彈性力學(xué)有限元法詳解

彈性力學(xué)有限元法目前一頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)第三章彈性力學(xué)有限元法3.1有限元法求解問題的基本步驟3.2連續(xù)體離散化3.3單元分析3.4整體分析

3.5邊界約束條件處理

3.6求解、計(jì)算結(jié)果的整理和有限元后處理目前二頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.1有限元法求解問題的基本步驟工程結(jié)構(gòu)的幾何簡化載荷簡化邊界條件的簡化建立力學(xué)模型連續(xù)體離散化

用合適的單元將連續(xù)體劃分為有限個(gè)具有規(guī)則形狀的的單元集合，單元的選取應(yīng)視所分析問題的性質(zhì)、規(guī)模和精度要求而定。目前三頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.1有限元法求解問題的基本步驟單元分析位移模式(位移函數(shù)、插值函數(shù)）選取單元分析

單元的位移模式一般采用多項(xiàng)式，因?yàn)槎囗?xiàng)式計(jì)算簡便，并且隨著項(xiàng)數(shù)的增加，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線。

建立單元?jiǎng)偠染仃嚱卧?jié)點(diǎn)力列陣彈性力學(xué)幾何方程和物理方程

靜力等效原則目前四頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.1有限元法求解問題的基本步驟整體分析和有限元方程求解建立整體剛度矩陣建立整體節(jié)點(diǎn)力列陣代入邊界條件選擇適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程求解高斯消元法三角分解法波前法雅克比迭代法目前五頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.1有限元法求解問題的基本步驟結(jié)果后處理和分析應(yīng)力誤差的減小結(jié)果輸出方式結(jié)果分析目前六頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化桿狀單元平面桿單元只能承受軸向的拉壓載荷，平面桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。

空間桿單元只能承受軸向的拉壓載荷，平面桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。軸力單元目前七頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化梁單元平面梁單元平面梁單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，兩個(gè)線位移一個(gè)角位移，可承受平面內(nèi)的體力，集中力、分布力和垂直平面的彎矩的作用。

空間梁單元空間梁單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有六個(gè)自由度，三個(gè)線位移三個(gè)角位移，可承受各個(gè)方向的體力，集中力、分布力和彎矩的作用。

桿狀單元目前八頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化平面單元平面單元屬于二維單元，只能承受單元平面內(nèi)的分布力和集中力，不能承受面外載荷

。

三節(jié)點(diǎn)三角形單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度，因此只能采用線性模式，應(yīng)變值為常量，也稱為常應(yīng)變單元或常應(yīng)力單元。目前九頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化四節(jié)點(diǎn)四邊形單元四邊形單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)也有兩個(gè)自由度，采用雙線性位移模式，計(jì)算精度較高。平面單元目前十頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元和薄板單元

薄板彎曲單元四邊形彎曲單元四邊形單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，主要承受橫向載荷和繞水平軸的彎矩。目前十一頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元三角形彎曲單元三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，主要承受橫向載荷和繞水平軸的彎矩。薄板彎曲單元和薄板單元

目前十二頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元和薄板單元

薄板單元四邊形薄板單元四邊形薄板單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有五個(gè)自由度，可承受各個(gè)方向的載荷和繞水平軸的彎矩。目前十三頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元和薄板單元

薄板單元三角形薄板單元三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有五個(gè)自由度，可承受各個(gè)方向的載荷和繞水平軸的彎矩。目前十四頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化多面體單元

四面體單元四面體單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。目前十五頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化六面體單元六面體單元有八個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。多面體單元

目前十六頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化等參單元

求解實(shí)際問題時(shí)人們總希望用最少的單元實(shí)現(xiàn)比較高的計(jì)算精度，而且所選用的單元對復(fù)雜結(jié)構(gòu)也有比較好的適應(yīng)性。計(jì)算期望：手段：單元形狀的變化和單元內(nèi)位移函數(shù)的變化用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)和相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。

四邊形四節(jié)點(diǎn)等參元目前十七頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化四邊形四節(jié)點(diǎn)等參元插值函數(shù)注意:

