跨度為5d的簡(jiǎn)支梁相同。45第45頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2)

求FN1的影響線（上承）當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)C左側(cè)，取截面I-I以右為隔離體：當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)D右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：ABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hFN1影響線（上承）6d/5h相應(yīng)簡(jiǎn)支梁F截面的彎矩。46第46頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四求FN1的影響線（下承）當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)E左側(cè)，取截面I-I以右為隔離體：當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)F右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：ABEF6d/5hFN1影響線（下承）2d/h3d/h相應(yīng)簡(jiǎn)支梁F截面的彎矩。47第47頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3)

求FN2的影響線（上承）當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)C左側(cè)，取截面I-I以右為隔離體：當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)D右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：——相應(yīng)簡(jiǎn)支梁節(jié)間CD的剪力。hd/248第48頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ABCDFN2影響線(上承)hd/2求FN2的影響線（下承）當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)E左側(cè)，取截面I-I以右為隔離體：49第49頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)FP=1在結(jié)點(diǎn)F右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：——相應(yīng)簡(jiǎn)支梁節(jié)間EF的剪力。ABEFFN2影響線（下承）hd/250第50頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4-3機(jī)動(dòng)法作影響線

機(jī)動(dòng)法作靜定結(jié)構(gòu)影響線是應(yīng)用虛功原理把求影響線的靜力平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為作剛體位移圖的幾何問(wèn)題。機(jī)動(dòng)法的優(yōu)點(diǎn)：

①不需經(jīng)過(guò)計(jì)算就能快速繪出影響線的輪廓；②

用來(lái)校核靜力法作出的影響線。

對(duì)于某些問(wèn)題，用機(jī)動(dòng)法處理特別方便(例如，在確定荷載最不利位置時(shí)，往往只需知道影響線的輪廓，而無(wú)需求出其數(shù)值)。51第51頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于單跨或多跨梁，由于剛體位移圖很容易確定，所以影響線的求解十分簡(jiǎn)捷?，F(xiàn)以下圖所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影響線為例進(jìn)行說(shuō)明。FP=1xl/4l/4lAB實(shí)施過(guò)程：撤去與FRB相應(yīng)的約束，代之以反力Z=FRB，使體系成為機(jī)構(gòu)；然后給體系以虛位移Z

；列出虛功方程，獲得影響函數(shù)；得出影響線。52第52頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四具體步驟：1、撤去與相應(yīng)的約束，代之以反力，原結(jié)構(gòu)變成具有一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)。

2、令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使與Z方向一致，虛位移圖如上圖所示；3、列虛功方程：FP=1xAB影響線的輪廓53第53頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上式中，恒為正；與FP同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)。乘積的正負(fù)號(hào)由的正負(fù)號(hào)調(diào)整?？梢?jiàn)，在圖中，令，并將圖反號(hào)，就求得Z的影響線，并且能確定影響線的正負(fù)號(hào)(基線以上為正，以下為負(fù))及豎標(biāo)大小。4、由上式可得:令得到是x的函數(shù)是常量，與x無(wú)關(guān)54第54頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四AB1FRB影響線AB1FRA影響線同理可得FRA的影響線：55第55頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4-3-1用機(jī)動(dòng)法求圖示伸臂梁MC及FQC的影響線。FP=1ABC2ddddx解：1、作MC的影響線將C截面變?yōu)殂q接，暴露出彎矩；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面相對(duì)轉(zhuǎn)角與同向，就得到圖，見(jiàn)下頁(yè)圖。

56第56頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四虛功方程為:

ABC57第57頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四令則上式表明，在圖中，令并反號(hào)，就可求得MC影響線。MC影響線2、作FQC的影響線

將C截面改為滑動(dòng)連結(jié)，暴露出剪力；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面位移方向與相同，就得到圖，見(jiàn)下頁(yè)圖。58第58頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四虛功方程為:

令則兩條線保持平行ABC59第59頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上式表明，在圖中，令并反號(hào)，就可求得FQC影響線。FQC影響線CAB（機(jī)構(gòu)圖）60第60頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5-3-2

