第四章 彎曲內(nèi)力正式

第四章彎曲內(nèi)力正式第1頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四2§4-1

基本概念及工程實(shí)例第四章彎曲內(nèi)力§4-3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖§4-2

梁的剪力和彎矩§4-4荷載集度、剪力和彎矩間的關(guān)系§4-5

疊加原理作彎矩圖第2頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四3一、工程實(shí)例§4-1基本概念及工程第3頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四4工程實(shí)例第4頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四5第5頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四6

二、基本概念2.梁

以彎曲變形為主的桿件。外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線。（1）受力特征（2）變形特征

變形前為直線的軸線,變形后成為曲線。1.彎曲變形3.對稱彎曲

作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線,這種彎曲稱為對稱彎曲。第6頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四7AB對稱軸縱向?qū)ΨQ面梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線FRAF1F2FRB第7頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四8（3）支座的類型4.受彎桿件的簡化（1）梁的簡化通常取梁的軸線來代替梁。（2）載荷類型集中力集中力偶分布載荷

可動(dòng)鉸支座FRAAAAA第8頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四9固定鉸支座固定端AAAFRAyAFRAxFRyFRxM第9頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四10

起重機(jī)大梁為No.25a工字鋼,如圖所示,梁長L=10m,單位長度的重量為38.105kg/m,起吊重物的重量為100kN,試求起重機(jī)大梁的計(jì)算簡圖.q

=38.105kN/mF=100kN第10頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四11車床主軸示意圖向心推力軸承滾珠軸承第11頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四125.梁的基本形式

懸臂梁

外伸梁

簡支梁靜定梁第12頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四13超靜定梁連續(xù)梁子母梁第13頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四14一、內(nèi)力計(jì)算

例題4-1已知如圖，F(xiàn)，a，l.

求距A端x處截面上內(nèi)力.解:求支座反力§4-2

梁的剪力和彎矩BAalFFRAyFRAxFRBABF第14頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四15求內(nèi)力——截面法

彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1.彎矩M

構(gòu)件受彎時(shí)，與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩.MFRAyFRAxFRBABFmmxFRAyFSCFFRBFSCM2.剪力FS

構(gòu)件受彎時(shí)，與橫截面相切的分布力系的合力.第15頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四16FSdxmmFS+1.剪力符號(hào)

使dx

微段有左端向上而右端向下的相對錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截面m-m上的剪力為正.或使dx微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為正.二、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定

使dx微段有左端向下而右端向上的相對錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截面m-m上的剪力為負(fù).或使dx微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為負(fù).dxmmFSFS-第16頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四17

當(dāng)dx微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉）時(shí),橫截面m-m上的彎矩為正；2.彎矩符號(hào)mm+（受拉）MM

當(dāng)dx

微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓）時(shí),橫截面m-m上的彎矩為負(fù).mm（受壓）MM-第17頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四18解：（1）求梁的支反力FRA

和FRB例題4-2圖示梁的計(jì)算簡圖.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c、d和l亦均為已知.試求梁在E

、F

點(diǎn)處橫截面處的剪力和彎矩.FRBBdEDAabclCFF1F2FRA第18頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四19

記E

截面處的剪力為FSE

和彎矩

ME，且假設(shè)FSE

和彎矩ME

的指向和轉(zhuǎn)向均為正值.BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRAME解得第19頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四20

計(jì)算F點(diǎn)橫截面處的剪力FSF

和彎矩MF

.BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB解得：-+第20頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四21§4-3

剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖

FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和彎矩方程

用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程和彎矩方程.1.剪力方程2.彎矩方程第21頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四22彎矩圖為正值畫在x軸上側(cè),負(fù)值畫在x軸下側(cè)（劉洪文教材）彎矩圖畫在受拉側(cè)，不注明正負(fù)號(hào)。兩種方法表示均可，建議文字說明受拉側(cè)。二、剪力圖和彎矩圖

剪力圖為正值畫在x軸上側(cè),負(fù)值畫在x軸下側(cè)

以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置,以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩.這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖xFS(x)FS

圖的坐標(biāo)系OM

圖的坐標(biāo)系xOM(x)第22頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四23例題4-3如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F作用,試作此梁的剪力圖和彎矩圖.BAFlx解:

列出梁的剪力方程和彎矩方程FSxFFlxM第23頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四24例題4-4圖示的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.解：（1）

求支反力lqFRAFRBABx（2）根據(jù)平衡方程求剪力方程和彎矩方程：第24頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四25剪力圖為一傾斜直線繪出剪力圖x=0處，x=l

處,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB第25頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四26彎矩圖為一條二次拋物線lqFRAABxFRB令得駐點(diǎn)彎矩的極值繪出彎矩圖+l/2第26頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四27

