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文檔簡介
高二數(shù)學的數(shù)列知識點總結(jié)高二數(shù)學的數(shù)列學問點總結(jié)1
數(shù)列概念
①數(shù)列是一種特別的函數(shù)。其特別性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函數(shù),其中的{1,2,3,…,n}不能省略。
②用函數(shù)的觀點熟悉數(shù)列是重要的思想方法,一般狀況下函數(shù)有三種表示方法,數(shù)列也不例外,通常也有三種表示方法:a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。
③函數(shù)不肯定有解析式,同樣數(shù)列也并非都有通項公式。
等差數(shù)列
1.等差數(shù)列通項公式
an=a1+(n-1)d
n=1時a1=S1
n≥2時an=Sn-Sn-1
an=kn+b(k,b為常數(shù))推導過程:an=dn+a1-d令d=k,a1-d=b則得到an=kn+b
2.等差中項
由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡潔的等差數(shù)列。這時,A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。
有關(guān)系:A=(a+b)÷2
3.前n項和
倒序相加法推導前n項和公式:
Sn=a1+a2+a3+·····+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2
等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半:
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n
an=2sn÷n-a1
好玩的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
4.等差數(shù)列性質(zhì)
一、任意兩項am,an的關(guān)系為:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。
二、從等差數(shù)列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*
三、若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq
四、對任意的k∈N*,有
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。
等比數(shù)列
1.等比中項
假如在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項。
有關(guān)系:
注:兩個非零同號的實數(shù)的等比中項有兩個,它們互為相反數(shù),所以G=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。
2.等比數(shù)列通項公式
an=a1*q’(n-1)(其中首項是a1,公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n項和
當q≠1時,等比數(shù)列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1)
當q=1時,等比數(shù)列的前n項和的公式為
Sn=na1
3.等比數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
4.等比數(shù)列性質(zhì)
(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq;
(2)在等比數(shù)列中,依次每k項之和仍成等比數(shù)列。
(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中項:q、r、p成等比數(shù)列,則aq·ap=ar,ar則為ap,aq等比中項。
記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底指數(shù)冪后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can,則是等比數(shù)列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
(5)等比數(shù)列前n項之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)
(6)任意兩項am,an的關(guān)系為an=am·q’(n-m)
(7)在等比數(shù)列中,首項a1與公比q都不為零。
留意:上述公式中a’n表示a的n次方。
高二數(shù)學的數(shù)列學問點總結(jié)2
1、高二數(shù)學數(shù)列的定義
按肯定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做數(shù)列的項。
(1)從數(shù)列定義可以看出,數(shù)列的數(shù)是按肯定次序排列的,假如組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就不是同一數(shù)列,例如數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是不同的數(shù)列。
(2)在數(shù)列的定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必需不同,因此,在同一數(shù)列中可以消失多個相同的數(shù)字,如:-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構(gòu)成數(shù)列:-1,1,-1,1,…。
(4)數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的,數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù),是一個函數(shù)值,也就是相當于f(n),而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號,它是自變量的值,相當于f(n)中的n。
(5)次序?qū)τ跀?shù)列來講是非常重要的,有幾個相同的數(shù),由于它們的排列次序不同,構(gòu)成的數(shù)列就不是一個相同的數(shù)列,明顯數(shù)列與數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)分。如:2,3,4,5,6這5個數(shù)按不同的次序排列時,就會得到不同的數(shù)列,而{2,3,4,5,6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個集合。
2、高二數(shù)學數(shù)列的分類
(1)依據(jù)數(shù)列的項數(shù)多少可以對數(shù)列進行分類,分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列。在寫數(shù)列時,對于有窮數(shù)列,要把末項寫出,例如數(shù)列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有窮數(shù)列,假如把數(shù)列寫成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示無窮數(shù)列。
(2)根據(jù)項與項之間的大小關(guān)系或數(shù)列的增減性可以分為以下幾類:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、搖擺數(shù)列、常數(shù)列。
3、高二數(shù)學數(shù)列的通項公式
數(shù)列是按肯定次序排列的一列數(shù),其內(nèi)涵的本質(zhì)屬性是確定這一列數(shù)的規(guī)律,這個規(guī)律通常是用式子f(n)來表示的,
