2022-2023學年江西省鷹潭市貴溪市高二年級下冊學期期中考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年江西省鷹潭市貴溪市高二下學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．小李年初向銀行貸款萬元用于購房，購房貸款的年利率為，按復利計算，并從借款后次年年初開始歸還，分次等額還清，每年次，問每年應還（）萬元.A． B． C． D．【答案】B【分析】設出每年應還款的數(shù)額，分別求出10年還款的現(xiàn)金與利息和以及銀行貸款10年后的本利和，列等式后求得每年應還款數(shù)．【詳解】設每年應還萬元，則有，得，解得．故選：B．2．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對函數(shù)求導，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A3．設是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)得出、、、成等差數(shù)列，并將和都用表示，可得出的值．【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，因為，所以，則數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，所以，所以.故選：A．4．某地病毒爆發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)?名女醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)中分別選派名男醫(yī)生和名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設事件A表示“有一名主任醫(yī)師被選派”，事件B表示“兩名主任醫(yī)師都被選派”，則由題意可知所求為，代入條件概率的公式計算即可.【詳解】設事件A表示“有一名主任醫(yī)師被選派”，事件B表示“兩名主任醫(yī)師都被選派”，則“在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派”的概率為.故選：A.5．如圖所示為一正態(tài)曲線，為方程的正根，若用區(qū)間內(nèi)的概率作為某次高二年級800人參加數(shù)學考試的優(yōu)秀率，則優(yōu)秀人數(shù)為（

）（取整數(shù)，只舍不入）（附：，，）A．36 B．72 C．126 D．254【答案】C【分析】解方程求出，由圖可知，，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得優(yōu)秀率，從而可得結果.【詳解】因為的正根為，所以，由圖可知，，由可得，所以,所以優(yōu)秀人數(shù)為，故選：C6．若是函數(shù)的極值點，則方程在的不同實根個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)極值點為1，求得，再結合函數(shù)的單調(diào)性，判斷實根個數(shù).【詳解】由，得則函數(shù)在，單調(diào)遞增，,函數(shù)與的交點個數(shù)為個.故選：A7．已知是圓的直徑，點P是圓的圓心，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】D【分析】運用向量加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)，可得，再結合點到直線的距離公式即可求解．【詳解】由點P是圓的圓心，則點P為直線上的任意一點，又，所以當最小時，的取值最小，所以的最小值是圓心到直線的距離，即，所以．故選：D．8．已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導數(shù)法設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當且僅當取到，當時，得，則當時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是二、多選題9．（多選題）已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項，若且，則以下結論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公比，可知，A正確；由于不確定和的正負，所以不能確定和的大小關系；根據(jù)題意可知等差數(shù)列的公差為負，所以可判斷出C不正確，D正確．【詳解】對A，等比數(shù)列的公比，和異號，，故A正確；對B，因為不確定和的正負，所以不能確定和的大小關系，故B不正確；對CD，和異號，且且，和中至少有一個數(shù)是負數(shù)，又，，故D正確，一定是負數(shù)，即，故C不正確.故選：AD.10．二項式的展開式中第項是常數(shù)項，則（）A． B．C．二項式系數(shù)最大的項為第項 D．系數(shù)最小的項為第項【答案】ACD【分析】由二項式定理可得，由指數(shù)部分為0可得的值，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】二項式的展開式中第項，令，得，即A正確，B錯誤；因為展開式的項共有項，故第項的二項式系數(shù)最大，故C正確；則展開式的通項為，因為展開式的系數(shù)為，第項的系數(shù)為負數(shù)，且其絕對值最大，所以系數(shù)最小的項為第項．故選：ACD．11．下列求導正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、復合函數(shù)的求導公式及導數(shù)的加法法則求出即可.【詳解】，A錯誤；，B正確；，C正確；，D錯誤.故選：BC.12．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)對于任意的滿足(其中是函數(shù)的導函數(shù))，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件，易得函數(shù)偶函數(shù)，再結合，構造函數(shù)，只需判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可做出正確選擇.【詳解】由，得，令，，則，因，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，因函數(shù)的圖象關于直線對稱，知函數(shù)偶函數(shù)，故函數(shù)也為偶函數(shù).對于選項A，因，則，故，因此A正確；對于選項B，因，則，故，因此B錯；對于選項C，因，則，故，因此C錯；對于選項D，因，則，故，因此D正確.故選：AD.【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.三、填空題13．已知，求_____________.【答案】【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.14．電報發(fā)射臺發(fā)出“·”和“–”的比例為5∶3，由于干擾，傳送“·”時失真的概率為，傳送“–”時失真的概率為，則接受臺收到“·”時發(fā)出信號恰是“·”的概率為________.【答案】【分析】求出接收到“·”，再求出發(fā)出“·”且收到“·”的概率，由條件概率公式計算可得結論．【詳解】記事件為接收到“·”，事件為發(fā)出“·”且接收到“·”．則事件則接受臺收到“·”時發(fā)出信號恰是“·”為，則，，，故答案為：．15．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和______.