結(jié)構(gòu)力學(xué)影響線

結(jié)構(gòu)力學(xué)影響線1第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四在移動載荷作用下，結(jié)構(gòu)任意截面的內(nèi)力（M

、

FQ

、

FN）和位移（△、θ）及支座反力均隨移動荷載在結(jié)構(gòu)上的位置變化而變化。FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q

結(jié)構(gòu)在移動荷載作用下，主要討論下述問題：

1）對于給定截面C，其位移或內(nèi)力（例如Mc）當(dāng)給定的移動荷載在什么位置時得到最大值？該問題是求移動荷載的最不利位置問題。2第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

2）對于給定的移動荷載組，簡支梁AB上哪個截面的彎矩當(dāng)移動荷載在什么位置時取得最大值？該問題是簡支梁絕對最大彎矩的求解問題。此外，還要討論簡支梁和連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖的畫法等問題。為求解以上問題，首先要討論結(jié)構(gòu)影響線的求解。實際移動荷載是由若干集中力及均布荷載組成的，而且每個集中力的大小也不同。但我們首先要討論的是具有共性的問題，即單個移動荷載FP=1在結(jié)構(gòu)上移動時結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移的變化規(guī)律。3第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四FP=1xBAla)FRAyb)xyy1y2FRA影響線1現(xiàn)討論圖a)所示簡支梁，當(dāng)單個荷載FP=1在梁上移動時，支座A的反力FRA的變化規(guī)律。4第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四在影響線圖形中，橫坐標(biāo)x表示單位移動荷載在梁上的位置；縱坐標(biāo)y表示當(dāng)單位荷載在該位置時，影響系數(shù)的大小。上式是反力影響系數(shù)與移動荷載位置參數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)圖形就稱為反力

FRA的影響線，見上頁圖b)。

由上式可見，F(xiàn)RA與FP成正比，比例系數(shù)稱為FRA的影響系數(shù)，用表示，即：5第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四BFP1AFP2c)若梁上作用有固定荷載（圖c），則根據(jù)疊加原理，A支座的反力FRA為：

b)xyyy1y2FRA影響線16第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

當(dāng)單位集中移動荷載FP=1在結(jié)構(gòu)上移動時，表示結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z變化規(guī)律的曲線，稱為Z的影響線。量值Z可以是截面內(nèi)力或位移，也可以是支座反力。影響系數(shù)是Z與FP的比例系數(shù)，即：二、

影響線定義與Z的量綱不同，它們相差一個荷載FP的量綱。7第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四§5-2靜力法作影響線梁彎矩M的正負(fù)號：剪力FQ的正負(fù)號：軸力FN的正負(fù)號：一、內(nèi)力和支座反力的正負(fù)號

豎向反力通常以向上為正，向下為負(fù)。8第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四二、簡支梁的影響線

靜力法作影響線：用靜力平衡方程求出的函數(shù)關(guān)系，然后畫出函數(shù)圖形就求得了影響線。1.支座反力影響線FP=1xBAlabC9第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四FRA影響線FRB影響線2.彎矩和剪力影響線當(dāng)FP=1在AC段，取CB段作隔離體：bBC1110第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)FP=1在CB段，取AC段作隔離體：aCAMc影響線

ab截面C彎矩和剪力影響線如下圖示。11第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四FQC影響線

llal12第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四下面討論影響線與內(nèi)力圖的區(qū)別。xFP=1ACablBACablBFP=1影響線

FQ圖

M圖內(nèi)力圖

FQC影響線

MC影響線

13第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四§5-2機(jī)動法作影響線

機(jī)動法作靜定結(jié)構(gòu)影響線是應(yīng)用虛功原理把求影響線的靜力平衡問題轉(zhuǎn)化為作剛體位移圖的幾何問題。對于單跨或多跨梁，由于剛體位移圖很容易確定，所以影響線的求解十分簡捷。現(xiàn)以下圖所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影響線為例進(jìn)行說明。FP=1xl/4l/4lAB14第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四1.

撤去與相應(yīng)的約束，代之以反力，原結(jié)構(gòu)變成具有一個自由度的機(jī)構(gòu)。

2.

令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使與Z方向一致，則虛功方程為：上式中，恒為正；與FP同向為正，反向為負(fù)。乘積的正負(fù)號由的正負(fù)號調(diào)整。FP=1xAB15第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四可見，在圖中，令，并將圖反號，就求得Z的影響線，并且能確定影響線的正負(fù)號及豎標(biāo)大小。3.

由上式可得:令得到AB1FRB影響線16第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四用機(jī)動法求下圖所示伸臂梁MC及FQC的影響線。例5-2-1FP=1ABC2ddddx解：1.

