第15講三角形綜合問(wèn)題2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺28講（解析版）

PAGE年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺專(zhuān)題15講三角形綜合問(wèn)題【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥,疑難突破；1、涉及三角形角形外角和定理；②已知三角形角的數(shù)量關(guān)系求角度時(shí)，可以建立方程求解．2、涉及全等問(wèn)題解題要領(lǐng)：①探求兩個(gè)三角形全等的條件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘問(wèn)題中的隱含等量關(guān)系，防止誤用“SSA”；②掌握并記憶一些基本構(gòu)成圖形中的等量關(guān)系；③把握問(wèn)題中的關(guān)鍵，通過(guò)關(guān)鍵條件，發(fā)現(xiàn)并添加輔助線(xiàn)．3、涉及到計(jì)算邊的關(guān)系解題要領(lǐng)：①線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)常常用于構(gòu)造等腰三角形；②在直角三角形中求邊的長(zhǎng)度，常常要用到勾股定理；③根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理可判斷其為直角三角形；④已知直角三角形斜邊的中點(diǎn)，考慮運(yùn)用直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)；⑤直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)存在逆定理．4、涉及角平分線(xiàn)問(wèn)題的解題要領(lǐng)：①已知角的平分線(xiàn)及角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角一邊的垂線(xiàn)段，考慮用角平分線(xiàn)的性質(zhì)；②角平分線(xiàn)的性質(zhì)常常與三角形的面積相結(jié)合．解題要領(lǐng)：5、涉及到直角三角形方面的解題要領(lǐng)：①已知直角三角形及其銳角求線(xiàn)段長(zhǎng)度時(shí)，運(yùn)用銳角三角函數(shù)是最常用的方法；②通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)，特殊平行四邊形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)構(gòu)建直角三角形，再運(yùn)用銳角三角函數(shù)求解；③熟記特殊直角三角形的三邊關(guān)系：30°角的直角三角形的三邊的比為1∶∶2，等腰直角三角形的三邊關(guān)系為1∶1∶；④銳角三角函數(shù)也常常作為相似三角形中，求對(duì)應(yīng)邊的比值的補(bǔ)充．【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測(cè)，關(guān)注素養(yǎng)，提煉主題；【原創(chuàng)1】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以B、C為圓心，大于BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P和Q，作直線(xiàn)PQ交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接CE.則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A=∠ECA；③S△ACE=2S△CDE；④ED=AC中，一定正確的是（）①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④【解析】：由作法可知PQ是BC的垂直平分線(xiàn)，∴ED⊥BC.故①正確；∵ED⊥BC，AC⊥BC，∴ED∥AC∴△BED～△BAC，∴∴E是AB中點(diǎn)，EC是Rt△BAC斜邊AB上的中線(xiàn)，∴EA=EC∴∠A=∠ECA.故②正確；E、D分別是AB、BC的中點(diǎn)∴ED是△BAC的中位線(xiàn)∴ED=AC.故④正確；∵ED∥AC∴△ACE與△CDE等高，又ED=AC∴S△ACE=2S△CDE.故③正確.∴答案為D【原創(chuàng)2】如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，作DE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)，交∠B的平分線(xiàn)BF于點(diǎn)F．（1）求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；（2）求∠BFD的正弦值．解析：（1）因?yàn)槿切蜛BC為直角，AB＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理可求得AC的長(zhǎng)，點(diǎn)D是中點(diǎn)，故△ADC的面積是△ABC的一半，利用面積法可解得DE的長(zhǎng)；（2）根據(jù)DE和DC的長(zhǎng)可解得EC的長(zhǎng)，作FG垂直BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，令CG＝x，則有FG＝BG＝4＋x，根據(jù)△DEC與△DFG相似，可得CG，利用勾股定理可得到FD、BF的長(zhǎng)，作DH垂直BF，利用等面積法求得HD的長(zhǎng)，從而得到∠BFD正弦值．解：（1）∵△ABC為直角三角形，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴DC＝2，∴DCAB＝DEAC，即：23＝5DE，解得DE＝；（2）作FG垂直BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，

令CG＝x，則有FG＝BG＝4＋x，根據(jù)△DEC與△DFG相似，又∵DE＝，DC＝2，可得EC＝，∴，即解得x＝4，∴FG＝8，DG＝6，∴FD＝10，F(xiàn)B＝8，作DH垂直BF，因?yàn)镈HFB＝BDFG解得DH＝2，∴＝＝，故∠BFD的正弦值是．【原創(chuàng)3】如圖所示，在△ABC中，BC=4，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且EF∥BC，動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線(xiàn)交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時(shí)，求EP+BP得值是多少？

