數(shù)理統(tǒng)計2015 第8章 單因素方差分析2015

第8章

單因素方差分析18.1方差分析的基本原理8.2固定效應(yīng)模型8.3隨機(jī)效應(yīng)模型8.4t檢驗(yàn)和one-wayANOVA的關(guān)系

8.5

多重比較8.6

方差分析應(yīng)具備的條件8.7一個one-wayANOVA的完整例子8.8

one-wayANOVA統(tǒng)計在學(xué)術(shù)論文中的表達(dá)28.1方差分析的基本原理8.1.1方差分析的一般概念8.1.2方差分析的直觀理解8.1.3不同處理效應(yīng)與不同模型38.1.1方差分析的一般概念在環(huán)境與生態(tài)學(xué)的研究中，常需要通過抽樣來檢驗(yàn)若干個具有同樣（未知）方差的正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望之間有某些相等關(guān)系。方差分析(analysisofvariance,ANOVA)是一類特定情況下的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，可同時判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異顯著性，是兩個平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）的一種引申。當(dāng)然，在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時，可以在平均數(shù)的所有對之間做t檢驗(yàn)。但這樣做會提高犯I型錯誤的概率，因而是不可取的。4例如，用一對一比較的方法檢驗(yàn)5個平均數(shù)之間的相等性，共需檢驗(yàn)10對。假設(shè)每一對檢驗(yàn)接受零假設(shè)的概率都是1-0.95，而且這些檢驗(yàn)都是獨(dú)立的，那么10對都接受的概率是(0.95)100.60，1-0.600.40，犯I型錯誤的概率由5%增加到40%。用ANOVA做檢驗(yàn)可防止上述問題的出現(xiàn)。方差分析的方法是1918年英國統(tǒng)計學(xué)家R.Fisher提出的，其基本思想是將數(shù)據(jù)間的變異性分解成組間變異和組內(nèi)變異。組即樣本，不同的組（如接受不同處理）來自不同的總體。方差分析內(nèi)容廣泛，上面講到的情況是方差分析中最簡單的，稱單因素方差分析

(one-wayANOVA)，如：5例8.1調(diào)查了5個不同小麥品系的株高，結(jié)果列于表8-1。表8-15個小麥品系株高（cm）調(diào)查結(jié)果株號品系ⅠⅡⅢⅣⅤ164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.170.069.8466.063.766.869.168.3565.863.968.571.067.5和326.5322.0336.5354.0343.0平均數(shù)65.364.467.370.868.6這個例子只出現(xiàn)“品系”這個因素(factor)，故稱單因素。共5個品系，稱5個水平(level)。5個品系可認(rèn)為是5個總體，而表中數(shù)據(jù)是從這5個總體抽出的5個樣本。One-wayANOVA解決的問題：通過比較這5個樣本的平均數(shù)，推斷這5個總體（5個水平）的平均數(shù)是否存在差異。6例8.2為了探討不同窩的動物出生體重是否存在差異，隨機(jī)選取4窩動物，每窩中均有4只幼仔（表8-2）。表8-24窩動物的出生重/g動物號窩別ⅠⅡⅢⅣ134.733.227.132.9233.326.023.331.4326.228.627.825.7431.632.326.728.0和125.8120.1104.9118.0平均數(shù)31.45030.02526.22529.500One-wayANOVA可解決的問題：通過以上數(shù)據(jù)的分析，判斷不同窩別（不同水平）動物出生重是否存在差異。7以上兩個例子的共同點(diǎn)：每個實(shí)驗(yàn)都只有一個因素，該因素有a個處理(treatment)，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為單因素實(shí)驗(yàn)。從單因素實(shí)驗(yàn)的每一處理所得到的結(jié)果都是一隨機(jī)變量Yi。對于a個處理，各重復(fù)ni次(或者說做ni次觀測)的one-wayANOVA中數(shù)據(jù)的一般化表示見表8-3。8表8-3單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)

Y1Y2Y3…Yi…Ya1y11y21y31…yi1…ya12y12y22y32yi2ya23y13y23y33yi3ya3………………jy1jy2jy3jyijyaj………………niy1n1y2n2y3n3yiniyana平均數(shù)

