第十章對坐標(biāo)的曲線積分

第十章對坐標(biāo)的曲線積分第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.問題:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xoy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個小弧段的最大長度)第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三2.定義第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三類似地定義存在條件：第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三組合形式推廣第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)說明:

對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!

定積分是第二類曲線積分的特例.第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三一代、二換、三定限曲線積分化成參變量的定積分代將L的參數(shù)方程代入被積函數(shù)換定限下限——起點(diǎn)參數(shù)值上限——終點(diǎn)參數(shù)值第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三特殊情形第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為有向曲線元第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三思考題思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例4.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程(空間曲線的參數(shù)表示)第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三選擇例5.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)1、對坐標(biāo)曲線積分的概念2、對坐標(biāo)曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)P1413(2),(4),(6);

4(1),(3)第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三①．設(shè)曲面的方程為：如圖，重積分的應(yīng)用：曲面的面積第23頁，共24頁，2023年