【解析】如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線(xiàn)于G．首先證明PB=PG，EP+PB=EG，由EG∥BC，推出EGBCEGBC=EQQCEQQC=2，即可求出EG解決問(wèn)題．解答

解：如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線(xiàn)于G．∵EG∥BC，∴∠G=∠GBC，∵∠GBC=∠GBP，∴∠G=∠PBG，∴PB=PG，∴PE+PB=PE+PG=EG，∵3CQ=EC，∴EQ=2CQ，∵EG∥BC，∴=2，∵BC=4，∴EG=8，∴EP+PB=EG=8，故答案為：8．

【歸納】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、角平分線(xiàn)的定義、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形解決問(wèn)題?！镜漕}精練】典例精講，運(yùn)籌帷幄，舉一反三；【例題1】如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k＝﹣6．

【分析】要求函數(shù)的解析式只要求出B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以，過(guò)點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到：＝＝＝，然后用待定系數(shù)法即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m，n），則AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°．∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC．∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴＝，∴＝＝＝，設(shè)A（m，n），則B（﹣n，m），∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴mn＝2，∴﹣n?m＝﹣3×2＝﹣6，∴k＝﹣6．故答案為：﹣6．

【例題2】(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED，連接BE.如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，試猜想：①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是；②∠ABE＝；(2)拓展探究如圖2，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，請(qǐng)判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題如圖3，在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，點(diǎn)D在射線(xiàn)BC上，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED，連接BE，當(dāng)BD＝3CD時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．

解：(1)AF＝BE；90°.(2)AF＝BE，∠ABE＝α.理由如下：∵DF∥AC，∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB．∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知AD＝ED，∠ADE＝∠ACB＝∠FDB＝α.∵∠ADF＝∠ADE－∠FDE，∠EDB＝∠FDB－∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB．又∵AD＝DE，∴△ADF≌△EDB(SAS)，∴AF＝EB，∠AFD＝∠EBD．∵∠AFD＝∠ABC＋∠FDB，∠EBD＝∠ABD＋∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α.(3)BE的長(zhǎng)為2或4.【提示】①當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，如解圖1所示．

過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC．由(2)，可知BE＝AF.∵DF∥AC，∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(CD,CB)＝eq\f(1,4).∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2；②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如解圖2所示．過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，則eq\f(AF,AB)＝eq\f(CD,CB)＝eq\f(1,2).∵AB＝8，∴AF＝4，∴BE＝AF＝4.綜上所述，BE的長(zhǎng)為2或4.

【例題3】如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形ABE．點(diǎn)F是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合），將線(xiàn)段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段AM，連接FM．

（1）求AO的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段BO上，且點(diǎn)M，F(xiàn)，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，求證：AC＝AM；（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請(qǐng)直接寫(xiě)出△AFM的周長(zhǎng)．【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA＝求解，（2）由四邊形ABCD是菱形，求出△AFM為等邊三角形，∠M＝∠AFM＝60°，再求出∠MAC＝90°，在Rt△ACM中tan∠M＝，求出AC．（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面積為40求出BF，在利用勾股定理AF＝＝＝，得出△AFM的周長(zhǎng)為3．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，∵BD＝24，∴OB＝12，在Rt△OAB中，∵AB＝13，∴OA＝＝＝5．

（2）如圖2，

∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，由已知AF＝AM，∠MAF＝60°，∴△AFM為等邊三角形，∴∠M＝∠AFM＝60°，∵點(diǎn)M，F(xiàn)，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，∴∠FAC+∠FCA＝∠AFM＝60°，∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠MAC＝∠MAF+∠FAC＝60°+30°＝90°，在Rt△ACM中∵tan∠M＝，∴tan60°＝，∴AC＝AM．（3）如圖，連接EM，

∵△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，由（2）知△AFM為等邊三角形，∴AM＝AF，∠MAF＝60°，∴∠EAM＝∠BAF，在△AEM和△ABF中，，∴△AEM≌△ABF（SAS），∵△AEM的面積為40，△ABF的高為AO∴BF?AO＝40，BF＝16，∴FO＝BF﹣BO＝16﹣12＝4AF＝＝＝，∴△AFM的周長(zhǎng)為3．【例題4】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使△APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設(shè)四邊形QNCP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

【解答】解：（1）如圖1中，連接BP．

在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4∵點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上，∴BP=BQ，∵AQ=t，CP=t，∴BQ=4﹣t，PB2=42+t2，∴（4﹣t）2=16+t2，解得t=12﹣8或12+8（舍棄），∴t=12﹣8s時(shí)，點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上．（2）①如圖2中，當(dāng)PQ=QA時(shí)，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．

則有PA=AQ，∴4﹣t=?t，解得t=．②如圖3中，當(dāng)AP=PQ時(shí)，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．