由圖可見，此梁在跨中截面上的彎矩值為最大但此截面上

FS=0

兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對值為最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/2第27頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四28解:（1）求梁的支反力例題4-5圖示的簡支梁在C點(diǎn)處受集中荷載

F作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.lFABCabFRAFRB

有荷載變化處，內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程.第28頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四29將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB第29頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四30

由（1）,（3）兩式可知，AC、CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于x

軸的直線.xxlFABCabFRAFRB++

由（2），（4）式可知，AC、CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線.第30頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四31

在集中荷載作用處的左,右兩側(cè)截面上剪力值(圖)有突變,突變值等于集中荷載F.彎矩圖形成尖角,該處彎矩值最大.xxlFABCabFRAFRB++第31頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四32解：求梁的支反力例題4-6圖示的簡支梁在C點(diǎn)處受矩為M的集中力偶作用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.取坐標(biāo)原點(diǎn)在梁的左端.

因?yàn)榱荷蠜]有橫向外力，全梁只有一個(gè)剪力方程：lABCabFRAFRBM整個(gè)梁的剪力圖是一條平行于x

軸的直線.+剪力圖第32頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四33AC段CB段AC

段和

BC

段的彎矩方程不同xxlABCabFRAFRBMAC,CB

兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線.

x=a,

x=0,AC段CB段

x=a,x=l,M=0+彎矩圖第33頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四34

梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值(圖)發(fā)生突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.此處剪力圖沒有變化.lABCabFRAFRBM++第34頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四35例4-7外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2a解：xy1、根據(jù)平衡條件求支座反力xx第35頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四362、列出梁的剪力方程和彎矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x第36頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四37yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力圖和彎矩圖E-qa(-)(-)(+)(-)(+)第37頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四38例題4-8一簡支梁受移動(dòng)荷載F

的作用如圖所示.試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載F

的位置.解:設(shè)F在距左支座A

為x

的位置支反力為：梁的彎矩為:令A(yù)BFlxABFlxCFRAFRB解得：第38頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四39此結(jié)果說明，當(dāng)移動(dòng)荷載F

在簡支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大.得最大彎矩值：代入式將ABFlxCFRAFRB第39頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四40三、平面剛架內(nèi)力圖

平面剛架——由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。每兩個(gè)組成部分在其連接處夾角不變，這種連接稱為剛節(jié)點(diǎn)（圖中B節(jié)點(diǎn)）。第40頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四41

作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定：

彎矩圖，畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)；

剪力圖及軸力圖，可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），但須注明正負(fù)號(hào)；剪力和軸力的正負(fù)號(hào)仍與前述規(guī)定相同。第41頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四42例題4-9試作圖a所示剛架的內(nèi)力圖。第42頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四431.列各桿的內(nèi)力方程CB桿(桿的上側(cè)受拉)BA桿(桿的左側(cè)受拉)解:(0<x≤a)(0≤x≤a)（壓力）（0≤

x1≤l）（0<x1≤l）第43頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四442.繪內(nèi)力圖繪內(nèi)力圖時(shí)，軸力圖和剪力圖可畫在各桿的任一側(cè)，但需注明正負(fù)號(hào)；彎矩圖則畫在桿件的受拉一側(cè)。不需注明正負(fù)號(hào)。第44頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四45

設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度§4-4

荷載集度、剪力和彎矩間的關(guān)系一、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系q=q(x)規(guī)定

q(x)向上為正.將x軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端.xyq(x)FM第45頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四46xyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)

假想從梁中取出dx微段.mmnnq(x)Cx+dx

截面處則分別為FS(x)+dFS(x)，M(x)+dM(x).由于dx很小，忽略q(x)沿dx的變化.m-m截面上內(nèi)力為FS(x),M(x)nxmmndx第46頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四47FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C寫出微段梁的平衡方程得到

略去二階無窮小量即得第47頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四48公式的幾何意義（1）剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小;（2）彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小;（3）根據(jù)q(x)＞0或q(x)＜0來判斷彎矩圖的凹凸性.第48頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四49M(x)圖為一向上凸的二次拋物線.FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線.xFS(x)O二、q(x)、FS(x)圖、M（x）圖三者間的關(guān)系1.梁上有向下的均布荷載,即q(x)<0xOM(x)第49頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四502.梁上無荷載區(qū)段，q(x)=0剪力圖為一條水平直線.彎矩圖為一斜直線.xFS(x)O當(dāng)FS(x)>0時(shí),向右上方傾斜.當(dāng)FS(x)<0時(shí),向右下方傾斜.xOM(x)OM(x)x第50頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四515.最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè)，或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上。3.在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值，彎矩圖有轉(zhuǎn)折。4.在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化。6.梁上最大彎矩Mmax可能發(fā)生在FS(x)=0的截面上，或發(fā)生在集中力所在的截面上，或集中力偶作用處的一側(cè)。