…

…

方差分析各水平的重復(fù)數(shù)一般相等(均為n)，但也有不等的情況，這時的n為ni。9表中的數(shù)據(jù)yij，表示第i次處理下的第j次觀測值。其中的幾個符號做如下說明：“.”表示對一個下標(biāo)的和，“..”表示對2個下標(biāo)的和，N表示全部觀測值個數(shù)，各水平重復(fù)數(shù)均為n時，N=an。108.1.2方差分析的直觀理解從例8.1的敘述可以看出，實(shí)際上方差分析也是一種對平均數(shù)所做的檢驗(yàn)。對平均數(shù)做檢驗(yàn)，可以采用兩種不同的方式：一種是檢驗(yàn)兩個平均數(shù)的差是否可用隨機(jī)誤差解釋。如果平均數(shù)的差是由隨機(jī)誤差造成的，那么平均數(shù)之間的差異不顯著，抽出樣本的兩個總體的平均數(shù)相同。另一種檢驗(yàn)方式是檢驗(yàn)幾個樣本平均數(shù)的方差是否足夠大。如果樣本平均數(shù)的方差足夠大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于由隨機(jī)誤差所產(chǎn)生的方差，說明這幾個樣本平均數(shù)之間的離散程度很高，除了誤差效應(yīng)外，必然還存在不同的處理效應(yīng)。我們便可以推斷，抽出這幾個樣本的總體是不同的，即這些總體的平均數(shù)不同。11在表8-3中，從a個總體中抽出a個樣本，可以得出a個樣本平均數(shù)，并可以計算出這a個樣本平均數(shù)的方差。因?yàn)樵摲讲钍菑牟煌瑯颖酒骄鶖?shù)計算得到的，所以又可稱為組間方差。然后將組間方差與隨機(jī)誤差的方差用F檢驗(yàn)做比較，若拒絕零假設(shè)，則樣本平均數(shù)的方差是顯著的，它們可能抽自平均數(shù)不同的總體。而一個樣本不同觀測值（重復(fù)）之間（組內(nèi)）的方差是由隨機(jī)誤差引起的。因此，在方差分析中，隨機(jī)誤差的方差可以由這a個樣本內(nèi)重復(fù)之間的方差獲得。由重復(fù)之間計算得到的方差也可以稱為組內(nèi)方差。用組內(nèi)方差對組間方差做F檢驗(yàn)，若F值落在拒絕域內(nèi)，則樣本平均數(shù)之間的差異是顯著的，它們抽自總體平均數(shù)不同的a個總體，或者說，樣本間存在不同的處理效應(yīng)。12上面的敘述只是對one-wayANOVA的直觀理解，還有很多更深入的問題如：組內(nèi)方差真的是隨機(jī)誤差的估計嗎？組間方差真的能代表不同處理的效應(yīng)嗎？方差分析包括了a個處理，也就是有a個樣本，這時的組內(nèi)方差又是怎樣計算的？如果one-wayANOVA表明該因素的作用顯著（即平均數(shù)差異顯著），是否代表任何不同水平間都有顯著差異、如何合理分析這些差異？在論文寫作中，如何規(guī)范表達(dá)該類統(tǒng)計結(jié)果？等等?？梢哉f，在所有的統(tǒng)計方法中，方差分析是我們環(huán)境與生態(tài)學(xué)研究中使用最多的，而one-wayANOVA又是方差分析中最基礎(chǔ)的。138.1.3不同處理效應(yīng)與不同模型數(shù)學(xué)模型是方差分析的基礎(chǔ)。常用線性統(tǒng)計模型(linearstatisticalmodel)描述one-wayANOVA的每一觀測值。它把觀測值表示為各影響因素效應(yīng)的線性組合。

yij是第i水平(處理)下的第j次觀測值；

是對所有觀測值的一個參數(shù)，稱總平均數(shù)(overallmean)；i是僅限于對第i次處理的一個參數(shù)，也稱第i次處理效應(yīng)(treatmenteffect)。方差分析的目的，就是要檢驗(yàn)處理效應(yīng)的大小和有無。ij是隨機(jī)誤差成分。要求模型中的誤差ij是服從正態(tài)分布N(0,2)的獨(dú)立隨機(jī)變量，并要求各水平的方差均為2。14上述模型中，處理效應(yīng)可能有兩類。第一類處理效應(yīng)稱為固定效應(yīng)(fixedeffect)，是由固定因素(fixedfactor)產(chǎn)生的效應(yīng)。若因素的a個水平是經(jīng)過特意選擇的，則該因素稱為固定因素，例如，實(shí)驗(yàn)者人為選定的幾種不同實(shí)驗(yàn)溫度、幾種不同化學(xué)藥物或一種藥物的幾種不同濃度、幾個作物品種、幾種治療方案等。在這些情況中，因素的水平是人為選定的，所檢驗(yàn)的是關(guān)于i的假設(shè)，因此溫度、藥物、濃度、品種等稱為固定因素。方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個水平，