則有：AQ=AP，∴t=（4﹣t），解得t=2，綜上所述：t=s或2s時(shí)，△APQ是以PQ為腰的等腰三角形．（3）如圖4中，連接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．則QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．

∵S=S△QNC+S△PCQ=?CN?QF+?PC?QE=t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．【最新試題】名校直考，巔峰沖刺，一步到位。一、選擇題：1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為（）

A．70°B．80°C．40°D．30°【解析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，繼而求得∠ABE的度數(shù)，則可求得答案．解答解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故選D．2.如圖，已知△ABC，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)．AD＝3cm，AB＝8cm，AC＝10cm．若△ADE∽△ABC，則AE的值為（）

A．cmB．cm或cm C．cm或cmD．cm【分析】先連接DE，由于△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，可得AD：AB＝AE：AC，代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：連接DE，∵△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝AE：AC∴3：8＝AE：10∴AE＝故選：A．

3.如圖，將△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．∠BDO＝60° B．∠BOC＝25° C．OC＝4 D．BD＝4【分析】由△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OCD知∠AOC＝∠BOD＝60°，AO＝CO＝4、BO＝DO，據(jù)此可判斷C；由△AOC、△BOD是等邊三角形可判斷A選項(xiàng)；由∠AOB＝35°，∠AOC＝60°可判斷B選項(xiàng)，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OCD，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，AO＝CO＝4、BO＝DO，故C選項(xiàng)正確；則△AOC、△BOD是等邊三角形，∴∠BDO＝60°，故A選項(xiàng)正確；∵∠AOB＝35°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣35°＝25°，故B選項(xiàng)正確；故選：D．4.如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿(mǎn)足上述條件的△PMN有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．3個(gè)以上

【解析】

如圖，在OA，OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°.∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等邊三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，可證△PEM≌△PON(ASA)，∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△POM是等邊三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等邊三角形，故這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)．5.如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→D→E→C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，設(shè)△BPQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）

A．B． C．D．【分析】根據(jù)題意易知道當(dāng)P在BD上由B向D運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPQ的高PQ和底BQ都隨著t的增大而增大，那么S△BPQ就是PQ和BQ兩個(gè)一次函數(shù)相乘再乘以二分之一，結(jié)果是一個(gè)二次函數(shù)，然后根據(jù)它們的斜率乘積的正負(fù)性判別拋物線(xiàn)開(kāi)口方向；當(dāng)P在DE上有D向E運(yùn)動(dòng)時(shí)，高PQ不變，底BQ隨著t的增大而增大，則S△BPQ是一個(gè)一次函數(shù)，然后根據(jù)斜率的正負(fù)性判別圖象上升還是下降；當(dāng)P在EC上由E向C運(yùn)動(dòng)時(shí)高PQ逐漸減小，底BQ逐漸增大，S△BPQ的圖象會(huì)是一二次函數(shù)，再根據(jù)PQ和BQ兩個(gè)一次函數(shù)的斜率乘積的正負(fù)性來(lái)判斷拋物線(xiàn)開(kāi)口方向．【解答】解：∵PQ⊥BQ∴在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△BPQ始終是直角三角形．∴S△BPQ＝PQ?BQ①當(dāng)點(diǎn)P在BD上，Q在BC上時(shí)（即0s≤t≤2s）BP＝t，BQ＝PQ?cos60°＝t，PQ＝BP?sin60°＝tS△BPQ＝PQ?BQ＝?t?t＝t2此時(shí)S△BPQ的圖象是關(guān)于t（0s≤t≤2s）的二次函數(shù)．∵＞0∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上；②當(dāng)P在DE上，Q在BC上時(shí)（即2s＜t≤4s）PQ＝BD?sin60°＝×2＝，BQ＝BD?cos60°+（t﹣2）＝t﹣1S△BPQ＝PQ?BQ＝??（t﹣1）＝t﹣此時(shí)S△BPQ的圖象是關(guān)于t（2s＜t≤4s）的一次函數(shù)．∵斜率＞0∴S△BPQ隨t的增大而增大，直線(xiàn)由左向右依次上升．③當(dāng)P在DE上，P在EC上時(shí)（即4s＜t≤s）PQ＝[CE﹣（t﹣4）]?sin45°＝﹣t（4s＜t≤s），BQ＝BC﹣CQ＝BC﹣[CE﹣（t﹣4）]?cos45°＝﹣（﹣t）＝t+S△BPQ＝PQ?BQ由于展開(kāi)二次項(xiàng)系數(shù)a＝k1?k2＝?（﹣）?（）＝﹣拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，故選：D．二、填空題：6.一塊直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，測(cè)得BC邊的中心投影B1C1長(zhǎng)為24cm，則A1B1長(zhǎng)為cm．