用機(jī)動(dòng)法作圖示靜定多跨梁的影響線。xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/2FRA影響線ABD解：1、作FRA的影響線61第61頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ACDBMB影響線AB是靜定部分，無(wú)剛體變形2、作MB的影響線xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/262第62頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四FQB左影響線DACB特別注意虛位移圖虛位移圖B點(diǎn)兩側(cè)平行3、作FQB左的影響線xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/263第63頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/2FQB右影響線ADBC虛位移圖B點(diǎn)兩側(cè)平行4、作FQB右的影響線影響線B點(diǎn)兩側(cè)平行64第64頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在書中例4-3中，注意：①比較基本部分和附屬部分上內(nèi)力和反力影響線分布的區(qū)別。②求作FQB左和FQB右的影響線時(shí)，B點(diǎn)左右切口兩側(cè)的梁軸必須保持平行。

(a)HAKBxFP=11mCEFDG3m1m3m1m2m2m1mP圖Z

=1HABCEFDGFQB左影響線E11/43/43/23/4HABCEFDG65第65頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(a)HAKBxFP=11mCEFDG3m1m3m1m2m2m1mP圖Z

=1HABCEFDGFQB右的影響線1121HABCEFDG66第66頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四影響線的應(yīng)用包含兩個(gè)方面：1、求固定荷載下梁上某個(gè)截面的內(nèi)力和梁的支反力；2、確定移動(dòng)荷載下某量值的最不利荷載位置，從而求出該量值。§4-4影響線的應(yīng)用67第67頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、求各種固定荷載作用下的影響荷載分為：集中荷載、分布荷載。大家知道：作影響線時(shí)，用的是單位荷載。根據(jù)疊加原理，可利用影響線求其他荷載作用下產(chǎn)生的總影響。若已求得指定截面某量值Z的影響線，根據(jù)疊加原理，就可以求得固定荷載作用下該量值Z的大小。68第68頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如下圖示梁截面C彎矩MC的影響線已求出，求固定荷載作用下MC的值。0.253m1mA1m1mB0.750.75MC影響線C下面我們看看在不同類型的固定荷載作用下，如何求結(jié)構(gòu)的內(nèi)力69第69頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一組集中荷載：均布荷載：CBqC0.5m2m20kN15kN10kNMC影響線3m1mA1m1mB0.250.750.375C解釋70第70頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1)集中荷載設(shè)有一組集中荷載FP1、FP2、FP3，加于簡(jiǎn)支梁，位置已知，如圖a所示。(a)ablCFP1FP2FP3求：C點(diǎn)的剪力FQC解：①作出FQC的影響線，方法不限；y2y3y1FQC影響線②求出FPi(i＝1、2、3)對(duì)應(yīng)的影響線的豎標(biāo)值；③利用疊加原理計(jì)算得:71第71頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四推廣：當(dāng)有一組集中荷載FP1、FP2、…FPn

作用于結(jié)構(gòu)時(shí)，結(jié)構(gòu)某量值Z的影響線在各荷載作用點(diǎn)的豎距值為y1、y2、…yn，則有：(2)分布荷載作用圖示簡(jiǎn)支梁AB段上作用有分布荷載q。求C點(diǎn)的剪力FQC。(a)ablCABqxdx72第72頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四QC影響線dABy(a)ablCABqxdx式中，是影響線圖形在受載段AB上的面積。

注意：在受載段影響線的圖形有正負(fù)號(hào)部分時(shí)，是i的代數(shù)和。即：是q分布范圍內(nèi)的影響線與基線所包圍的總面積。73第73頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)集中荷載和均布荷載同時(shí)作用在集中荷載和均布荷載同時(shí)作用下，結(jié)構(gòu)某量值Z的計(jì)算公式為：(4)舉例圖示結(jié)構(gòu)，求QC、MC的值。CFP=20kNAB1.2m1.2m1.2m1.2m1.2mq=10kN74第74頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四0.60.4y1=0.40.20.2FQC的影響線12+-y1=0.960.720.481.44MC的影響線21+CFP=20kNAB1.2m1.2m1.2m1.2m1.2mq=10kN75第75頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、求荷載的最不利位置定義：使結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z達(dá)到最大值Zmax或最小值Zmin時(shí)實(shí)際移動(dòng)荷載的位置，稱為最不利荷載位置。1、單個(gè)移動(dòng)荷載作用時(shí)CFP0BAk當(dāng)單個(gè)集中荷載在伸臂梁上移動(dòng)時(shí)，求荷載的最不利位置。76第76頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ymaxymin+-某量值Z的影響線針對(duì)k點(diǎn)截面某個(gè)量值，求其最不利荷載位置。FP0在k點(diǎn)：Zmax=FP0ymax

