計(jì)算方法課件第五章插值法

計(jì)算方法課件第五章插值法第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四1函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜不便于計(jì)算,而又需要計(jì)算許多點(diǎn)處的函數(shù)值2僅有幾個(gè)采樣點(diǎn)處的函數(shù)值,而又需要知道非采樣點(diǎn)處的函數(shù)值……上述問題的一種解決思路：建立復(fù)雜函數(shù)或者未知函數(shù)的一個(gè)便于計(jì)算的近似表達(dá)式.解決方法－插值法

§5.0插值問題一、問題提出第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、插值問題定義求插值函數(shù)(x)的問題稱為插值問題。第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四三、幾何意義、內(nèi)插法、外插法內(nèi)插外插第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四、多項(xiàng)式插值問題對(duì)于不同的函數(shù)族Φ的選擇，得到不同的插值問題當(dāng)Φ為一些三角函數(shù)的多項(xiàng)式集合時(shí):三角插值;當(dāng)Φ為一些有理分式集合時(shí)：有理插值；當(dāng)Φ為一些多項(xiàng)式集合時(shí)：多項(xiàng)式插值（代數(shù)插值）第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四五、插值多項(xiàng)式的存在唯一性分析對(duì)于多項(xiàng)式插值問題，插值條件（1）等價(jià)于確定多項(xiàng)式的系數(shù)，使得滿足如下的線性方程組

定理1(存在唯一性)

滿足插值條件(1)的不超過n次的插值多項(xiàng)式是存在唯一的。第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四定理證明：多項(xiàng)式插值問題滿足的線性方程組是關(guān)于多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，a2，…，an的n＋1階線性方程組，其系數(shù)矩陣的行列式Vn(x0,x1,…,xn)稱為范德蒙(Vandermonde)行列式。利用行列式的性質(zhì)可以求得由于假設(shè)ij時(shí)，xixj，故所有因子xi-xj0，于是Vn(x0,x1,…,xn)0。由克萊姆(Grammer)法則，方程組的解存在且唯一，從而插值多項(xiàng)式是存在唯一的。證畢第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四六、插值余項(xiàng)引理已知函數(shù)f(x)在[a,b]上具有m-1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且在（a,b）上存在m階導(dǎo)數(shù)。若它在該區(qū)間上有m+1個(gè)零點(diǎn)，則它的m階導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四分析：第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四七、插值方法由于插值多項(xiàng)式的存在唯一性，無論是用何種方法構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式，它們均恒等，進(jìn)而截?cái)嗾`差也都相同。本章我們要討論的插值方法有：Lagrange插值法Newton插值法等距節(jié)點(diǎn)插值公式帶導(dǎo)數(shù)的插值問題第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四§5.1拉格朗日插值一、插值基函數(shù)1.定義：若n次多項(xiàng)式lk(x)(k=0,1,…,n)在n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0<x1<…<xn上滿足插值條件：則稱這n＋1個(gè)n次多項(xiàng)式l0(x),l1(x),…,ln(x)為插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上的n次插值基函數(shù)。Remark：容易驗(yàn)證，n次插值基函數(shù)的線性組合在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上滿足插值條件，從而可以利用插值基函數(shù)來構(gòu)造插值多項(xiàng)式。第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.插值基函數(shù)的構(gòu)造由于ik時(shí)，lk(xi)=0，故x0,x1,…,xk-1,xk+1,…,xn為lk(x)的零點(diǎn)，從而可以設(shè)由lk(xk)＝1可得故若記，則有，從而第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四3.插值基函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：插值基函數(shù)lk(x)(k=0,1,…,n)為由插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn唯一確定的n次函數(shù)。性質(zhì)3：基函數(shù)組所含的基函數(shù)個(gè)數(shù)與插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、Lagrange型插值公式上式是不超過n次的多項(xiàng)式，且滿足所有的插值條件，因而就是我們所需構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，稱之為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式。當(dāng)n＝1時(shí)，有當(dāng)n＝2時(shí)，有第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四L1(x)和L2(x)分別稱為線性插值多項(xiàng)式和二次插值多項(xiàng)式，其幾何意義分別表示通過點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1)的一條直線和通過點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1)，(x2,y2)的一條拋物線。類似地可以寫出當(dāng)n為其它值時(shí)地插值多項(xiàng)式，如n＝3時(shí)，有第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四三、Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的被插值函數(shù)，Ln(x)為f(x)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式，其插值余項(xiàng)為：

Rn(x)=f(x)-Ln(x)定理：如果f(n)(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，f(n＋1)(x)在(a,b)內(nèi)存在，Ln(x)為在節(jié)點(diǎn)ax0<x1<…<xnb上滿足插值條件的n次Lagrange插值多項(xiàng)式，則對(duì)任一x(a,b),其插值余項(xiàng)為：其中(a,b)且依賴于x。上式給出的余項(xiàng)通常稱為L(zhǎng)agrange型余項(xiàng)。第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四定理證明證畢第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四Remark一般情況下，余項(xiàng)表達(dá)式中的(a,b)的具體數(shù)值無法知道。但是，如果能夠求出，則可以得出插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差限為：由此可以看出，誤差大小除了與Mn+1有關(guān)外，還與插值節(jié)點(diǎn)有密切關(guān)系。當(dāng)給定m個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值，但僅選用其中n＋1（n＋1<m）個(gè)作為插值條件而求某個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值時(shí)，n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)的選取應(yīng)盡可能接近，以使使得所計(jì)算的函數(shù)值的誤差限盡可能小。第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四例題#第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四、反插值法分析第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四問題求解#第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四Lagrange

