2022-2023學(xué)年江西省智學(xué)聯(lián)盟體（新余市、南康中學(xué)等）高二第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省智學(xué)聯(lián)盟體（新余市、南康中學(xué)等）高二第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】由求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則，可得；故選：B.2．若數(shù)列為，，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．不在此數(shù)列中 B．第25項(xiàng) C．第26項(xiàng) D．第27項(xiàng)【答案】C【分析】該數(shù)列的指數(shù)是等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出82對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)即可.【詳解】設(shè)數(shù)列7，10，13，16，…，為數(shù)列，則數(shù)列是以7為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，令解得；故選：C.3．一質(zhì)點(diǎn)按運(yùn)動(dòng)方程作直線運(yùn)動(dòng)，則其從到的平均速度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平均速度的定義可得答案.【詳解】從到的平均速度為.故選：D.4．若數(shù)列滿(mǎn)足，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推關(guān)系可驗(yàn)證出數(shù)列的周期性，根據(jù)周期性可求得結(jié)果.【詳解】由可得數(shù)列的各項(xiàng)依次為：，則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故選：A.5．某中學(xué)在高一年級(jí)抽取了720名同學(xué)進(jìn)行身高調(diào)查，已知樣本的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布，且身高為165cm到175cm的人數(shù)占樣本總數(shù)的，則樣本中175cm以上的人數(shù)約為（

）A．30 B．60 C．120 D．20【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)分析計(jì)算即可.【詳解】正態(tài)分布的均值，依題意，身高在區(qū)間的概率為，則身高在區(qū)間上的概率，則樣本中175cm以上的同學(xué)人數(shù)約為人，故選：B.6．3月15日是國(guó)際消費(fèi)者權(quán)益日.中央電視臺(tái)特地推出3.15公益晚會(huì)，曝光了食品、醫(yī)美、直播等多領(lǐng)域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強(qiáng)了消費(fèi)者的維權(quán)意識(shí).一名市民在某商店買(mǎi)了一只燈泡，結(jié)果用了兩個(gè)月就壞了，他撥打了12315投訴電話(huà).通過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商店將一些不合格燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣(mài)給顧客.假設(shè)合格燈泡在使用1000小時(shí)后損壞的概率為0.004，不合格燈泡在使用1000小時(shí)后損壞的概率為0.4，若混入的不合格燈泡數(shù)占燈泡總數(shù)的25%，現(xiàn)一顧客在該商店買(mǎi)一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時(shí)后不會(huì)損壞的概率為（

）A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.699【答案】C【分析】由全概率公式可得答案.【詳解】由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率為.故選：C.7．若一個(gè)三位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為，則我們稱(chēng)是一個(gè)“數(shù)”，例如“，”都是“數(shù)”.那么“數(shù)”的個(gè)數(shù)共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】首先確定所有可能的三個(gè)數(shù)字的組合，結(jié)合排列數(shù)的知識(shí)可加和求得結(jié)果.【詳解】由題意知：構(gòu)成一個(gè)“”數(shù)的三個(gè)數(shù)字可能的組合為，，，，，，，，商數(shù)組合能構(gòu)成的“”數(shù)的個(gè)數(shù)有：個(gè).故選：B.8．若，是函數(shù)（，）的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，，2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】求出，利用韋達(dá)定理、等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)可得答案.【詳解】∵∴，，所以為兩個(gè)不等的負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，則必有，2成等差數(shù)列，，2，成等比數(shù)列，故有，，解得，，可得，，.故選：A.二、多選題9．關(guān)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在常數(shù)項(xiàng) B．含項(xiàng)的系數(shù)為45C．第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 D．偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256【答案】ABC【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于即可判斷A；令的指數(shù)等于即可判斷B；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義即可判斷C；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，，1，…，10，令，解得，故展開(kāi)式不存在常數(shù)，A正確；令，解得，故含項(xiàng)的系數(shù)為，B正確；第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為與，相等，C正確；偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則，且【答案】BCD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及運(yùn)算規(guī)則逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，∵∴∴，∵∴，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，可得，故B正確；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，若，，故D正確；故選：BCD.11．某學(xué)校共有6個(gè)學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐（選擇到每個(gè)餐廳概率相同），則下列結(jié)論正確的是（