并不能將其結(jié)論擴(kuò)展到未加考慮的其他水平上。處理固定因素所用的模型稱為固定效應(yīng)模型(fixedeffectmodel)或簡單地稱為固定模型(fixedmodel)。15例8.1中的5個小麥品系是特意選擇的，目的是從這5個品系中，選出最優(yōu)者，因而“品系”這個因素屬于固定因素，所使用的模型是固定效應(yīng)模型。第二類處理效應(yīng)稱隨機(jī)效應(yīng)(randomeffect)，是由隨機(jī)因素(randomfactor)產(chǎn)生的。若因素的a個水平，是從該因素水平總體中隨機(jī)抽出的樣本，則該因素稱隨機(jī)因素。從隨機(jī)因素a個水平所得的結(jié)論，可推廣到該因素的所有水平。這里i是一個隨機(jī)變量，檢驗(yàn)的是關(guān)于i的變異性的假設(shè)。處理隨機(jī)因素所用的模型稱隨機(jī)效應(yīng)模型(randomeffectmodel)或隨機(jī)模型(randommodel)。例8.2的動物窩別是從所有可能的窩別中隨機(jī)抽出的，目的是考查窩別間出生重是否存在差異，故“窩別”是隨機(jī)因素。16有時固定因素與隨機(jī)因素很難區(qū)分，除上述所講的原則外，還可以從另一個角度考慮：固定因素是指因素的水平可以嚴(yán)格地人為控制，在水平固定之后，它的效應(yīng)值也是固定的。例如，研究3種不同溫度對胰蛋白酶水解產(chǎn)物的影響。因?yàn)闇囟人绞强梢試?yán)格控制的，即每個溫度水平，在各個重復(fù)之間都可以準(zhǔn)確地控制在一個固定值上，所以在重復(fù)該實(shí)驗(yàn)時，水解產(chǎn)物的產(chǎn)量也是固定的。簡單地說：在水平（不同溫度）固定以后，其效應(yīng)值（產(chǎn)量）也是固定的。因此，溫度是固定因素。17隨機(jī)因素的水平不能嚴(yán)格地人為控制，在水平確定之后，它的效應(yīng)值并不固定。例如，在研究農(nóng)家肥不同施用量對作物產(chǎn)量的影響試驗(yàn)中，農(nóng)家肥是因素，不同施用量是該因素的不同水平，作物的產(chǎn)量是它的效應(yīng)值。由于農(nóng)家肥的有效成分很復(fù)雜，不能像控制溫度那樣將農(nóng)家肥的有效成分嚴(yán)格控制在某一個固定值上。在重復(fù)試驗(yàn)時即使施以相同量的農(nóng)家肥，也得不到一個固定的效應(yīng)值。也就是說，在因素的水平（施肥量）固定之后，它的效應(yīng)值（產(chǎn)量）并不固定，因而農(nóng)家肥是一個隨機(jī)因素。188.2固定效應(yīng)模型8.2.1固定效應(yīng)線性統(tǒng)計模型8.2.2平方和與自由度的分解8.2.3均方期望與統(tǒng)計量F8.2.4平方和的簡易計算方法198.2.1固定效應(yīng)線性統(tǒng)計模型在固定模型中，i是處理平均數(shù)i與總平均數(shù)的離差，是個常量，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)要檢驗(yàn)a個處理效應(yīng)的相等性，就要判斷各i是否都等于0。若各i都等于0，則各處理效應(yīng)間無差異。因此，零假設(shè)為：H0：1=2=...=a=0，相當(dāng)于1=2=...=a若接受H0，則不存在處理效應(yīng)，每個觀測值都由總平均數(shù)加上隨機(jī)誤差構(gòu)成。若拒絕H0，則存在處理效應(yīng)，每個觀測值由總平均數(shù)、處理效應(yīng)及誤差三部分構(gòu)成。208.2.2平方和與自由度的分解方差分析的基本思想，就是將總的變差（變異）分解為各個分量，再用適當(dāng)方法對各分量進(jìn)行檢驗(yàn)。對單因素實(shí)驗(yàn)可將總平方和(SST,totalsumofsquare，平方和指離均差平方和，后同)作如下分解：對于每個固定的，同一組內(nèi)的離均差之和為0，所以21該式表示度量全部數(shù)據(jù)變差的總平方和，可分解為處理平均數(shù)與總平均數(shù)之間（組間）離差的平方和[SSA，處理平方和(treatmentsumofsquares)或處理間平方和(sumofsquaresamongtreatments)]及處理內(nèi)部觀測值與處理平均數(shù)之間（組內(nèi)）離差的平方和[SSE，誤差平方和(errorsumofsquares)或處理內(nèi)平方和(sumofsquareswithintreatments)]兩部分。處理平均數(shù)與總平均之間的離差，度量了處理之間的差異；而處理內(nèi)部觀測值與處理平均數(shù)之間的離差，度量了隨機(jī)誤差的大小。因此22自由度可以做同樣的分割：總自由度dfT=ni-1=N-1；共有a個水平，因而dfA=a-1；誤差項(xiàng)有(ni-1)=N-a自由度，這是因?yàn)槊恳惶幚碛衝i-1自由度，共有a個處理，因而dfE=N-a=dfTdfA。為了估計2，用SSE除以相應(yīng)的自由度得誤差均方(MSE，errormeansquare)。(注意這里不稱方差而稱均方)用SSA除以相應(yīng)的自由度得處理均方(MSA，meansquareamongtreatments)。238.2.3均方期望與統(tǒng)計量F可以證明MSE是2的無偏估計量。24用類似的方法，可以求出MSA的數(shù)學(xué)期望：E(ij)=0，故所有包含ij的乘積項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望均為0，于是2526由以上結(jié)果可以看出：誤差均方反映了隨機(jī)因素所造成的方差的大小，它是2的無偏估計量。對于處理項(xiàng)來說，只有當(dāng)零假設(shè)H0：1=2=...=a=0成立時，MSA才是2的無偏估計量。當(dāng)i=0時，項(xiàng)等于0，這時E(MSA)=2。因此，用MSA和MSE比較，就可以反映出i的大小。若MSA與MSE相差不大，就可以認(rèn)為i與0的差異不大。若MSA比MSE超出很多，則認(rèn)為i間差異是顯著的。為此，用F上尾單側(cè)檢驗(yàn)。27當(dāng)F<F時，則可以認(rèn)為MSA與MSE差異不大，產(chǎn)生的變差是由隨機(jī)誤差造成的，近于0，接受零假設(shè)，處理平均數(shù)之間差異不顯著。當(dāng)F>F時，MSA顯著高于MSE，項(xiàng)不再為0，拒絕零假設(shè)，處理平均數(shù)間差異顯著。以上所述可以歸納成方差分析表(analysisofvariancetable)

