2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市高一年級下冊學(xué)期期中素質(zhì)模擬測試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市高一下學(xué)期期中素質(zhì)模擬測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可判定.【詳解】因?yàn)椋?，所以對?yīng)的點(diǎn)（－1，－2）位于第三象限．故選：C2．已知，為直線，為平面，若，，則與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交或異面 C．異面 D．平行或異面【答案】D【分析】利用線面平行的定義及直線的位置關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)?，所以直線與平面沒有公共點(diǎn)，又，所以與沒有公共點(diǎn)，即與的位置關(guān)系是平行或異面.故選：D.3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（

）A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【答案】A【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，從而可求出B=30°.【詳解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，又因?yàn)閍>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.4．在中，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量線性運(yùn)算化簡已知等式可整理得到，由此可得結(jié)果.【詳解】，，，即.故選：B.5．如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形，則原平面圖形的周長和面積分別為（

）A．2a， B．8a， C．8a， D．，【答案】B【分析】由直觀圖還原出原圖，在原圖中找出對應(yīng)線段長度進(jìn)而求出周長和面積．【詳解】由直觀圖可得原圖形，∴，，，∴，原圖形的周長為，∴．故選：B6．已知力作用于一物體，使物體從點(diǎn)處移動到點(diǎn)處，則力對物體所做的功為（

）A．9 B． C．21 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由題意，物體從點(diǎn)處移動到點(diǎn)處，可得,因?yàn)榱Γ粤ξ矬w所做的功為.故選：C.7．已知O是△ABC外接圓的圓心?若，，則（

）A．10 B．20 C． D．【答案】C【分析】，后結(jié)合圖形及向量投影可得答案.【詳解】，設(shè)中點(diǎn)為D，BA中點(diǎn)E，因O是△ABC外接圓的圓心，則在方向上的投影向量為,在方向上的投影向量為，則，.故.故選：C8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以的最小值為.故選：A.二、多選題9．已知向量，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】BC【分析】先利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，即可得到的值，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，最后求解，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，∴，∴，∴，，，∴與的夾角為，故BC正確.故選：BC.10．在中，如下判斷正確的是（

）A．若，則為等腰三角形 B．若，則C．若為銳角三角形，則 D．若，則【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A.由題意可得或，從而可判斷；選項(xiàng)B.若,則，由正弦定理可判斷；選項(xiàng)C.若為銳角三角形，則，即所以，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；選項(xiàng)D.在中,若，由正弦定理可得，從而可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.在中,若,則或所以或，所以為等腰或直角三角形.故A不正確.選項(xiàng)B.在中,若,則，由正弦定理可得,即，故B正確.選項(xiàng)C.若為銳角三角形，則所以，所以,故C正確.選項(xiàng)D.在中,若，由正弦定理可得，即，所以，故D正確.故選：BCD11．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的動點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐SO的側(cè)面積為B．三棱錐S-ABC體積的最大值為C．∠SAB的取值范圍是D．若，F(xiàn)為線段AB上的動點(diǎn)，則的最小值為【答案】BD【分析】利用公式和側(cè)面展開圖可判斷AD的正誤，求出面積的最大值后可求體積的最大值，故可判斷B的正誤，過作，垂足為，利用解直角三角形可求的范圍，從而可判斷C的正誤.【詳解】因?yàn)?，故，故?cè)面積為，故A錯誤.而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故面積的最大值為1，故三棱錐體積的最大值為，故B正確.如圖，過作，垂足為，則，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)等號成立，而為銳角，故，故C錯誤.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為等邊三角形，為等腰直角三角形，將、沿展開至同一個(gè)平面，得到如圖所示的平面圖形，連接，其中，則，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，故D正確.故選：BD.12．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，垂心為，重心為，且，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】設(shè)是中點(diǎn)，由為垂心，得，判斷A，利用，，計(jì)算數(shù)量積判斷B，同時(shí)可判斷C，由重心性質(zhì)得，然后由向量的線性運(yùn)算判斷D．【詳解】為垂心，，所以，A正確；設(shè)是中點(diǎn)，則共線，，，B錯誤；由B的推導(dǎo)過程得，C正確；由得，所以，所以，即，D正確故選：ACD．三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則等于__________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的意義計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即，所以.故答案為：14．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMD1的體積為____________【答案】【分析】利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)所以故答案為：【點(diǎn)睛】在求解三棱錐的體積時(shí)，要注意觀察圖形的特點(diǎn)，看把哪個(gè)當(dāng)成頂點(diǎn)好計(jì)算一些.15．在△中，角，，所對的邊分別為，，，表示△的面積，若，，則__________．【答案】【詳解】試題分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【解析】解三角形.【思路點(diǎn)睛】先利用余弦定理和三角形的面積公式可得，可得，再用正弦定理把中的邊換成角的正弦，利用兩角和公式化簡整理可求得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和，進(jìn)而求得．16．如圖，單位向量，的夾角為，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的弧上運(yùn)動，則的最小值為______．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，利用平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式得到，結(jié)合，求出最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，故，因?yàn)椋?，故?dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位.(1)求和；(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.【答案】(1)，．(2)，【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算規(guī)則計(jì)算；（2）將z代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)等于0的意義求解.【詳解】（1）∵，∴，；（2）∵復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，∴，解得，；綜上，.18．已知：?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中=（1，2），(1)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求在上投影向量.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出，再解不等式組即得解；（2）求出，，再代入投影向量的公式即得解.【詳解】（1），又與的夾角為銳角，且與不平行，，解得且，實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）由題得，，在上的投影向量為.19．已知向量．（1）若，求的值；（2）若，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，化簡得，結(jié)合正切的倍角公式，即可求解；(2)根據(jù)題意得到，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，向量，因?yàn)?，可得，整理得，即，所?(2)因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值為．20．如圖，在平面四邊形中，，，.(1)當(dāng)，時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用誘導(dǎo)公式、三角形面積公式計(jì)算作答.（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，即，解得，，因?yàn)?，則，又，所以的面積是.（2）在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，整理得，而，為銳角，所以.21．如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)B到平面B1CD的距離；(2)求異面直線AC1和B1C所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等體積法轉(zhuǎn)化即可；（2）先將異面直線通過平行轉(zhuǎn)化于同一面，再利用余弦定理解角即可.【詳解】（1）因?yàn)椤鰽BC正三角形，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，則BD＝1，CD＝．又BB1⊥底面ABC，BB1＝AA1＝1，則B1D＝，B1C，則，所以CD⊥B1D．所以，．設(shè)點(diǎn)B到平面B1CD的距離為d，由，得，即，所以，即點(diǎn)B到平面B1CD的距離為．（2）連結(jié)BC1，交B1C于點(diǎn)M，連結(jié)MD，則M為BC1的中點(diǎn)，又D為AB的中點(diǎn)，則AC1∥MD，所以∠CMD或其補(bǔ)角即為異面直線AC1和B1C所成角,因?yàn)檎庵鵄BC－A1B1C1中，CC1⊥AC，CC1＝1，AC＝2，所以AC1＝，所以MD＝，又CD＝，CM＝，由余弦定理，得．所以異面直線AC1和B1C所成角的余弦值為．22．在中，，再從下面兩個(gè)條件中，選出一個(gè)作為已知，解答下面問題.(1)若，求的面積；(2)求的取值范