）A．四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為B．四人去了同一餐廳就餐的概率為C．四人中恰有2人去了第一餐廳就餐的概率為D．四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的期望為【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件的概率，分別求出選項(xiàng)對(duì)應(yīng)事件的概率，逐項(xiàng)驗(yàn)證；對(duì)于選項(xiàng)，根據(jù)每個(gè)學(xué)生隨機(jī)選擇一家餐廳，則選擇去第一餐廳的概率為，所以去第一餐廳就餐的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即可求出期望，判斷選項(xiàng)正確.【詳解】四位同學(xué)隨機(jī)選擇一家餐廳就餐有選擇方法，選項(xiàng)，四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為，所以選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，四人去了同一餐廳就餐的概率為，所以選項(xiàng)不正確；選項(xiàng)，四人中恰有2人去了第一餐廳就餐的概率為，所以選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，每個(gè)同學(xué)選擇去第一餐廳的概率為，所以去第一餐廳就餐的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，所以選項(xiàng)正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件概率、二項(xiàng)分布期望，應(yīng)用排列組合、分步乘法原理求出基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意特殊分布的運(yùn)用，屬于中檔題.12．等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為與，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．C．D．【答案】AB【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)可求出，進(jìn)而求得，可知A正確；利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即得，可判斷B;同理可判斷C;舉特例當(dāng)時(shí)，求出，可說(shuō)明D的對(duì)錯(cuò).【詳解】對(duì)于等差數(shù)列與，當(dāng)時(shí)，，則，，則，也適合，故，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，即，故B正確；同理可得，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，則不存在，使得，故D錯(cuò)，故選：AB三、填空題13．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下（其中），則隨機(jī)變量X的期望________.X012Pa【答案】1【分析】根據(jù)概率之和等于可得出的關(guān)系，再根據(jù)期望公式即可得解.【詳解】由，得，∴.故答案為：14．已知直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)________.【答案】【分析】先求出導(dǎo)數(shù)等于3處的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再將該點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程即可.【詳解】令，令，則，是增函數(shù)，觀察得（是唯一的解），切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得；故答案為：-1.15．5名同學(xué)從左向右站成一排，已知甲站在正中間，則乙不站在最右端的概率是________.【答案】##【分析】利用條件概率公式以及排列組合求解.【詳解】記“甲站在中間”為事件A，“乙不站在最右端”為事件B，則，，所以.故答案為:.四、解答題16．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若，則________.【答案】【分析】對(duì)數(shù)列的遞推公式做推理，得出是等差數(shù)列，求出，再求出.【詳解】由得所以，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列，即，∴，，；故答案為：-1923.17．向日葵游樂(lè)園最近推出一款“摩天飛毯”游樂(lè)項(xiàng)目，游客可以購(gòu)票乘坐“摩天飛毯”到達(dá)山頂玻璃橋進(jìn)行游走觀光.為了解購(gòu)票人數(shù)與票價(jià)的關(guān)系，游樂(lè)園進(jìn)行了連續(xù)5天的票價(jià)浮動(dòng)試運(yùn)營(yíng).這五天每天的票價(jià)（元）與對(duì)應(yīng)購(gòu)票人數(shù)（人）如下表所示：票價(jià)x（元/每人）68101214當(dāng)天購(gòu)票人數(shù)y（人）11090807050(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)假設(shè)游樂(lè)園每天“摩天飛毯”的項(xiàng)目成本只跟當(dāng)天的乘坐人數(shù)有關(guān)，并且人均成本是1元，試依據(jù)（1）中的關(guān)系，求出當(dāng)票價(jià)應(yīng)定為多少元，游樂(lè)園才能在該項(xiàng)目上獲得最大利潤(rùn).（注：利潤(rùn)=售票收入-成本）附：回歸方程中，；參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)(2)11元【分析】（1）先求出和，再按照公式計(jì)算和；（2）根據(jù)題意求出利潤(rùn)的函數(shù)解析式求解.【詳解】（1），，∴，，∴回歸方程為；（2）設(shè)游樂(lè)園能獲得利潤(rùn)z元，則，∴，，由二次函數(shù)知識(shí)可得，，當(dāng)元時(shí)，z取得最大值，∴“摩天飛毯”票價(jià)應(yīng)定為11元，游樂(lè)園才能在該項(xiàng)目上獲得最大利潤(rùn)；綜上，回歸方程為，摩天飛毯”票價(jià)應(yīng)定為11元，游樂(lè)園才能在該項(xiàng)目上獲得最大利潤(rùn).18．