表8-4單因素固定效應(yīng)模型方差分析表變差來源平方和自由度均方F均方期望處理間SSAa-1MSA誤差或處理內(nèi)SSEN-aMSE2總和SSTN-1288.2.4平方和的簡易計算方法在實(shí)際計算中：其中的通常稱為校正項(xiàng)(correction)，用C表示，則誤差平方和可由下式得29現(xiàn)在用以上各式計算例8.1。在方差分析中，為了簡化計算.同樣可以用編碼法。方差分析的編碼，必須將全部數(shù)據(jù)均減去同一個數(shù)。在例8.1中，每一個yij都減去65，列成表8-5：例8.1數(shù)據(jù)編碼后的簡易計算表序號品系總和IIIIIIIVV1-0.4-0.52.86.84.220.30.31.37.13.23-0.2-0.42.15.04.841.0-1.31.84.13.350.8-1.13.56.02.51.5-3.011.529.018.057.02.259.00132.25841.00324.001308.501.933.429.43174.4668.06277.2830先計算校正項(xiàng)C：再計算31將以上結(jié)果列成方差分析表表8-6不同小麥品系株高方差分析表F4,20,0.05=2.87，F(xiàn)4,20,0.01=4.43，F(xiàn)>F0.01，即P<0.01，拒絕H0，5個不同小麥品系的株高差異極顯著。習(xí)慣用“NS”表示在=0.05水平差異不顯著，“*”為在=0.05水平差異顯著，

“**”為在=0.01水平差異顯著，常稱差異“極顯著”(highlysignificant)，“***”為在=0.001水平差異顯著，常稱差異“非常顯著”(extremelysignificant)。變差來源平方和自由度均方F品系間13.74432.9442.23**誤差15.58200.78總和147.3224328.3隨機(jī)效應(yīng)模型8.3.1隨機(jī)效應(yīng)線性統(tǒng)計模型8.3.2均方期望與統(tǒng)計量F338.3.1隨機(jī)效應(yīng)線性統(tǒng)計模型實(shí)驗(yàn)中，若參加實(shí)驗(yàn)的a個水平，是從該因素的水平總體中隨機(jī)抽出的，那么這一因素稱為隨機(jī)因素。其方差分析是通過隨機(jī)選取的a個水平對該因素的水平總體做推斷。要求水平的總體是無限總體，即使不是無限總體，也應(yīng)相當(dāng)大，以至于可以認(rèn)為是無限總體。隨機(jī)效應(yīng)的線性統(tǒng)計模型是：34其中i和ij都是隨機(jī)變量。如果i具有方差2并且獨(dú)立于ij，那么觀測值的方差為：var(yij)=2+2方差2和2稱為方差分量(variancecomponent)。在這個模型中，要求ij為NID(0,2)變量，i為NID(0,2)變量(NID表示獨(dú)立正態(tài)分布)，i是獨(dú)立隨機(jī)變量，就意味著在固定效應(yīng)模型中，的假設(shè)在這里不再適用。在隨機(jī)變量效應(yīng)模型中，對單個處理效應(yīng)的檢驗(yàn)是無意義的，所要檢驗(yàn)的是關(guān)于i的變異性的假設(shè)，因而H0：2=0，相當(dāng)于1=2=...=a；HA：2>0如果接受H0，則表示處理之間沒有差異；若拒絕H0而接受HA，則表示處理之間存在差異。358.3.2均方期望與統(tǒng)計量F隨機(jī)模型方差的做法仍然是將總平方和分解：自由度做同樣分解：dfT=dfA+dfE