FP0在C點(diǎn)：Zmin=FP0yminCFP0BAk由圖可知：最不利荷載位置為k處和C處。即：把單個(gè)集中移動(dòng)荷載放在影響線的最大或最小豎標(biāo)位置，就得到最不利荷載位置，進(jìn)而求得Zmax或Zmin。77第77頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、可任意布置的均布荷載C

特點(diǎn)：均布荷載可以是任意位置、任意分布長(zhǎng)度(范圍)。注意：只對(duì)彎矩MC適用，對(duì)其他量值不一定是荷載的最不利位置。①求MCmax的荷載位置②求MCmin的荷載位置qq布滿影響線的正號(hào)部分qqq布滿影響線的負(fù)號(hào)部分－+MC的影響線－78第78頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于剪力FQC影響線，將集中力FP放在截面C，見(jiàn)右圖，就得到：ABb/la/lFQC影響線C對(duì)于伸臂梁的MC影響線（見(jiàn)下圖），將FP分別放在截面C和E，就得到：ADBymaxyminMC影響線CE79第79頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四可任意布置的均布活荷載

可任意布置的均布活荷載通常指人群荷載。在影響線正號(hào)部分布滿均布活載，可以求得Zmax；在影響線負(fù)號(hào)部分布滿均布活載，可以求得Zmin。q求(MC)

max求(MC)

minqqω1ω3ω2ADBMC影響線CE80第80頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、一組移動(dòng)集中荷載(平行移動(dòng)荷載)荷載特點(diǎn)：各集中力的大小、方向及相互間的距離均保持不變，作為整體在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)。根據(jù)影響線的性質(zhì)，要確定結(jié)構(gòu)某量值的最不利荷載位置，其原則是：(1)數(shù)值大、排列密的集中力放在影響線豎標(biāo)較大的部位；(2)在最不利荷載位置，必有一個(gè)集中荷載作用在影響線的某個(gè)頂點(diǎn)上。81第81頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四下面先分別討論多邊形影響線和三角形影響線。為確定最不利荷載位置，通常分兩步：1）求出使Z達(dá)到極值(Z極大、Z極小)的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置，而且可能不止一個(gè)。2）從Z的極大值中選最大值（從Z極大選Zmax），從Z的極小值中選最小值（從Z極小選Zmin），從而確定最不利荷載位置。82第82頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四下面以多邊形影響線為例，說(shuō)明臨界荷載位置的特點(diǎn)及其判定方法。多邊形影響線：FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx83第83頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx在影響線圖中，i(1、2、3)有正也有負(fù)，α1>0，α2>0，α3<0。84第84頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

i正負(fù)規(guī)定：以影響線邊順時(shí)針轉(zhuǎn)向水平線為正，反之為負(fù)。由上面影響線圖可得出:

FRi(FR1、FR2、FR3)為各邊區(qū)間內(nèi)荷載合力。FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR385第85頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四要尋求Z的極值，即找出對(duì)應(yīng)極值的荷載位置，先考慮荷載移動(dòng)時(shí)Z的變化情況，亦即：Z>0、Z<0、Z=0。

荷載合力的計(jì)算應(yīng)注意：隨荷載的移動(dòng)(影響線頂點(diǎn)的左右)合力FRi應(yīng)重新計(jì)算。是與FRi(FR1、FR2、FR3)對(duì)應(yīng)的影響線豎標(biāo)值。86第86頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則Z的增量為：因?yàn)槭莤的一次函數(shù)，所以Z也是x的一次函數(shù)。若荷載右移動(dòng)Δx，則豎標(biāo)的增量為：因?yàn)閆是x的一次函數(shù)，所以Z-x圖形是折線圖形。于是ΔZ/Δx是折線圖形中各折線段的斜率。對(duì)于折線圖形，極值發(fā)生在使ΔZ/Δx變號(hào)的尖點(diǎn)處。87第87頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四xZ+-+00-極大值點(diǎn)xZ-+-00+極小值點(diǎn)若移動(dòng)荷載組在某位置剛好使Z取得極大值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，。若移動(dòng)荷載組在某位置剛好使Z取得極小值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，。條件條件88第88頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四總之，當(dāng)荷載在Z的極值點(diǎn)(極大或極小)位置稍向左、右移動(dòng)時(shí)，必須變號(hào)。