總體坐標(biāo)系適用于整體結(jié)構(gòu)，局部坐標(biāo)系只適用于具體某個(gè)單元。

常用的對于平面問題還有八節(jié)點(diǎn)等參元，空間問題有八節(jié)點(diǎn)空間等參元，二十節(jié)點(diǎn)等參元等。等參單元

目前十八頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化軸對稱單元

對于回轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，如果約束條件和載荷都對稱于回轉(zhuǎn)軸，其應(yīng)力、應(yīng)變和位移也都對稱于回轉(zhuǎn)軸線，這類應(yīng)力應(yīng)變問題稱為軸對稱問題，通常用柱坐標(biāo)來描述應(yīng)力、應(yīng)變和位移，單元為實(shí)心圓環(huán)體，僅截面不同三角形環(huán)單元目前十九頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.2連續(xù)體離散化四邊形環(huán)單元回轉(zhuǎn)圓錐薄殼單元軸對稱單元

目前二十頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

目前二十一頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

四節(jié)點(diǎn)矩形單元的插值多項(xiàng)式

目前二十二頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)

3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

令：矩陣形式：

目前二十三頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

形函數(shù)特點(diǎn)：本點(diǎn)為1，他點(diǎn)為0在單元內(nèi)任一點(diǎn)各形函數(shù)之和等于1單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊兩端節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，而與其他節(jié)點(diǎn)無關(guān)目前二十四頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

單元形函數(shù)必須滿足的條件：位移模式在單元內(nèi)連續(xù)，在單元的公共邊界處協(xié)調(diào).位移模式必須包括單元的剛體位移.位移模式還必須包括單元的常應(yīng)變狀態(tài).目前二十五頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元分析

彈性力學(xué)平面問題的幾何方程：B稱為應(yīng)變矩陣，其分塊子矩陣為：目前二十六頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元分析

代入無量剛插值函數(shù)，應(yīng)變矩陣為：令：由平面問題物理方程單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力可表示為S為應(yīng)力矩陣目前二十七頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元分析

D為彈性矩陣其表達(dá)式為：E是楊氏模量，是泊松比

應(yīng)力矩陣S的分塊子矩陣為目前二十八頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元分析

代入無量剛插值函數(shù)，應(yīng)力矩陣為：對于平面應(yīng)變問題：

目前二十九頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元分析

由虛功原理得：單元?jiǎng)偠染仃嚳煞謮K表示為：對于平面應(yīng)力問題每一個(gè)子快為：目前三十頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元分析

其中：r和p遍歷i、j、l和m得到單元?jiǎng)偠染仃噷τ谄矫鎽?yīng)變問題：目前三十一頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析單元分析

單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：(1)單元?jiǎng)偠染仃嚺c所選單元的位移模式，幾何形狀、大小及單元的材料性質(zhì)有關(guān)(2)單元?jiǎng)偠染仃嚲哂袑ΨQ性(3)單元?jiǎng)偠染仃囀侵髟銥檎钠娈惥仃?，即單元矩陣沒有逆矩陣且目前三十二頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析載荷移置

(1)集中力由虛功原理得到或設(shè)在矩形單元體上：體力分布面力集中力目前三十三頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析載荷移置

(3)分布面力由虛功原理得到或s為單元上作用有外載荷的邊(2)體力由虛功原理得到或目前三十四頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.3單元分析整體分析

位移節(jié)點(diǎn)位移按總體編碼由小到大排列起來得到

其中：節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移按總體編碼由小到大排列起來得到其中：目前三十五頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)3.4整體分析剛度矩陣

單個(gè)單元的擴(kuò)充目前三十六頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)N個(gè)單元進(jìn)行疊加求和

3.4整體分析目前三十七頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)單元分析整體分析

是的子矩陣，按下式計(jì)算整體剛度K矩陣具有以下性質(zhì)：(1)整體剛度矩陣是對稱的稀疏矩陣

(2)整體剛度矩陣的主對角線元素必然大于零(3)未經(jīng)約束條件處理的剛度矩陣是奇異矩陣

目前三十八頁\總數(shù)四十頁\編于二十一點(diǎn)邊界約束條件處理

劃行劃列法對角線元素置