由此可以得出MSA和MSE。MSA的數(shù)學(xué)期望：36在隨機(jī)效應(yīng)模型中，i不同于固定效應(yīng)模型，不再是常量，而是服從N(0，2)的隨機(jī)變量。因而MSA的數(shù)學(xué)期望是由

組成而不是由

組成。同理可證用F上尾單側(cè)檢驗(yàn)，則由均方期望可以看出：若H0成立，則分子分母均為2的無偏估計量。但在備擇假設(shè)下，則分子的數(shù)學(xué)期望大于分母的數(shù)學(xué)期望。因而，當(dāng)F>Fa-1,N-a.時拒絕H0。37隨機(jī)效應(yīng)模型方差分析的程序與固定效應(yīng)模型完全一樣，但由于獲得樣本的方式不同，致使所得結(jié)論不同。隨機(jī)效應(yīng)模型適用于水平的總體，而固定模型只適用于所選定的a個水平。下面計算例8.2，并對結(jié)果加以解釋。解:將表8-2中的每一個數(shù)值都減去30，列成表8-7

例8.2數(shù)據(jù)編碼后的簡易計算表4.73.2-2.92.93.3-4.0-6.71.4-3.8-1.4-2.2-4.31.62.3-3.3-2.0總和5.80.1-15.1-2.0-11.233.640.01228.014.00265.6649.9833.4969.0332.86185.3638將以上結(jié)果列成表8-8動物出生重方差分析表F3.12,0.05=3.49，

F<F0.05，所以差異不顯著。通過對4窩動物出生重的調(diào)查，可推斷出不同窩別動物的出生重沒有顯著差異。變差來源平方和自由度均方F窩間58.575319.5251.97NS誤差118.945129.912總和177.5215398.4t檢驗(yàn)和one-wayANOVA的關(guān)系單因素分析，如果僅有2個組，既可用t檢驗(yàn)也可用one-wayANOVA的F檢驗(yàn)。例在A、B兩片林地各隨機(jī)抽取11株某種植物的成年植株測定樹高，得到數(shù)據(jù)如下：林地株數(shù)樹高(cm)合計平均A1157120101137119117104735368118106797B11893082503922573296813861656分別用t檢驗(yàn)和one-wayANOVA的F檢驗(yàn)對兩片林地該樹種高度的差異進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)A、B兩片林地該樹種高度均服從正態(tài)分布。40解：t檢驗(yàn)應(yīng)先進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)（略）s12=847.2,s12=704.8假設(shè)為：H0：1=2，HA：12計算統(tǒng)計量：t0.05/2(n1+n2-2)=t0.025(20)=2.086，t0.01/2=

t0.005=2.845，故拒絕H0，A、B兩片林地該樹種高度的差異極顯著。41one-wayANOVA的F檢驗(yàn)假設(shè)為：H0：1=2，HA：12計算統(tǒng)計量：從表中得，，從而

SSE=SST-SSA=15520林地樹高(cm)A571201011371191171047353681181067111971103499B89308250392257329681386164154434496168315351513799542方差分析表為故拒絕H0，認(rèn)為A、B兩片林地該樹種高度的差異極顯著。即兩種檢驗(yàn)結(jié)論一致。注意，a=2時，one-wayANOVA的F檢驗(yàn)的臨界值和統(tǒng)計量均為t檢驗(yàn)的平方。變差來源平方和自由度均方或均方和F值臨界值顯著性組間或處理間（A）9245.519245.511.91F0.05(1,20)=4.351F0.01(1,20)=8.096**誤差或組內(nèi)或處理內(nèi)（E）1552020776總和（T）24765.521438.5