如何使變號(hào)？是常數(shù)，可以變化的只是FRi。為了使FRi變化，必須有一個(gè)集中力位于影響線的頂點(diǎn)，此荷載記作FPcr，當(dāng)FPcr位于影響線的頂點(diǎn)以左或以右時(shí)，會(huì)引起FRi發(fā)生變化（左移時(shí)計(jì)入左邊，右移時(shí)計(jì)入右邊）

。

89第89頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：當(dāng)荷載稍向左、右移動(dòng)時(shí)，變號(hào)的必要條件是：有一個(gè)集中荷載作用于影響線的頂點(diǎn)。如下圖示。FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2稍向左移90第90頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四FPcrFP1FP2FR1FP4FP5FR2當(dāng)移動(dòng)荷載組左右移動(dòng)時(shí)，能使改變符號(hào)的荷載FPcr稱為臨界荷載，相應(yīng)的移動(dòng)荷載組的位置稱為臨界位置。稍向右移91第91頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在給定的移動(dòng)荷載組中，能使變號(hào)的臨界荷載可能不止一個(gè)。1)選定一個(gè)集中力作為FPcr，使它位于影響線的一個(gè)頂點(diǎn)上；2）當(dāng)FPcr稍作左右移動(dòng)時(shí)，分別計(jì)算的值。若變號(hào)，則此FPcr即為一臨界荷載，相應(yīng)的荷載位置為臨界位置。用同樣的方法可以確定其它的FPcr及相應(yīng)的荷載臨界位置。

確定最不利荷載位置的步驟如下：92第92頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3)對(duì)于每個(gè)荷載臨界位置求出相應(yīng)的Z值，比較各個(gè)Z值，可確定Zmax及Zmin，進(jìn)而確定相應(yīng)的最不利荷載位置。93第93頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4-4-1

如下圖多邊形影響線及移動(dòng)荷載組，試求荷載最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影響線6m4m8mα1α310.75α294第94頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）計(jì)算解：1）將FP4放在影響線的最大點(diǎn)，移動(dòng)荷載組的位置如下圖示。Z的影響線FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α295第95頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若荷載稍向右移，各段荷載合力為：Z的影響線FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α296第96頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若荷載稍向左移，各段荷載合力為：Z的影響線FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m1α26m4m8mα1α310.750.810.9063.5/897第97頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因?yàn)樽兲?hào)，故FP4為臨界荷載，相應(yīng)的荷載位置為臨界位置。3）計(jì)算Z值容易確定只有FP4是臨界荷載，所以相應(yīng)的荷載位置就是最不利荷載位置。98第98頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三角形影響線：對(duì)于三角形影響線，確定荷載的臨界位置比較簡(jiǎn)便。選一集中力放在Z的影響線頂點(diǎn)，使Z取得極大值的條件為：當(dāng)荷載稍向右移時(shí)，當(dāng)荷載稍向左移時(shí)，F(xiàn)P1FP2FR左FPcrFP4FP5FR右αβabc99第99頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上式表明，荷載臨界位置的特征是：有一集中荷載FPcr位于影響線的頂點(diǎn)，F(xiàn)Pcr計(jì)入哪一邊，哪一邊荷載的平均集度就大。將tgα=c/a及tgβ=-c/b代入上兩式：100第100頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4-4-2

求反力FRB的最大值并確定最不利荷載位置。FP1=FP2=478.5kN，F(xiàn)P3=FP4=324.5kN。解：1）FRB的影響線如上圖示。2）將FP2當(dāng)作FPcr放在影響線頂點(diǎn)：FRB的影響線0.12510.7583A6m6mBC0.75mFP1FP2FP3FP45.25m1.45m4.55m0.25m101第101頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以FP2是臨界荷載。FRB的影響線0.1256m6m1ABC0.7583FP1FP2FP3FP45.25m1.45m4.55m0.25m0.75m判別式：有：102第102頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3）將FP3當(dāng)作FPcr放在影響線頂點(diǎn)：FRB的影響線FP1FP2FP3FP44.55m0.7m1.45m4.8m1.2m0.26m6m1ABC0.7583判別式：所以FP3是臨界荷載。103第103頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以：FP2是放在影響線頂點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的荷載位置為最不利荷載位置。有：比較可知：104第104頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4-4-3