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且滿(mǎn)足，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為，由，求得即可；（2）由（1）得，再利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法求解；【詳解】（1）解：設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為，則，，解得所以，；（2）由（1）得，∵，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，.19．2022年11月21日第22屆世界杯在卡塔爾開(kāi)幕，是歷史上首次在中東國(guó)家舉辦，也是第二次在亞洲國(guó)家舉辦的世界杯足球賽.某?！白闱蛏鐖F(tuán)”調(diào)查學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了人，若被抽查的男生與女生人數(shù)之比為5：3，男生中喜歡足球的人數(shù)占男生的，女生中喜歡足球的人數(shù)占女生的.經(jīng)計(jì)算，有95%的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)，但沒(méi)有99%的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān).(1)請(qǐng)完成下面的列聯(lián)表，并求出k的值；喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生女生合計(jì)(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從全校男學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記其中喜歡足球的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）依題意，先填好列聯(lián)表，再根據(jù)卡方計(jì)算臨界值求出k；（2）按照二項(xiàng)分布求解.【詳解】（1）由已知，完成列聯(lián)表，喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生15k10k25k女生5k10k15k合計(jì)20k20k40k將數(shù)值代入公式可得的觀測(cè)值：，根據(jù)條件，可得，解得，因?yàn)?，所以；?）由（1）知，樣本的男生中喜歡足球的頻率為，用樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取一人，喜歡足球的概率為，則，，，，，則X的分布列為X0123P；綜上，，數(shù)學(xué)期望為.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）令可求出，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)即可證明數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，即可求出；由可得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可求出.（2）由（1）得，由錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）由，，令可得：，可解得，且，可化為，所以數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，∴，∴又由，得，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴（2）由（1）得則①，②，①-②得，化簡(jiǎn)整理得，.21．2021年4月23日是第26個(gè)“世界讀書(shū)日”，某校組織“閱百年歷程，傳精神力量”主題知識(shí)競(jìng)賽，有基礎(chǔ)題、挑戰(zhàn)題兩類(lèi)問(wèn)題.每位參賽同學(xué)回答次，每次回答一個(gè)問(wèn)題，若回答正確，則下一個(gè)問(wèn)題從挑戰(zhàn)題庫(kù)中隨機(jī)抽??；若回答錯(cuò)誤，則下一個(gè)問(wèn)題從基礎(chǔ)題庫(kù)中隨機(jī)抽取.規(guī)定每位參賽同學(xué)回答的第一個(gè)問(wèn)題從基礎(chǔ)題庫(kù)中抽取，基礎(chǔ)題答對(duì)一個(gè)得10分，否則得0分；挑戰(zhàn)題答對(duì)一個(gè)得30分，否則得0分.已知小明能正確回答基礎(chǔ)類(lèi)問(wèn)題的概率為，能正確回答挑戰(zhàn)類(lèi)問(wèn)題的概率為，且每次回答問(wèn)題是相互獨(dú)立的.(1)記小明前2題累計(jì)得分為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)記第題小明回答正確的概率為，證明：當(dāng)時(shí)，，并求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)01040數(shù)學(xué)期望為(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）寫(xiě)出的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，從而求出分布列及期望；（2）根據(jù)題意列出與的關(guān)系式，利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）的所有可能取值為0，10，40，.∴的分布列如下：01040；（2）根據(jù)題意得：第題回答正確的概率為，則，所以，而，∴成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故.22．小明同學(xué)是班上的“數(shù)學(xué)小迷精”，高一的時(shí)候，他跟著老師研究了函數(shù)當(dāng)時(shí)的圖像特點(diǎn)與基本性質(zhì)，得知這類(lèi)函數(shù)有“雙鉤函數(shù)”的形象稱(chēng)呼，感覺(jué)頗有趣味.后來(lái)，他獨(dú)自研究了函數(shù)當(dāng)時(shí)的圖像特點(diǎn)與基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)這類(lèi)函數(shù)在軸兩邊“同升同降”，且可以“上天入地”，他高興地把這類(lèi)函數(shù)取名為“雙升雙降函數(shù)”.現(xiàn)在小明已經(jīng)上高二了，目前學(xué)習(xí)了一些導(dǎo)數(shù)知識(shí)，前些天，他研究了如下兩個(gè)函數(shù)：和.得出了不少的“研究成果”，并且據(jù)此他給出了以下兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：(1)當(dāng)，時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為.求證：不論p怎樣變化，點(diǎn)總在一個(gè)“雙升雙降函數(shù)”的圖像上；(2)當(dāng)，，時(shí)，若存在斜率為的直線與曲線和都相切，求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)先把，代入的方程，然后求出在點(diǎn)處的切線方程，再把點(diǎn)代入切線方程，可得點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足，即可證明結(jié)論.(2)先根據(jù)斜率為分別求出直線