【分析】由題意易得△ABC∽△A1B1C1，根據(jù)相似比求A1B1即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，∴AB＝4，∵△ABC∽△A1B1C1，∴A1B1：AB＝B1C1：BC＝2：1，即A1B1＝8cm．7.如圖，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°．若飛機(jī)離地面的高度CH為1200米，且點(diǎn)H，A，B在同一水平直線(xiàn)上，則這條江的寬度AB為1200（﹣1）米（結(jié)果保留根號(hào)）．

【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用銳角三角函數(shù)，用CH表示出AH、BH的長(zhǎng)，然后計(jì)算出AB的長(zhǎng)．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°∴AH＝CH＝1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B＝∴HB＝＝＝＝1200（米）．∴AB＝HB﹣HA＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米故答案為：1200（﹣1）

8.如圖．在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E．那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為。

【分析】如圖，過(guò)D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE＝DE，OA＝CD＝1，設(shè)OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長(zhǎng)度，也就求出了D的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，過(guò)D作DF⊥AF于F，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），∴AO＝1，AB＝3，根據(jù)折疊可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝1，設(shè)OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，∴AE＝CE＝3﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣1＝，∴D的坐標(biāo)為（﹣，）．

9.如圖，點(diǎn)I和O分別是△ABC的內(nèi)心和外心，則∠AIB和∠AOB的關(guān)系為。

【分析】根據(jù)圓周角定義，以及內(nèi)心的定義，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到兩個(gè)角的關(guān)系．【解答】解：∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝∠AOB，∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+∠AOB，即4∠AIB﹣∠AOB＝360°10.如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長(zhǎng)為．

【分析】直接利用三角形中位線(xiàn)定理進(jìn)而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)得出EG以及DG的長(zhǎng)．【解答】解：連接DE，∵在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于點(diǎn)F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，∴FC=EC=1，故EF==，∵G為EF的中點(diǎn)，∴EG=，∴DG==．故答案為：．

三、解答題：11.如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足為F．（1）若AC＝10，求四邊形ABCD的面積；（2）求證：AC平分∠ECF；（3）求證：CE＝2AF．

【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAD，根據(jù)SAS推出△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積＝三角形ACE的面積，即可得出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACE＝∠AEC＝45°，△ABC≌△ADE求出∠ACB＝∠AEC＝45°，推出∠ACB＝∠ACE即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CG，垂足為點(diǎn)G，求出AF＝AG，求出CG＝AG＝GE，即可得出答案．【解答】（1）解：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD，∴；（2）證明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，由△ABC≌△ADE得：∠ACB＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE，∴AC平分∠ECF；（3）證明：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CG，垂足為點(diǎn)G，∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF＝AG，又∵AC＝AE，∴∠CAG＝∠EAG＝45°，∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，∴CG＝AG＝GE，∴CE＝2AG，∴CE＝2AF．

12.如圖，已知點(diǎn)A(1，2)是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖象上的一點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交雙曲線(xiàn)的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)；若△PAB是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：∵反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴A，B兩點(diǎn)關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，∴O為AB的中點(diǎn)，且B(－1，－2)，∴當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)有PA＝AB或PB＝AB，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0)，∵A(1，2)，B(－1，－2)，∴AB＝eq\r([1－（－1）]2＋[2－（－2）]2)＝2eq\r(5)，PA＝eq\r(（x－1）2＋22)，PB＝eq\r(（x＋1）2＋（－2）2)，當(dāng)PA＝AB時(shí)，則有eq\r(（x－1）2＋22)＝2eq\r(5)，解得x＝－3或5，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)或(5，0)；當(dāng)PB＝AB時(shí)，則有eq\r(（x＋1）2＋（－2）2)＝2eq\r(5)，解得x＝3或－5，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)或(－5，0)．綜上可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)13.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)A且MN∥BC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且點(diǎn)D在直線(xiàn)MN上(不與點(diǎn)A重合)，如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD＝DP.(無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程)(1)在圖2中，DE與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，BD＝DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在圖3中，DE與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明．

解：

(1)BD＝DP成立，證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)F，則△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF.∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF與△PDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠2＝∠1，,DF＝DA，,∠DFB＝∠DAP＝45°，))

∴△BDF≌△PDA(ASA)，∴BD＝DP(2)BD＝DP.證明：如圖③，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF.在△BDF與△PDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠PAD＝45°，,DF＝DA，,∠BDF＝∠PDA，))∴△BDF≌△PDA(ASA)，∴BD＝DP14.問(wèn)題：如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線(xiàn)段BC，DC，EC之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系式為BC＝DC+EC；探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線(xiàn)段AD，BD，CD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長(zhǎng)．

【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，連接CE，DE，證明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）BC＝DC+EC，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△B