作MC的影響線將C截面變?yōu)殂q接，暴露出彎矩；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面相對轉(zhuǎn)角與同向，就得到圖，見下頁圖。

17第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四虛功方程為:

ABC18第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四令則上式表明，在圖中，令并反號，就可求得MC影響線。MC影響線2.作FQC的影響線

將C截面改為滑動連結(jié)，暴露出剪力；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面位移方向與相同，就得到圖，見下頁圖。19第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四虛功方程為:

令則ABC20第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四§5-4影響線的應(yīng)用一、求各種固定荷載作用下的影響若已求得指定截面某量值Z的影響線，根據(jù)疊加原理，就可以求得固定荷載作用下該量值Z的大小。梁截面C的彎矩MC的影響線已求得如右圖示，求固定荷載作用下的MC值。0.253m1mA1m1mB0.250.750.750.375Mc影響線C21第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四一組集中荷載：均布荷載：Mc影響線C0.5m2m20kN15kN10kNCBq3m1mA1m1mB0.250.750.750.375C22第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四把單個集中移動荷載放在影響線的最大或最小豎標(biāo)位置，就得到最不利荷載位置，進(jìn)而求得Zmax或Zmin

。二、最不利荷載位置使結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z達(dá)到最大值Zmax或最小值Zmin時實際移動荷載的位置，稱為最不利荷載位置。1.單個集中移動荷載對于剪力FQC影響線，將集中力FP放在截面C，見右圖，就得到：ABb/la/lFQC影響線C23第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四對于伸臂梁的MC影響線（見下圖），將FP分別放在截面C和E，就得到：2.可任意布置的均布活荷載可任意布置的均布活荷載通常指人群荷載。把影響線正號部分布滿均布活載，可以求得Zmax，把影響線負(fù)號部分布滿均布活載，可以求得Zmin。ADBymaxyminMc影響線CE24第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四q求(Mc)

max求(Mc)

minqqω1ω3ω2ADBMc影響線CE25第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四3.一組移動集中荷載

一組移動集中荷載：各集中力的大小、方向及相互間的距離均保持不變，作為整體在結(jié)構(gòu)上移動。為了確定最不利荷載位置，原則上使排列密集、數(shù)值較大的集中力放在影響線豎標(biāo)較大的部位，而且一定有一個集中力位于影響線的某個頂點上。為確定最不利荷載位置，通常分兩步：1）求出使Z達(dá)到極值的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置，而且可能不止一個。26第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四2）從Z的極大值中選出最大值，從Z的極小值中選出最小值，從而確定最不利荷載位置。下面以多邊形影響線為例，說明臨界荷載位置的特點及其判定方法。FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3Δxα1xΔxΔxα2α327第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四因為是x的一次函數(shù)，所以Z也是x的一次函數(shù)。若荷載右移動Δx，則豎標(biāo)的增量為：則Z的增量為：在影響線圖中，α1>0，α2>0，α3<0。由上面影響線圖可得出:28第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四因為Z是x的一次函數(shù)，所以Z-x圖形是折線圖形。于是ΔZ/Δx是折線圖形中各折線段的斜率。對于折線圖形，極值發(fā)生在使ΔZ/Δx變號的尖點處。xZ+-+00-極大值點xZ-+-00+極小值點若移動荷載組在某位置剛好使Z取得極大值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，。29第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四若移動荷載組在某位置剛好使Z取得極小值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，?？傊?，當(dāng)荷載在Z的極值點位置稍向左、右移動時，必須變號。如何使變號？是常數(shù)，可以變化的只是FRi。為了使FRi變化，必須有一個集中力位于影響線的頂點，此荷載記作FPcr，當(dāng)FPcr位于影響線的頂點以左或以右時，會引起FRi發(fā)生變化，如下圖示。30第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2當(dāng)移動荷載左右移動時，能使改變符號的荷載FPcr稱為臨界荷載，相應(yīng)的移動荷載組的位置稱為臨界位置。31第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四在給定的移動荷載組中，能使變號的臨界荷載可能不止一個。確定最不利荷載位置的步驟如下：1)

選定一個集中力作為FPcr，使它位于影響線的一個頂點上；2）當(dāng)FPcr稍作左右移動時，分別計算的值。若變號，則此FPcr即為一臨界荷載，相應(yīng)的荷載位置為臨界位置。用同樣的方法可以確定其它的FPcr及相應(yīng)的荷載臨界位置。3)

對于每個荷載臨界位置求出相應(yīng)的Z值，比較各個Z值，可確定Zmax及Zmin，進(jìn)而確定相應(yīng)的最不利荷載位置。32第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例5-4-1

如下圖多邊形影響線及移動荷載組，試求荷載最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影響線6m4m8mα1α310.75α233第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四1）將