【答案】【分析】由得，得出數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，其中首項，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，從而可得，再運用分組求和可得.【詳解】由得，所以數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，其中首項，所以，所以，所以，故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推式構造新數(shù)列，使所構造的新數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而得原數(shù)列的通項公式的問題，屬于中檔題.16．已知是定義在上的奇函數(shù)，，且當時，則不等式的解集是______.【答案】【解析】設，則為偶函數(shù)，由，則在是上單調(diào)遞增，在是上單調(diào)遞減，設，即求解，分和兩種情況解不等式和.【詳解】設，由當時，即，所以在是上單調(diào)遞增.為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，在是上單調(diào)遞減,即（）設，當時，，即由，為奇函數(shù)，則，所以由在是上單調(diào)遞增，，所以，即，所以當時，，即由，則，根據(jù)在是上單調(diào)遞減所以當時，則，即，所以綜上所述：不等式的解集是：故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查構造函數(shù)討論單調(diào)性解不等式，解答本題的關鍵是構造函數(shù)，由結合條件和奇偶性得出其單調(diào)性，屬于中檔題.四、解答題17．已知正項數(shù)列的前項和為，且是4與的等比中項.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意得：，①,當時，.②，①－②得.可得數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的解法可求得；（2），則可得，可求得答案.【詳解】（1）由題意得：，①,當時，.②，①－②得.∵，∴，當時，，，∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴.（2），設，∴.【點睛】本題考查由數(shù)列的前項的和求數(shù)列的通項，裂項求和法求數(shù)列的和，關鍵在于先將式子進行處理，然后再將整個式子按裂項相減法的步驟化簡即可得到結果，需要注意的是裂項之后還剩哪些項，搞清楚，屬于中檔題.18．設函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值．【答案】(1)x+y=0；(2)的極大值為，極小值為.【分析】(1)對求導得，求出，由直線點斜式方程寫出切線方程即得；(2)求出方程＝0的根，并討論大于或小于0的x取值區(qū)間，由此判斷極值情況，再求解而得.【詳解】(1)由得，，過點(0,0)，斜率為-1的直線為y=-x，所以函數(shù)在處的切線方程為x+y=0；(2)由(1)知，＝0時，，或時，時，，所以x=-1時，取得極大值，x=ln2時，取得極小值，故的極大值為，極小值為.【點睛】可導函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同.19．設拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，當在上時，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）在線段上取點，滿足，，證明：點總在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用直線的斜率列方程，化簡求得，由此求得拋物線方程.（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)關系.利用向量的坐標運算建立中的關系式，由此求得點所在定直線方程.【詳解】（1）由題意，得，則，解得，故拋物線的方程為.（2）證明：設，，，直線的方程為.由得，，.由，，得，，故，化簡得.又，故，化簡得，即，則或.當點在定直線上時，直線與拋物線只有一個交點，與題意不符.故點在定直線上.【點睛】在解析幾何中的向量運算，可用來建立方程，通過化簡方程來進行解題.20．如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，E為PD中點.(1)平面平面.(2)設，，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理證明平面PAC，從而證明面面垂直；（2）結合菱形性質(zhì)及線面垂直性質(zhì)，建立空間直角坐標系，分別求出平面AEC與平面DAE的法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結果.【詳解】（1）因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為底面ABCD為菱形，所以，又，AC，平面PAC，所以平面PAC，因為平面BPD，所以平面平面；（2）設菱形ABCD的邊長為a，因為平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，且，所以，又，所以，解得，取BC中點M，連接AM，由條件得，因為平面ABCD，AM、AD在平面ABCD內(nèi)，所以，，所以，AD，AP兩兩互相垂直，以A為坐標原點，分別以AM，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，設平面AEC的法向量為，則，即，取，得，易知平面ADE的一個法向量，設二面角的平面角為，由圖可知，則，所以二面角的余弦值為21．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．（1）若a＝e，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①當a≥0時，y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；②當時y＝f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（ln（﹣2a），0）上為減函數(shù)；③若時，y＝f（x）在上為單調(diào)遞增的；④若時，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數(shù)，在（0，ln（﹣2a））上為減函數(shù)．【分析】（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再＝xex+2ex，分別求得，f（1），用點斜式寫出切線方程.．（2）根據(jù)＝x（ex+2a），分a≥0，，，四種情況分類討論.【詳解】（1）∵a＝e，∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．∴＝xex+2ex，∴＝3e，f（1）＝e．∴y﹣e＝3e（x﹣1），所以切線方程是3ex﹣y﹣2e＝0；（2）∵＝x（ex+2a）①若a≥0時，ex+2a＞0．當時，，當時，所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；②若時，ln（﹣2a）＜0，當x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，當ln（﹣2a）＜x＜0時，＜0，∴y＝f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（ln（﹣2a），0）上為減函數(shù)；③若時，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上為單調(diào)遞增的；④若時，ln（﹣2a）＞0，當x＞ln（﹣2a）或x＜0時，＞0，當0＜x＜ln（﹣2a）時，＜0，∴y＝f