4年級(jí)奧數(shù)-等差數(shù)列求和(一)

4年級(jí)奧數(shù)-等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)求和(一)第一頁，共24頁。小故事(gùshì)一位教師布置了一道很繁雜的計(jì)算題，要求學(xué)生把1到100的所有整數(shù)加起來，教師剛表達(dá)(biǎodá)完題目，一位小男孩即刻把寫著答案的小石板交了上去。1+2+3+4+......+98+99+100=?

老師起初并不在意這一舉動(dòng)，心想這個(gè)小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于那個(gè)男孩時(shí)，才大吃一驚。

而更使人吃驚的是男孩的算法......

第二頁，共24頁。小故事(gùshì)老師發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)是101，第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù)的和也是101，……共有50對(duì)這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾(wèicéng)教過的計(jì)算等級(jí)數(shù)的方法，高斯的才華使老師——彪特耐爾十分沖動(dòng)，下課后特地向校長(zhǎng)匯報(bào)，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教這位男孩的了?？枴じダ锏吕锵！じ咚?ɡāosī)此男孩叫高斯，是德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。第三頁，共24頁。第一講四那么運(yùn)算(yùnsuàn)〔等差數(shù)列求和〕〔一〕第四頁，共24頁。等差數(shù)列的主要(zhǔyào)內(nèi)容1、等差數(shù)列的根本(gēnběn)知識(shí)2、等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的項(xiàng)3、等差數(shù)列的和第五頁，共24頁。一、等差數(shù)列的根本(gēnběn)知識(shí)第六頁，共24頁?！?〕1、2、3、4、5、6……〔2〕2、4、6、8、10、12……〔3〕5、10、15、20、25、30

像這樣按照一定規(guī)律排列成的一列數(shù)我們稱它為數(shù)列(shùliè)數(shù)列(shùliè)中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)；第1項(xiàng)稱為首項(xiàng)；最后1項(xiàng)稱為末項(xiàng)；在第幾個(gè)位置上的數(shù)就叫第幾項(xiàng)；有多少項(xiàng)稱為項(xiàng)數(shù)；〔一〕數(shù)列(shùliè)的根本知識(shí)第七頁，共24頁?！捕车炔顢?shù)列的根本(gēnběn)知識(shí)〔1〕1、2、3、4、5、6……〔2〕2、4、6、8、10、12……〔3〕5、10、15、20、25、30〔公差(gōngchā)=1〕〔公差(gōngchā)=2〕〔公差(gōngchā)=5〕通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個(gè)(yīɡè)數(shù)列中，從第一項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)差稱為這個(gè)數(shù)列的公差。第八頁，共24頁。二、等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的項(xiàng)第九頁，共24頁。數(shù)列(shùliè)：1、3、5、7、9、11……第2項(xiàng)：3=1+2首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×1〔2-1〕第3項(xiàng)：5=1+2×2首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×2〔3-1〕第4項(xiàng)：7=1+2×3首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×3〔4-1〕第5項(xiàng)：9=1+2×4首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×4〔5-1〕第6項(xiàng)：11=1+2×5首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×5〔6-1〕等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差(gōngchā)×〔項(xiàng)數(shù)-1〕等差數(shù)列的末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差(gōngchā)×〔項(xiàng)數(shù)-1〕等差數(shù)列的首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差(gōngchā)×〔項(xiàng)數(shù)-1〕適用條件：該數(shù)列一定要為等差數(shù)列第十頁，共24頁。等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×〔項(xiàng)數(shù)-1〕例1數(shù)列(shùliè)2、5、8、11、14……求：〔1〕它的第10項(xiàng)是多少？〔2〕它的第98項(xiàng)是多少？〔3〕這個(gè)數(shù)列(shùliè)各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？分析(fēnxī)：首項(xiàng)=2公差=3解：〔1〕第10項(xiàng)：2+3×〔10-1〕=29〔2〕第98項(xiàng)：2+3×〔98-1〕=293

第十一頁，共24頁。等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×〔項(xiàng)數(shù)-1〕例1數(shù)列2、5、8、11、14……求：〔3〕這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同(xiānɡtónɡ)的余數(shù)？分析：被除數(shù)=余數(shù)+除數(shù)×商等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的某一項(xiàng)=2+3×〔項(xiàng)數(shù)-1〕規(guī)律：等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的某一項(xiàng)與被除數(shù)相對(duì)應(yīng)，首項(xiàng)與余數(shù)相對(duì)應(yīng)，公差與除數(shù)相對(duì)應(yīng)，〔項(xiàng)數(shù)-1〕與商相對(duì)應(yīng)。這個(gè)數(shù)列每1項(xiàng)除以3都余2。等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。答：這個(gè)數(shù)列第10項(xiàng)是29；第98項(xiàng)是293；這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)除以3余數(shù)相同。