第51頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四52無荷載集中力FC集中力偶MC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在FS=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有轉(zhuǎn)折在剪力突變的截面在緊靠C的某一側(cè)截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載在C處有突變F在C處有突變M在C處無變化C第52頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四53三、分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系若在x=x1

和x=x2處兩個(gè)橫截面無集中力則等號(hào)右邊積分的幾何意義是x1,x2兩橫截面間分布荷載圖的面積.式中，分別為在x=x1

和x=x2

處兩個(gè)橫截面上的剪力.第53頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四54若橫截面x=x1，x=x2

間無集中力偶作用則得式中M(x1)，M(x2)分別為在x=x1

和x=x2處兩個(gè)橫截面上的彎矩.等號(hào)右邊積分的幾何意義是x1,x2兩個(gè)橫截面間剪力圖的面積.第54頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四55例題4-10一簡支梁受兩個(gè)力F作用,如圖所示.已知F=25.3kN,有關(guān)尺寸如圖所示.試用本節(jié)所述關(guān)系作剪力圖和彎矩圖.解：（1）求梁的支反力

將梁分為AC、CD、DB

三段.每一段均屬無載荷區(qū)段.（2）剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線AC段BFACD1151265FFRAFRB231950200第55頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四5623.61.727+DB段最大剪力發(fā)生在DB段中的任一橫截面上CD段BFACD1151265FFRAFRB231950200F=25.3kN第56頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四574.723.11+BACD2001151265FFFRAFRB231最大彎矩發(fā)生在C

截面（3）彎矩圖

每段梁的彎矩圖均為斜直線.且梁上無集中力偶.第57頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四58（4）對圖形進(jìn)行校核

在集中力作用的C,D

兩點(diǎn)剪力圖發(fā)生突變,突變值F=25.3kN.而彎矩圖有尖角.

在AC段剪力為正值，彎矩圖為向上傾斜的直線.BACD2001151265FFFRAFRB2314.723.11+23.61.727+

在CD和DB段，剪力為負(fù)值，彎矩圖為向下傾斜的直線.

最大彎矩發(fā)生在剪力改變正、負(fù)號(hào)的

C截面處.說明剪力圖和彎矩圖是正確的.第58頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四59例題4-11作梁的內(nèi)力圖.解：（1）支座反力為3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN將梁分為AC、CD、DB、BE四段.（2）剪力圖AC段

向下斜的直線()CD段向下斜的直線()第59頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四60DB段水平直線(-)EB段

水平直線(-)3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNAC段向下斜的直線()CD段向下斜的直線()F點(diǎn)剪力為零,令其距A截面的距離為x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5m第60頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四61（3）彎矩圖CD段AC段DB段BE段201666+20.53m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNx=5m第61頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四623m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5（4）校核第62頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四63解：支座反力為FRA

=81kNFRB=29kNMA=96.5kN·m例題12

用簡易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖.10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m將梁分為AE，EC，CD，DK，KB

五段。第63頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四64(1)剪力圖AE段

水平直線FSA右

=FSE左

=FRA

=81kNED段

水平直線DK

段向右下方傾斜的直線FSK=-FRB

=-29kNFSE右

=FRA

-F=31kNKB

段水平直線FSB左=-FRB=-29kN81kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，F(xiàn)RB=29kN第64頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四65

設(shè)距K截面為x

的截面上剪力FS=0.即x=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，F(xiàn)RB=29kN第65頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四66（2）彎矩圖AE，EC，CD

梁段均為向上傾斜的直線10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，F(xiàn)RB=29kNx=1.4581kN31kN29kN+第66頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四67KB

段向下傾斜的直線DK段向上凸的二次拋物線在FS=0的截面上彎矩有極值31x+5534510.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，F(xiàn)RB=29kN96.515.5x=1.45第67頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四68

中間鉸鏈傳遞剪力(鉸鏈左,右兩側(cè)的剪力相等)；但不傳遞彎矩(鉸鏈處彎矩必為零).+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m+5534596.515.5第68頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四69

例題13已知簡支梁的剪力圖,作梁的彎矩圖和荷載圖.已知梁上沒有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解:(1)畫荷載圖AB段沒有荷載，在B處有集中力所以F=20kN方向向下CABDF=20kN第69頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四70BC段無荷載CD

段有均布荷載q()abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN第70頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四71(2)彎矩圖AB段向右上傾斜的直線BC段向右下傾斜的直線.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+CD段向上凸的二次拋物線.該段內(nèi)彎矩沒有極值.48dab54c+第71頁，共80頁，2023年，2月20日，星期四72例題14已知簡支梁的彎矩圖,作出梁的剪力圖和荷載圖.AB段因?yàn)镸(x)=常量,剪力圖為水平直線,且FS(x)=0.40kN·mabcd2m2m2m+解：(1)作剪力圖BC段FS(x)=常量,剪力圖為水平直線CD段剪力圖為水平直線且FS(x)=0abcd20