多重比較8.5.1最小顯著差數(shù)檢驗(yàn)8.5.2Duncan檢驗(yàn)44假定對一個固定效應(yīng)模型經(jīng)過方差分析后，結(jié)論是拒絕H0，即處理之間存在差異，其含義是至少有兩個平均數(shù)之間存在顯著差異。但這并不是說每對處理之間都存在差異。為了弄清究竟哪些對之間存在顯著差異，哪些對之間無顯著差異，必須在各處理平均數(shù)之間一對一地做比較，這就是多重比較(multiplecomparison)。多重比較的方法很多，這里只介紹LSD法和Duncan法。需要強(qiáng)調(diào)的是，無論采取哪種多重比較法，都必須在進(jìn)行了F檢驗(yàn)、確定在平均數(shù)之間有顯著差異之后再進(jìn)行，如果F檢驗(yàn)的結(jié)果是在平均數(shù)之間不存在顯著差異，則無需進(jìn)行多重比較。458.5.1最小顯著差數(shù)檢驗(yàn)最小顯著差數(shù)檢驗(yàn)(LSDtest，leastsignificantdifferencetest)，是為每一對要比較的平均數(shù)計算一個在顯著水平下的最小顯著差數(shù)，然后將兩個平均數(shù)的差值與該LSD比較，如果這個值大于LSD，則推斷這一對平均數(shù)差異顯著。它的計算方法簡述如下：對兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)差數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)，可用成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)，假設(shè)H0：i=j，HA：ij。(雙側(cè))計算統(tǒng)計量46其中，MSE為誤差均方，ni為每一處理的觀測次數(shù)，于是t>t0.05（雙側(cè)）（課本有誤）時差異顯著，t>t0.01（雙側(cè)）時差異極顯著。因此差異顯著時并且可得到當(dāng)時，差異顯著。47稱為最小顯著差數(shù)，記為LSD(各水平重復(fù)數(shù)相等時，每對比較時的LSD均相等)。每一對平均數(shù)的差與LSD比較，當(dāng)時否定H0，推斷這兩個平均數(shù)在顯著水平下差異顯著，否則差異不顯著。可以看出，LSD法本質(zhì)上仍然是兩個均數(shù)差異的t檢驗(yàn)，與常規(guī)的t檢驗(yàn)不同之處在于用MSE和dfE代替了由兩個樣本算出的合并方差和自由度。488.5.2Duncan多重極差檢驗(yàn)LSD是一種很有用的檢驗(yàn)方法，計算起來很方便，也容易比較，但有難以克服的缺點(diǎn)：會加大犯Ⅰ型錯誤的概率。為了克服上述缺點(diǎn)，Newman(1930)，Tukey(1953)等人都提出過不同的方法。比較普遍用的是Newman-Keuls檢驗(yàn)法和Duncan檢驗(yàn)法。Carmer和Swanson(1973)比較了上述諸法及其他的檢驗(yàn)方法后指出：在確定各平均數(shù)對子之間的差異時，Duncan檢驗(yàn)優(yōu)于Newman-Keuls檢驗(yàn)。因此，在這里只介紹Duncan多重極差檢驗(yàn)（Duncanmultiplerangetest）。49這個方法是在加以內(nèi)兩個平均數(shù)時先按它們“所包含的范圍”計算一個最小顯著極差，一旦兩個樣本平均數(shù)之差大于這個極差，就推斷這兩個平均數(shù)差異顯著。假設(shè)H0：i=j，HA：ij。具體方法如下：首先，將需要比較的a個平均數(shù)由大到小排序。并將每一對之間的差列成表8-9:Duncan檢驗(yàn)中，不同對平均數(shù)的差有不同的臨界值Rk。50其中r(k,df)的值可以從附表9(多重比較中的Duncan表)查出：表的最左邊一列是誤差項(xiàng)自由度df=dfE=N-a，最上一行為k值，表體為r(k,df)。表中的k是相比較的兩個平均數(shù)之間所包含的平均數(shù)的個數(shù)。如兩個要比較的平均數(shù)相鄰時k=2，兩個要比較的平均數(shù)中間隔一個平均數(shù)時k=3，依此類推。因?yàn)槠骄鶖?shù)共有a個，所以需查a-1個r，分別乘以

，得515253先從表8-9的第一行最左邊的一個差開始比較。若，則與差異顯著，否則差異不顯著，依此比較下一個。第一行比較完之后用同樣的方法比較第二行。先從第二行最左邊的一個差開始，在到這個范圍內(nèi)共包含a-1個平均數(shù)，因此應(yīng)與比較。若，則差異顯著，否則不顯著……第二行比較完再比較第三行……直到所有平均數(shù)的差均與其相應(yīng)的Rk比較完為止。對于顯著的標(biāo)上“*”，極顯著的標(biāo)上“**”。下面比較例8.1中各平均數(shù)的差數(shù)。首先將各平均數(shù)按次序排列好。54再列成表8-10：臨界值也列成表格。表8-6已經(jīng)給出誤差均方MSE=0.78，n=5，于是55對于k=2，3，4，5，

df=a(n-1)=5(5-1)=20，分別求出r0.05，r0.01和Rk值并列成表8-11：首先用=0.05水平做檢驗(yàn)。與R5比較，=6.4>R5

=1.284

,因此與差異是顯著的。在6.4上打一個“*”。>R4，在5.5上打一個“*”。第一行全都是顯著的。然后比較第二行、第三行。只有與

的差不顯著。對于顯著的差數(shù)再以=0.01的水平做檢驗(yàn)。除之外，全部達(dá)到極顯著，對于極顯著的標(biāo)“**”

