2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高一年級(jí)下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為兩個(gè)非零向量，其中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.【詳解】；故選：C.2．復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方、除法化簡，由共軛復(fù)數(shù)的概念求，進(jìn)而確定虛部.【詳解】由題設(shè)，，所以，虛部為.故選：D3．已知單位向量滿足，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量夾角公式、數(shù)量積的運(yùn)算律得，根據(jù)已知得，進(jìn)而求出，最后求夾角余弦值.【詳解】由，又，則，所以，則，綜上，.故選：B4．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)上任取4個(gè)頂點(diǎn)，則這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形不可能是（

）A．三個(gè)面是直角三角形的正三棱錐B．有一個(gè)面是鈍角三角形的四面體C．每個(gè)面都是等邊三角形的四面體D．每個(gè)面都是直角三角形的四面體【答案】B【分析】作圖，根據(jù)圖形分析.【詳解】如圖是正方體，三棱錐是三個(gè)面為直角三角形的正三棱錐，A正確；三棱錐是四個(gè)面都是直角三角形的四面體，D正確；三棱錐是四個(gè)面都是等邊三角形的四面體，C正確；對于B，先選取A點(diǎn)，與剩下的7個(gè)頂點(diǎn)的任意兩個(gè)都不可構(gòu)成鈍角三角形，B錯(cuò)誤；故選：B.5．在△中，已知，則一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式、正弦邊角關(guān)系可得，結(jié)合余弦定理、三角形性質(zhì)即可求C的大小，其余兩角大小不確定.【詳解】由題設(shè)，，所以，結(jié)合正弦邊角關(guān)系知：，又，，則，故不確定.故選：D6．在△中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過作于，根據(jù)的長度大小關(guān)系判斷三角形個(gè)數(shù)，即可確定參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，過作于，如下圖示，則，可得時(shí)，三角形有兩解.當(dāng)，即時(shí)，三角形不存在；當(dāng)或2時(shí)，△分別對應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，在射線方向上有一個(gè)△，而在射線方向上不存在，故此時(shí)僅有一個(gè)三角形；故選：C7．過△的重心的直線分別交線段于點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用重心的性質(zhì)及已知用表示出，再由共線得，最后應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值，注意取值條件.【詳解】如下圖，若為中點(diǎn)，又△的重心，則共線，且，而，又共線，所以，即，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A8．在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，進(jìn)而有，再把化為并確定的范圍，應(yīng)用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即，再把目標(biāo)式，由邊化角得求范圍.二、多選題9．設(shè)為平面內(nèi)任意三個(gè)非零向量，下列結(jié)論正確的是（

）A．的充要條件是B．的充要條件是C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)向量三角不等式、垂直、共線的判定性質(zhì)判斷A、B、C；由數(shù)量積相等的幾何意義有判斷D.【詳解】A：的充要條件為同向共線，而是的必要不充分條件，錯(cuò)誤；B：為三個(gè)非零向量，的充要條件是，正確；C：為三個(gè)非零向量，，則，正確；D：說明，但不一定有，錯(cuò)誤.故選：BC10．已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．的充要條件是B．是純虛數(shù)的充要條件是C．若，則D．若，則是純虛數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義，利用復(fù)數(shù)相等判斷A；由復(fù)數(shù)乘方、模的定義有判斷C；特殊值法判斷B、D.【詳解】A：由，而，則，故，所以，反之也成立，正確；C：由，則，即，所以，故，正確；由時(shí)、成立，此時(shí)不是純虛數(shù)，B、D錯(cuò)誤；故選：AC11．在正四面體中，若，為的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．正四面體的體積為B．正四面體外接球的表面積為C．如果點(diǎn)在線段上，則的最小值為D．正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓柱的側(cè)面積的最大值為【答案】BCD【分析】由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用棱錐的體積公式求體積，并確定外接球的半徑求表面積，展開側(cè)面，要使最小，只需共線，結(jié)合余弦定理求其最小值，根據(jù)正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱底面圓與其中截面正三角形關(guān)系求半徑、體高，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求側(cè)面積最大值.【詳解】由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，故棱長為2，如下圖示，為底面中心，則共線，為體高，故，所以，故正四面體的體積為，A錯(cuò)誤；由題設(shè)，外接球球心在上，且半徑，所以，則，故外接球的表面積為，B正確；由題意知：將面與面沿翻折，使它們在同一個(gè)平面，如下圖示，所以且，，又，而，要使最小，只需共線，則，所以，C正確；如下圖，棱錐中一個(gè)平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側(cè)面積，故當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：BCD12．在△中，角所對的邊分別為，，是△的外接圓圓心，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是B．的取值范圍是C．若，則△是等腰三角形D．