這兩個通項公式形式上雖然不同,但表示同一個數(shù)列,正像每個函數(shù)關(guān)系不都能用解析式表達出來一樣,也不是每個數(shù)列都能寫出它的通項公式;有的數(shù)列雖然有通項公式,但在形式上,又不肯定是唯一的,僅僅知道一個數(shù)列前面的有限項,無其他說明,數(shù)列是不能確定的,通項公式更非唯一。如:數(shù)列1,2,3,4,…,
由公式寫出的后續(xù)項就不一樣了,因此,通項公式的歸納不僅要看它的前幾項,更要依據(jù)數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律,多觀看分析,真正找到數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律,由數(shù)列前幾項寫出其通項公式,沒有通用的方法可循。
再強調(diào)對于數(shù)列通項公式的理解留意以下幾點:
(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,…,n}為定義域的函數(shù)的表達式。
(2)假如知道了數(shù)列的通項公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出這個數(shù)列的.各項;同時,用數(shù)列的通項公式也可推斷某數(shù)是否是某數(shù)列中的一項,假如是的話,是第幾項。
(3)如全部的函數(shù)關(guān)系不肯定都有解析式一樣,并不是全部的數(shù)列都有通項公式。
如2的不足近似值,精確到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所構(gòu)成的數(shù)列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…就沒有通項公式。
(4)有的數(shù)列的通項公式,形式上不肯定是唯一的,正如舉例中的:
(5)有些數(shù)列,只給出它的前幾項,并沒有給出它的構(gòu)成規(guī)律,那么僅由前面幾項歸納出的數(shù)列通項公式并不唯一。
4、高二數(shù)學數(shù)列的圖象
對于數(shù)列4,5,6,7,8,9,10每一項的序號與這一項有下面的對應(yīng)關(guān)系:
序號:1234567
項:45678910
這就是說,上面可以看成是一個序號集合到另一個數(shù)的集合的映射。因此,從映射、函數(shù)的觀點看,數(shù)列可以看作是一個定義域為正整集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù),當自變量從小到大依次取值時,對應(yīng)的一列函數(shù)值。這里的函數(shù)是一種特別的函數(shù),它的自變量只能取正整數(shù)。
由于數(shù)列的項是函數(shù)值,序號是自變量,數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)和解析式。
數(shù)列是一種特別的函數(shù),數(shù)列是可以用圖象直觀地表示的。
數(shù)列用圖象來表示,可以以序號為橫坐標,相應(yīng)的項為縱坐標,描點畫圖來表示一個數(shù)列,在畫圖時,為便利起見,在平面直角坐標系兩條坐標軸上取的單位長度可以不同,從數(shù)列的圖象表示可以直觀地看出數(shù)列的變化狀況,但不精確。
把數(shù)列與函數(shù)比較,數(shù)列是特別的函數(shù),特別在定義域是正整數(shù)集或由以1為首的有限連續(xù)正整數(shù)組成的集合,其圖象是無限個或有限個孤立的點。
高二數(shù)學的數(shù)列學問點總結(jié)3
等差數(shù)列
對于一個數(shù)列{an},假如任意相鄰兩項之差為一個常數(shù),那么該數(shù)列為等差數(shù)列,且稱這肯定值差為公差,記為d;從第一項a1到第n項an的總和,記為Sn。
那么,通項公式為,其求法很重要,利用了“疊加原理”的思想:
將以上n-1個式子相加,便會接連消去許多相關(guān)的項,最終等式左邊余下an,而右邊則余下a1和n-1個d,如此便得到上述通項公式。
此外,數(shù)列前n項的和,其詳細推導方式較簡潔,可用以上類似的疊加的方法,也可以實行迭代的方法,在此,不再復述。
值得說明的是,也即,前n項的和Sn除以n后,便得到一個以a1為首項,以d/2為公差的新數(shù)列,利用這一特點可以使許多涉及Sn的數(shù)列問題迎刃而解。
等比數(shù)列
對于一個數(shù)列{an},假如任意相鄰兩項之商(即二者的比)為一個常數(shù),那么該數(shù)列為等比數(shù)列,且稱這肯定值商為公比q;從第一項a1到第n項an的總和,記為Tn。
那么,通項公式為(即a1乘以q的(n-1)次方,其推導為“連乘原理”的思想:
a2=a1*q,
a3=a2*q,
a4=a3*q,
````````
an=an-1*q,
將以上(n-1)項相乘,左右消去相應(yīng)項后,左邊余下an,右邊余下a1和(n-1)個q的乘積,也即得到了所述通項公式。
此外,當q=1時該數(shù)列的前n項和Tn=a1*n
當q≠1時該數(shù)列前n項的和Tn=a1*(1-q^(n))/(1-q).
高二數(shù)學的數(shù)列學問點總結(jié)4
高中數(shù)學數(shù)列學問點總結(jié):等差數(shù)列公式
等差數(shù)列的通項公式為:an=a1+(n-1)d
或an=am+(n-m)d
前n項和公式為:Sn=na1+[n(n-1)/2]d或sn=(a1+an)n/2
若m+n=2p則:am+an=2ap
以上n均為正整數(shù)
文字翻譯
第n項的值=首項+(項數(shù)-1)*公差
前n項的和=(首項+末項)*項數(shù)/2
公差=后項-前項
高中數(shù)學數(shù)列學問點總結(jié):等比數(shù)列公式
等比數(shù)列求和公式
(1)等比數(shù)列:a(n+1)/an=q(n∈N)。
(2)通項公式:an=a1×q^(n-1);推廣式:an=am×q^(n-m);
(3)求和公式:Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q為公比,n為項數(shù))
(4)性質(zhì):
①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,則am×an=ap×aq;
②在等比數(shù)列中,依次每k項之和仍成等比數(shù)列.
③若m、n、q∈N,且m+n=2q,則am×an=aq^2
(5)G是a、b的等比中項G^2=ab(G≠0).
(6)在等比數(shù)列中,首項a1與公比q都不為零.留意:上述公式中an表示等比數(shù)列的第n項。
等比數(shù)列求和公式推導:Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q)Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
高二數(shù)學的數(shù)列學問點總結(jié)5
數(shù)列學問:數(shù)列是一種特別的函數(shù)。其特別性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函數(shù),其中的{1,2,3,…,n}不能省略。
數(shù)列
①用函數(shù)的觀點熟悉數(shù)列是重要的思想方法,一般狀況下函數(shù)有三種表示方法,數(shù)列也不例外,通常也有三種表示方法:a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。
數(shù)列的一般形式可以寫成
a1,a2,a3,…,an,a(n+1),……
簡記為{an},
項數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”(finitesequence),
項數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”(infinitesequence)。
數(shù)列的各項都是正數(shù)的為正項數(shù)列;
從第2項起,每一項都大于它
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