2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一下學(xué)期3月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，且，則x＝（

）A．9 B．6C．5 D．3【答案】B【分析】由，利用公式求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得x＝6.故選：B2．的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由誘導(dǎo)公式和逆用正弦和角公式求出答案.【詳解】由誘導(dǎo)公式得到：，故.故選：A3．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的減法法則畫出，得到一個(gè)等腰直角三角形，求其結(jié)果即可.【詳解】如圖，，，則，設(shè)最小的小正方形網(wǎng)格長(zhǎng)度為1，則，，所以，所以三角形是等腰直角三角形，，向量與的夾角為的補(bǔ)角.故選：D.4．密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7密位寫成“0－07”，478密位寫成“4－78”．如果一個(gè)半徑為4的扇形，其圓心角用密位制表示為6－25，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意中給的定義可知該扇形的圓心角為，結(jié)合扇形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，該扇形的圓心角為，故所求扇形的面積為．故選：C.5．已知A（，0），B（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，，且∠AOC=，設(shè)（），則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由∠AOC=，從而設(shè)，則，利用向量相等的坐標(biāo)表示可得．【詳解】根據(jù)已知條件得：.設(shè)，則，∵，∴，∴∴.故選：D.6．在平面直角坐標(biāo)系中，為第四象限角，角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)定義和同角的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式即可求出答案.【詳解】因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以，，由，可得在第三象限，所以?/p>

故選：C.7．已知A是函數(shù)的最大值，若存在實(shí)數(shù)、使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，即可求出函數(shù)的最小正周期與，則的最小值為，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，函?shù)的最小正周期，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)、使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，所以的最小值為，故的最小值為．故選：B．8．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．； B．若a＝7，b＝8，則只有一解；C．，則a的最大值為1； D．，則為直角三角形.【答案】D【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)題中式子得，求得，可判斷A；由可判斷B；由三角形兩邊之和大于第三邊可判斷C；由代入中得：，求得，進(jìn)而可得，由勾股定理可判斷D.【詳解】，而,故A錯(cuò)誤；若a＝7，b＝8，，則，所以有兩解，故B錯(cuò)誤；由三角形兩邊之和大于第三邊，可知，故C錯(cuò)誤；由得將其代入中得：,進(jìn)而得,，,故,進(jìn)而可得:,所以滿足,故為直角三角形,故D正確.故選：D.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．與的終邊相同；B．若為鈍角三角形，則；C．函數(shù)是偶函數(shù)；D．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.【答案】AC【分析】根據(jù)終邊相同的角的關(guān)系判斷選項(xiàng)A；利用余弦定理判斷鈍角三角形識(shí)別選項(xiàng)B；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到的結(jié)果判斷選項(xiàng)C；把所給對(duì)稱軸代入驗(yàn)證是否為對(duì)稱軸判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，為鈍角三角形，若為鈍角，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，是偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，不關(guān)于直線對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．下列結(jié)論正確的是（

）A．若角的終邊上有一點(diǎn)，則；B．；C．若，則與的夾角θ的范圍是；D．已知，則向量在方向上的投影向量的長(zhǎng)度為4.【答案】BCD【分析】用三角函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A；逆用兩角和的正切公式判斷選項(xiàng)B；用向量的數(shù)量積公式判斷選項(xiàng)C；根據(jù)向量在方向上的投影公式判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，角的終邊上有一點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，故B正確；對(duì)于C，由得，則與的夾角θ的范圍是，故C正確；對(duì)于D，向量在方向上的投影向量的長(zhǎng)度為，故D正確.故選：BCD.11．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列關(guān)系式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由得，結(jié)合正弦定理可判斷A；由二倍角公式得計(jì)算可判斷B；由余弦定理化角為邊可判斷C；由兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可判斷D.【詳解】，則，結(jié)合正弦定理得，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．已知函數(shù)，說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增；B．的對(duì)稱軸是；C．若，則；D．方程在的解為，且.【答案】AD【分析】先根據(jù)的取值范圍去掉絕對(duì)值得出分段函數(shù)，的周期，結(jié)合函數(shù)的圖象逐一判斷各選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的周期.如下圖，對(duì)于A，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，不是的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，；令，.滿足，，不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程在的解為.如下圖，關(guān)于直線對(duì)稱，則；關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，故D正確.故選：AD.三、填空題13．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：___________.①為偶函數(shù)；