的最大值是3【答案】ACD【分析】由余弦定理、基本不等式可得，進(jìn)而求最大值，注意取值條件，由已知條件和構(gòu)成三角形條件有求范圍，若為中點(diǎn)，由外心的性質(zhì)、向量線性關(guān)系可得且，即得三角形形狀，將化為，根據(jù)對應(yīng)線段位置關(guān)系、長度及正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】由題設(shè)，△的外接圓直徑，如下圖，過作于，由，則，所以，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；由題意，，則，B錯(cuò)誤；若為中點(diǎn)，由，故共線，又，所以且，故為中垂線，所以△是等腰三角形，C正確；由，又，則上式，原式，由，故時(shí)最大值為3，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)注意應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律、及線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而在三角形中正弦邊角關(guān)系、得到關(guān)于B的函數(shù)式，根據(jù)其范圍求最值.三、填空題13．若為單位向量，且，則在方向上的投影向量為___________．【答案】/【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算律求得，再根據(jù)投影向量的定義求在方向上的投影向量.【詳解】由，所以，則，故在方向上的投影向量為.故答案為：14．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，，則__________.【答案】【分析】結(jié)合韋達(dá)定理和二次方程虛根的概念即可求解.【詳解】由題可知，，設(shè)，a，b∈R，則，則．故答案為：15．若為的重心，，則的最小值為_______.【答案】【分析】根據(jù)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，再由均值不等式即可求出的最小值.【詳解】如圖，,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.故答案為：16．水平桌面上放置了3個(gè)半徑為2的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切.若用一個(gè)半球形容器（容器厚度忽略不計(jì)）罩住三個(gè)小球，則半球形容器的半徑的最小值是____.【答案】【分析】首先確定半球形容器的半徑最小時(shí)，三個(gè)小球與半球、及三個(gè)小球之間的位置關(guān)系，進(jìn)而確定球心、切點(diǎn)的位置關(guān)系，根據(jù)已知求容器半徑.【詳解】當(dāng)半球形容器的半徑最小，即三個(gè)小球與半球球面都相切，且各切點(diǎn)與對應(yīng)小球球心、半球球心共線，各小球兩兩也相切，此時(shí)三個(gè)小球球心在桌面上投影所成正三角形的中心，即為半球最大圓的圓心（也為球心），如下圖示：為三個(gè)小球球心，分別為它們在桌面上的投影，為半球球心，所以為邊長為的等邊三角形，故，而，故，所以半球最小半徑為.故答案為：四、解答題17．已知，．(1)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的夾角為鈍角，由，且與不共線求解；（2）先得到，再利用向量模的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，且，解得且，所以的取值范圍為；（2）根據(jù)題意，，則，所以，又，則，所以的取值范圍是．18．已知半圓圓心為點(diǎn)，直徑，為半圓弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.(1)若，求與夾角的大小；(2)試求點(diǎn)的坐標(biāo)，使取得最小值，并求此最小值.【答案】(1)(2)最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）先求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件算出，再運(yùn)用數(shù)量積求夾角；（2）設(shè)變量t，使得，求出的解析式，再求最小值.【詳解】（1）因?yàn)榘雸A的直徑，由題易知：又?，又，，則，，即，，，所以.設(shè)與夾角為，則，又因?yàn)椋?，即與的夾角為；（2）設(shè)，由（1）知，，，，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上，與的夾角為，的最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.19．如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的長；（2）由已知可得出，結(jié)合三角形的面積公式以及已知條件可求得、的長，利用余弦定理可求得的長，進(jìn)而可求得的長，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.（2）解：由得，所以，因?yàn)椋?，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以?20．已知正四棱錐的側(cè)棱長為和底面邊長為2.(1)求正四棱錐的體積和表面積；(2)若點(diǎn)分別在側(cè)棱上，且，求三棱錐的體積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正四棱錐性質(zhì)求體高、斜高，再應(yīng)用棱錐的體積公式、表面積求法求體積、表面積；（2）由線段的數(shù)量關(guān)系得，進(jìn)而有、，最后可得即可求體積.【詳解】（1）由題設(shè)，為正方形，若為底面中心，則為體高，，所以，故，而斜高為，所以.（2）由，則，所以，而，則，所以.21．正六棱臺(tái)玻璃容器的兩底面棱長分別為，，高為，如圖水平放置，盛有水深為．(1)求玻璃容器的體積；(2)將一根長度為的攪棒置入玻璃容器中，的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度．（容器厚度，攪棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)棱臺(tái)的而體積公式，即可求得答案；（2）作出截面圖，作輔助線，根據(jù)等腰梯形的知識(shí)求得相關(guān)邊長和底角的正弦值，然后解,由正弦定理求得，進(jìn)而求得，在直角三角形NPE中可求得答案.【詳解】（1）由題意可知，下底面面積為，上底面的面積，又臺(tái)體的高為，所以正六棱臺(tái)的體積;（2）設(shè)攪棒在上的點(diǎn)為M，則，攪棒與水面的交點(diǎn)為N，在平面中，過點(diǎn)N作，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)Q，∵為正六棱臺(tái)，∴，,∴為等腰梯形，畫出平面的平面圖，∵，∴，由勾股定理得：，∴，，，根據(jù)正弦定理得：，∴，∴，∴，∴,∴攪棒l沒入水中部分的長度為．22．如圖1，某景區(qū)是一個(gè)以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點(diǎn)，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊．（注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等）．(1)若△的面積，求木棧道長；(2)如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線得，求木棧道的最小值．【答