。以上全部工作完成之后，便可一眼看出兩兩平均數(shù)之間的差異的顯著程度。568.6

方差分析應(yīng)具備的條件8.6.1方差分析應(yīng)滿足三個條件8.6.2多個方差齊性檢驗(yàn)578.6.1方差分析應(yīng)滿足三個條件第5章我們講過，對于不同的統(tǒng)計假設(shè)有不同的要求條件。例如，做2檢驗(yàn)時要求抽出樣本的總體，一定是一個服從正態(tài)分布的總體。這是因?yàn)?分布是建立在正態(tài)分布基礎(chǔ)之上的，若抽出樣本的總體不是正態(tài)總體，2檢驗(yàn)是無效的。方差分析存在同樣的情況。方差分析是建立在線性統(tǒng)計模型[(8.1)]基礎(chǔ)之上的，因此必須符合線性統(tǒng)計模型的要求。[(8.1)]式58指出，方差分析的每一個觀測值(yij)都是由三部分組成的：

(總平均數(shù))，i(第i次處理效應(yīng))和ij(隨機(jī)誤差)。這三個分量之間的關(guān)系式相加的。其中的隨機(jī)誤差是服從正態(tài)分布N(0,2)的獨(dú)立隨機(jī)變量，各處理的方差均為2。方差分析是在上述模型的基礎(chǔ)上建立起來的，也就是在上述三個條件下建立起來的。因此，只有在滿足上述條件的情況下，所建立起來的方差分析方法才可以使用。以上內(nèi)容歸納如下：59(1)可加性(獨(dú)立性)：每組（或水平組合）內(nèi)的個體彼此間是獨(dú)立的。每個處理效應(yīng)與誤差效應(yīng)是可加的，yij=+i+ij。i為處理效應(yīng)，ij為誤差效應(yīng)。由于有這一假定，不同的效應(yīng)才能被分解，才能最終判斷處理效應(yīng)是否比誤差效應(yīng)更顯著。(2)正態(tài)性：每組（或水平組合）所代表的總體服從正態(tài)分布。實(shí)驗(yàn)誤差是服從正態(tài)分布N(0,2)的獨(dú)立隨機(jī)變量。因此，被檢驗(yàn)的每一個總體也應(yīng)該是正態(tài)分布的。(3)方差齊性：每組（或水平組合）所代表的正態(tài)總體的方差相等。各處理的誤差方差應(yīng)具備齊性，它們有一個公共的總體方差2。60這些假設(shè)是方差分析的基本假設(shè)，如果這些假設(shè)不滿足，檢驗(yàn)統(tǒng)計量F就不服從F分布，F(xiàn)檢驗(yàn)的可靠性就會受到影響。所以在進(jìn)行方差分析前，首先要考察這些假設(shè)能否滿足或近似滿足。以上三個條件中，獨(dú)立性（可加性）是比較容易滿足的，通過合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計來保證，如動物實(shí)驗(yàn)中應(yīng)盡量保證參試個體間沒有親緣關(guān)系等。正態(tài)性和方差齊性兩者相比，方差齊性對分析結(jié)果影響更大。雖然在各處理的樣本含量相等時可以減少不齊性的影響，但不等于沒有影響。因此在做方差分析之前應(yīng)先做多個方差齊性的檢驗(yàn)。只有在具備方差齊性條件下才可做方差分析，否則方差分析的結(jié)果并不可信。618.6.2多個方差齊性（同質(zhì)性）檢驗(yàn)在方差分析的三個條件中以方差齊性這一條件對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響最大，因此在做方差分析之前，首先要檢驗(yàn)各處理組的方差是否具齊性，即對以下假設(shè)做檢驗(yàn)。H0：12=22=…=a2；HA：至少有兩個i2不相等多個方差齊性（同質(zhì)性）檢驗(yàn)(homogeneitytestforvariance)的方法很多，這里介紹HartleyF檢驗(yàn)、Cochran檢驗(yàn)和Bartlett檢驗(yàn)。62這個方法只適用于所有樣本的含量均相等的情形。假設(shè)H0：12=…=i2=…=a2=2，HA：至少有兩個i2不相等。其中i2為第i個樣本所代表的總體的方差，a為樣本數(shù)。檢驗(yàn)統(tǒng)計量：式中：分別為最大和最小的樣本方差。這個統(tǒng)計量的分布由兩個參數(shù)-樣本數(shù)a和各樣本的自由度df=n-1所決定，Hartley為此專門建立了該分布在顯著性水平=0.05和=0.01時的臨界值表（Hartley方差同質(zhì)性檢驗(yàn)臨界值表，本教材未給出。注意該表和一般的F分布臨界值表不同）。（1）HartleyF檢驗(yàn)