②為奇函數(shù)；

③在上的最大值為2.【答案】（答案不唯一）【分析】由為偶函數(shù)，可考慮余弦型函數(shù)，故可設(shè)，然后通過余弦函數(shù)的性質(zhì)求得即可.【詳解】從三角函數(shù)入手，由于為偶函數(shù)，可考慮余弦型函數(shù)，故可設(shè)，由為奇函數(shù)，且是向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以是的對(duì)稱中心，則，即，不妨令，則，由在上的最大值為2，可得，所以.故答案為：（答案不唯一）.14．已知、是互相垂直的兩個(gè)單位向量，若向量與向量的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【分析】利用向量與向量的夾角是鈍角得到它們的數(shù)量積小于0，并且注意當(dāng)向量的夾角為時(shí)數(shù)量積也小于0要排除．【詳解】解：向量與向量的夾角是鈍角，，且由，且，得令，則，于是故，，且，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故答案為：.15．計(jì)算：______．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)恒等式、二倍角公式直接求解．【詳解】．故答案為：.四、雙空題16．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若，則的值為________；若正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】

【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由，列出方程組，求得，從而得到；設(shè)，則，由即可求得的最小值.【詳解】，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形內(nèi)角和為，則，所以，,,因?yàn)?，則，所以，解得，所以；設(shè)，則，，則，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最小值.故答案為：，.五、解答題17．已知，且α是第________象限角．從①一，②二，③三，④四，這四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)倪x項(xiàng)填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：(1)求的值；(2)化簡(jiǎn)求值：.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，確定α是第二或第四象限角，故選②或④．根據(jù)二倍角公式及正、余弦齊次式的求值方法求解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以α是第二或第四象限角，故選②或④.選②或④，分別解答（1）（2）兩個(gè)問題時(shí)，所得結(jié)果相同.，（2）原式＝.18．已知，(1)若，求；(2)若向量在向量上的投影向量為，求與的夾角θ；(3)在（2）的條件下，若，求m的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）若，則與的夾角為0或，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解即可；（2）由題意可得，進(jìn)而求得；（3）由題意可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可得關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】（1）∵，∴與的夾角為0或.當(dāng)與的夾角為0時(shí)，；與的夾角為時(shí)，.∴.（2）由題意知，，∴，由于，∴.（3）∵，∴∴即：∴，∴.19．（1）已知α，β均為銳角，，求α－β的值；（2）已知函數(shù)，若，求．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知條件求得，結(jié)合角的范圍得出結(jié)果；（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，由題意可求得，結(jié)合角的范圍求得，然后由求得結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)棣?，β為銳角且，，所以＝，＝，所以，由0＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，所以α＋β＝－．（2），∴．20．如圖,已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若AC邊上的中線，且，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理及向量數(shù)量積的定義列出方程即可求解；（2）由，在與中結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】（1）∵，由余弦定理可得，∴，∴，由，∴.（2）如圖，由（1）得，，①由余弦定理知，即，②

在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以?/p>

由①②③，得，所以，

所以的周長(zhǎng)．21．已知梯形中，，，，E為的中點(diǎn)，連接AE.(1)若，求證：B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線；(2)求與所成角的余弦值；(3)若P為以B為圓心、BA為半徑的圓弧（包含A，C）上的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓?。ò珹，C）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由題意可得，，從而，即可證得結(jié)論；（2）結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求得，，進(jìn)而得，然后向量夾角公式求解即可；（3）設(shè)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算和三角變換求得，由三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.【詳解】（1）如圖1，∵∴，∴B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線.（2）如圖1，∵∴∵∴∴.（3）如圖2，∵，∴設(shè)，則，∵，，∴當(dāng)，即時(shí)，取最小值.22．已知向量，．設(shè)函數(shù)，．(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)，若方程在上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值.(3)若將的圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．當(dāng)（其中）時(shí)，記函數(shù)的最大值與最小值分別為與，設(shè)，求函數(shù)的解析式.【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)得出，再求其單調(diào)增區(qū)間即可；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解x1，x2.，結(jié)合函數(shù)圖象得出實(shí)數(shù)的取值范圍（3）根據(jù)圖象變化得出函數(shù)，在給定區(qū)間上求出函數(shù)的最大值與最小值，得到函數(shù)即可.【詳解】（1）由題意可知，.由，可得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）∵，∵，，得，，∴在區(qū)間()上單調(diào)遞增，同理可求得在區(qū)間()上單調(diào)遞減，且的圖象關(guān)于直線，對(duì)稱，方程即，

∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解x1，x2.，由單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解x1，x2.，∴，實(shí)數(shù)的取值范圍是.又∵的圖象關(guān)于直線