第十二頁，共24頁。例2數(shù)列2、5、8、11、14、17，這個(gè)(zhège)數(shù)列有多少項(xiàng)。分析(fēnxī)：第2項(xiàng)比首項(xiàng)多1個(gè)公差，第3項(xiàng)比首項(xiàng)多2個(gè)公差，第4項(xiàng)比首項(xiàng)多3個(gè)公差……，那第n項(xiàng)比首項(xiàng)多〔n-1)個(gè)公差。規(guī)律：末項(xiàng)比首項(xiàng)多的公差的個(gè)數(shù)，再加上1，就得到(dédào)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=公差個(gè)數(shù)+1=〔末項(xiàng)-首項(xiàng)〕÷公差+1這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=〔17-2〕÷3+1=6第十三頁，共24頁。小結(jié)(xiǎojié)：等差數(shù)列項(xiàng)的有關(guān)(yǒuguān)規(guī)律等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)+公差×〔項(xiàng)數(shù)-1〕等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=〔末項(xiàng)-首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)〕÷公差+1第十四頁，共24頁。練習(xí)(liànxí)1、一串?dāng)?shù)：1、3、5、7、9、……49?！?〕它的第21項(xiàng)是多少?〔2〕這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？2、一串?dāng)?shù)：2、4、6、8、……2019?！?〕它的第25項(xiàng)是多少?〔2〕這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？3、一串?dāng)?shù)：101、102、103、104、……199?！?〕它的第30項(xiàng)是多少?〔2〕這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？4、一串?dāng)?shù)：7、12、17、22……?！?〕它的第60項(xiàng)是多少?〔2〕這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同(xiānɡtónɡ)的余數(shù)？第十五頁，共24頁。練習(xí)(liànxí)答案：1、它的第21項(xiàng)=1+2×〔21-1〕=41；這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=〔49-1〕÷2+1=25；2、它的第25項(xiàng)=2+2×〔25-1〕=50；這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=〔2019-2〕÷2+1=1004；3、它的第30項(xiàng)=101+1×〔30-1〕=130；這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=〔199-101〕÷1+1=994、它的第60項(xiàng)=7+5×〔60-1〕=302；這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被5除有相同(xiānɡtónɡ)的余數(shù)?！蔡崾荆旱炔顢?shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同(xiānɡtónɡ)?！车谑?，共24頁。二、等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的和第十七頁，共24頁。例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：這是一個(gè)(yīɡè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=6，末項(xiàng)=38，公差=4原數(shù)列(shùliè)的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒過來的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6444444444444444444兩數(shù)列(shùliè)之和=〔6+38〕×9解：原數(shù)列(shùliè)之和=〔6+38〕×9÷2=44×9÷2=198等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的和=〔首項(xiàng)+末項(xiàng)〕×項(xiàng)數(shù)÷2第十八頁，共24頁。例：計(jì)算(jìsuàn)1+6+11+16+21+26+......+276分析(fēnxī)：這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=276，公差=5等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的和=〔首項(xiàng)+末項(xiàng)〕×項(xiàng)數(shù)÷2？等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的項(xiàng)數(shù)=〔末項(xiàng)-首項(xiàng)〕÷公差+1解：等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：〔276-1〕÷5+1=56〔項(xiàng)〕

原數(shù)列之和=〔1+276〕×56÷2=277×28=7756第十九頁，共24頁。練習(xí)(liànxí)1、計(jì)算(jìsuàn)〔1〕7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37〔2〕7+11+15+19+......+403〔3〕9+19+29+39+......+99〔4〕1+3+5+7+......+99第二十頁，共24頁。練習(xí)(liànxí)答案：解：〔1〕這是一個(gè)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)；首項(xiàng)=7，末項(xiàng)=37，公差=3,項(xiàng)數(shù)=〔37-7〕÷3+1=11和=〔7+37〕×11÷2=242〔2〕這是一個(gè)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)；首項(xiàng)=7，末項(xiàng)=403，公差=4，項(xiàng)數(shù)=〔403-7〕÷4+1=100和=〔7+403〕×100÷2=20500〔3〕這是一個(gè)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)；首項(xiàng)=9，末項(xiàng)=99，公差=10，項(xiàng)數(shù)=〔99-9〕÷10+1=10和=〔9+99〕×10÷2=540〔4〕這是一個(gè)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)；首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=99，公差=2，項(xiàng)數(shù)=〔99-1〕÷2+1=50和=〔1+99〕×50÷2=2500第二十一頁，共24頁。等差數(shù)列知識(shí)(zhīshi)總結(jié)：怎樣(zěnyà