63例設(shè)有3個樣本的方差分別為6.21、5.12和4.34，樣本含量均為20，試對這3個樣本所在總體的方差的同質(zhì)性進(jìn)行檢驗(yàn)（=0.05）。解：H0：12=22=32，HA：至少有兩個方差不相等。Fmax=6.21/4.34=1.43查Hartley方差同質(zhì)性檢驗(yàn)臨界值表F0.05(a=3,df=19)=2.95，F(xiàn)max<F0.05(a=3,df=19)，所以接受零假設(shè)，認(rèn)為這3個樣本所在總體的方差具有同質(zhì)性。64這個方法適用于當(dāng)某個樣本方差明顯大于其他樣本方差的情形。假設(shè)同HartleyF檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計量：式中：為第i個樣本的方差，a為樣本數(shù)。這個統(tǒng)計量的分布也由兩個參數(shù)-樣本數(shù)a和各樣本的自由度df=n-1（各樣本含量相等）或df=-1（各樣本含量不等但差別不大，是各樣本含量的調(diào)和平均數(shù)）所決定，Cochran為此專門建立了該分布在顯著性水平=0.05和=0.01時的臨界值表（Cochran方差同質(zhì)性檢驗(yàn)臨界值表，本教材未給出）。（2）Cochran檢驗(yàn)

65例設(shè)有5個樣本的方差分別為26、51、40、24和28，樣本含量均為10，試對這5個樣本所在總體的方差的同質(zhì)性進(jìn)行檢驗(yàn)（=0.05）。解：H0：12=22=32=42=52，HA：至少有兩個方差不相等。檢驗(yàn)統(tǒng)計量：查Cochran方差同質(zhì)性檢驗(yàn)臨界值表G0.05(a=5,df=9)=0.3286，Gmax<G0.05(a=5,df=9)，所以接受零假設(shè)，認(rèn)為這5個樣本所在總體的方差具有同質(zhì)性。66多個方差齊性（同質(zhì)性）檢驗(yàn)用的最為廣泛的是Bartlett檢驗(yàn)。Bartlett檢驗(yàn)適用于檢驗(yàn)不同正態(tài)總體的方差的同質(zhì)性，它可用于樣本含量不等的情形。Bartlett檢驗(yàn)的基本原理是：當(dāng)a個隨機(jī)樣本是從獨(dú)立正態(tài)總體中抽取時，可以計算出統(tǒng)計量K2。當(dāng)充分大時(n>3)，K2的抽樣分布非常接近于a-1自由度的2分布。已經(jīng)證明，當(dāng)滿足正態(tài)性的假設(shè)時，Baetlett檢驗(yàn)是很敏感的。在正態(tài)性假設(shè)不能滿足時，不能使用Bartlett檢驗(yàn)。

（3）Bartlett檢驗(yàn)

67Bartlett檢驗(yàn)的統(tǒng)計量式中：a=樣本數(shù)；dfi=第i個樣本的自由度=ni-1(ni為第i個樣本的含量)；；si2=第i個樣本的方差；為平均樣本方差；K2>(a-1)2時拒絕H0。68例用Bartlett檢驗(yàn)對下表中給出的3個樣本所在的正態(tài)總體的方差的同質(zhì)性進(jìn)行檢驗(yàn)（=0.05）。解：H0：12=22=32，HA：至少有兩個方差不相等。檢驗(yàn)統(tǒng)計量：樣本號si2dfi=ni-1dfisi2lgsi2dfilgsi218.00864.000.90317.224824.67523.350.66933.346534.00416.000.60212.4048合計17103.3512.9761K2<(a-1)2=0.05(2)2=5.99，接受H0，即這3個方差是同質(zhì)的。69比較鹽度對某種魚生長的影響，隨機(jī)選取雄性2月齡體重相同且無親緣關(guān)系的20尾該種魚，每尾魚獨(dú)立培養(yǎng)，處理鹽度分別為10、15、20、25ppt，每個鹽度5尾魚，其他培養(yǎng)條件相同，培養(yǎng)30天后每尾魚增重數(shù)據(jù)如下：8.7一個one-wayANOVA的完整例子鹽度(ppt)增重(g)合計平均1057375442602505015133941331914529201315132920901825182438221311523y..=600設(shè)同一鹽度下該種魚增重服從正態(tài)分布。就鹽度對該種魚以增重為指標(biāo)的生長影響的差異進(jìn)行檢驗(yàn)。如差異顯著，請分別用LSD法和Duncan法進(jìn)行多重比較。70解：首先進(jìn)行多個方差齊性檢驗(yàn)。H0：12=22=32=42，HA：至少有兩個i2不相等。s12=99.5,s22=154,s32=46,s42=88df=a-1=4-1=3，20.05(3)=7.815，K2<20.05(3)，所以接受原假設(shè)12=22=32=42，即具有方差齊性。（注意：如不滿足方差齊性，可試數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，下一章再介紹）

71再進(jìn)行one-wayANOVA的F檢驗(yàn)。第i種鹽度下的魚增重Yi~N(i,2)，i=1,2,3,4。要檢驗(yàn)的統(tǒng)計假設(shè)為：H0：1=2=3=4，HA：至少有兩個i不相等。鹽度(ppt)增重105737544260250128981250015133941331914548214205201315132920901804162025182438221311529972645600225202097072從表中得從而變差來源平方和自由度均方F值臨界值顯