求MC的最大值及相應(yīng)的最不利荷載位置，已知q=92kN/m，F(xiàn)P1=FP2=FP3=FP4=FP5=220kN。a)FP1FP5q18.5m5×1.5m10ABC20m20mMC的影響線105第105頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：1）將FP5當(dāng)作FPcr放在影響線頂點(diǎn)，如上頁(yè)圖a)所示。所以FP5不是臨界荷載。

2）將均布荷載跨越影響線頂點(diǎn)，使左右兩邊荷載平均值相等，見(jiàn)下頁(yè)圖b)。判別式：106第106頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上圖b)所示荷載位置即為最不利荷載位置。b)FP1FP5q20m5×1.5mx=8.04m4.46m10ABC20m20m3.735.98MC的影響線107第107頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4-4-4

求圖示均布移動(dòng)荷載的最不利荷載位置。

解：均布荷載段橫跨影響線頂點(diǎn)，若荷載稍向右移動(dòng)，則CD范圍影響線面積增加了yDdx，影響線面積減少了yCdx，如下頁(yè)圖a）所示。ABCDayCyDq108第108頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以令即故qABCDayCyDdxdxa)qABCDaaEb)109第109頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

根據(jù)以上討論，可以用作圖法確定最不利荷載位置，如上頁(yè)圖b)所示。另外需要指出，對(duì)于剪力影響線，為了確定最不利荷載位置，通常用直觀判斷并試算即可確定。（見(jiàn)書中例題4-5、4-6或7-4、7-6）110第110頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4-5簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖和絕對(duì)最大彎矩(見(jiàn)下冊(cè)§11-9)一、簡(jiǎn)支梁內(nèi)力包絡(luò)圖的概念

在給定的移動(dòng)荷載作用下，用上一節(jié)討論的方法可以求得指定截面某內(nèi)力Z的最大值Zmax或最小值Zmin。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，需要求出每個(gè)截面在給定移動(dòng)荷載作用下內(nèi)力的最大值和最小值。111第111頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在給定移動(dòng)荷載作用下，將各截面內(nèi)力Z的最大值Zmax連成一條曲線，同樣將最小值Zmin也連成一條曲線，這樣的圖形稱為內(nèi)力包絡(luò)圖。即：連接各截面內(nèi)力最大值(最大正值和最大負(fù)值)的曲線稱為內(nèi)力的包絡(luò)圖。

1、作簡(jiǎn)支梁內(nèi)力包絡(luò)圖的步驟為：1）將梁分成若干等分，取等分截面作為求Zmax和Zmin的截面。2）作各等分截面內(nèi)力Z的影響線。112第112頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3）利用上節(jié)的方法求各等分截面的Zmax和Zmin，然后把各截面的Zmax或Zmin分別連成曲線，即得簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖。

2、簡(jiǎn)支梁剪力包絡(luò)圖：下面以求簡(jiǎn)支梁第三等分點(diǎn)(分為10等份)截面剪力的最大值和最小值為例進(jìn)行說(shuō)明。12m3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN1.5m3.6m113第113頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(FQ)max=82(0.7+0.575+0.283-0.0083)=127.07kN求剪力最大值的荷載位置3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN3.4m1.5m0.1m第三等分截面剪力影響線8.4m3.6m0.70.5750.30.2830.008312m3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN1.5m3.6m114第114頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(FQ)min=-82(0.3+0.0083)=-25.28kN求剪力最小值的荷載位置3.5m82kN82kN0.1m82kN8.4m3.6m0.70.5750.30.2830.0083第三等分截面剪力影響線115第115頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四簡(jiǎn)支梁剪力包絡(luò)圖(kN)17915394.31272126541.725.316.48.2017915394.31272126541.725.316.48.20116第116頁(yè)，共129頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.625m6.375m215366465559574578215366465559578簡(jiǎn)支梁彎矩包絡(luò)圖(kN.m)簡(jiǎn)支梁彎矩包絡(luò)圖如下圖示。用相同的方法可以作出簡(jiǎn)支梁的彎矩包絡(luò)圖，從左邊圖可以看出：在一組移動(dòng)荷載下，簡(jiǎn)支梁的最大彎矩并不在跨