插值公式的特點(diǎn)：形式對(duì)稱通常用于理論分析當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，在計(jì)算實(shí)踐中不方便§5.2牛頓插值問題：想要構(gòu)造一個(gè)更加方便靈活的插值格式，當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需在原有格式的基礎(chǔ)上再增加一些即可。解決方法：Newton插值第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、差商的定義及性質(zhì)一般地，K階差商為：定義：給定函數(shù)f(x)在互異節(jié)點(diǎn)x0<x1<…<xn處的函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xn)，稱為函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)xi，xj處的一階差商。稱為函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)xi，xj，xk處的二階差商。即f(x)的k-1階差商的差商稱為k階差商（均差）。第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四差商的性質(zhì)由于性質(zhì)1：故差商是微商的離散形式。性質(zhì)2：k階差商f[x0,x1,…,xk]可以表示為函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xk)的線性組合，即k=1,2,…,n性質(zhì)3：差商與插值節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)。第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四1.Lagrange插值多項(xiàng)式間的關(guān)系二、Newton插值多項(xiàng)式注：A是Lk(x)的首項(xiàng)系數(shù)。第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.Newton型插值公式……………第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四k=1,2,…,nRemark:遞推關(guān)系第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四3.差商的計(jì)算第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性知，如果f(x)充分光滑，則有估計(jì)不足：對(duì)函數(shù)的光滑性要求高；需估計(jì)導(dǎo)函數(shù)的最值；偏保守。導(dǎo)數(shù)型誤差估計(jì)三、Newton插值余項(xiàng)第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四差商型誤差估計(jì)導(dǎo)數(shù)和差商的關(guān)系差商型誤差估計(jì)特點(diǎn)：對(duì)被插值函數(shù)光滑性要求不高；但不適用于實(shí)際計(jì)算。第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四、例題解

1）建立差商表1.01.52.00.84150.99750.90930.312-0.1764-0.48842）插值第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四Newton插值多項(xiàng)式適用于節(jié)點(diǎn)任意分布的情形。但當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)，可以簡(jiǎn)化Newton插值公式?！?.3等距節(jié)點(diǎn)插值設(shè)a=x0<x1<…<xn=b，yi=f(xi)為等距節(jié)點(diǎn)xi=x0+h(i=0,1,…,n)上的函數(shù)值，其中h=(b-a)/n稱為步長(zhǎng)。在此基礎(chǔ)上我們先定義差分，用差分表示Newton插值多項(xiàng)式，從而得到等距節(jié)點(diǎn)的插值公式。第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四一、差分的定義與性質(zhì)定義：稱yi=yi+1-yi (i=0,1,…,n-1)為f(x)在xi處以h為步長(zhǎng)的一階向前差分。

2yi＝y(tǒng)i＋1-yi=yi+2-2yi+1+yi(i=0,1,…,n-2)稱為f(x)在xi處以h為步長(zhǎng)的二階向前差分。一般地，myi＝m-1yi＋1-m-1yi(i=0,1,…,n-m)稱為f(x)在xi處以h為步長(zhǎng)的m階向前差分。第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四差分的性質(zhì)性質(zhì)1：各階差分可用函數(shù)值線性表示，其計(jì)算公式為：其中性質(zhì)2：差分與差商滿足下述關(guān)系：證明：利用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)k＝1時(shí)，有即結(jié)論成立。第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)k＝m-1時(shí)結(jié)論成立，即則當(dāng)k＝m時(shí)，有由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。證畢第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四Remark：類似地可以定義向后差分與中心差分：性質(zhì)3：差分與導(dǎo)數(shù)滿足關(guān)系：證明：利用差商與導(dǎo)數(shù)、差分的關(guān)系，有：證畢第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、Newton向前插值公式令x=x0+th，由xi=x0+ih(i=0,1,…,n)得：x-xi=(t-i)h，則有:將差商與差分的關(guān)系式帶入Newton插值多項(xiàng)式，得:第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四從而可得Newton向前插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)為：第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四三、差分表Newton向前插值公式，又稱表初公式，它利用差分表的最上面一個(gè)斜行的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四、例題解第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四#第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四五、Newton向后插值公式類似于向前差分，也可以得到差商與向后差分的關(guān)系：將插值節(jié)點(diǎn)從大到小排列，即類似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又稱表末公式，它利用差分表的最下面一個(gè)斜行的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。同樣，還可以利用中心差分，構(gòu)造插值公式，稱為貝塞爾（Bessel）插值公式。第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四這一類插值問題為埃爾米特(Hermite)插值問題。其幾何意義是在插值點(diǎn)上插值曲線與被插值曲線有公共切線。由這2n+2個(gè)條件可以唯一確定一個(gè)2n+1次的插值多項(xiàng)式。具體我們采用基函數(shù)的方法來確定?！?.4埃爾米特插值一、問題第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四1.輔助問題及Hermit插值二、一般情形第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.輔助問題的求解第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四3.Hermite插值問題解的存在唯一性存在性：

唯一性：0第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四4.插值余項(xiàng)分析：第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四定理證明函數(shù)零點(diǎn)（從小到大）…………至少2n+1個(gè)零點(diǎn)……至少1個(gè)零點(diǎn)ξ證畢第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四三、特殊情形－帶不完全導(dǎo)數(shù)的插值問題舉例分析（方法1）：誤差：#第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四方法2：（用帶有重節(jié)點(diǎn)的差商表）#第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四#第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四1.高次插值的評(píng)述

在實(shí)際應(yīng)用中,很少采用高次插值。①.在兩相鄰插值節(jié)點(diǎn)間,插值函數(shù)未必能夠很好地近似被插值函數(shù)。一、分段插值法②.對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式,函數(shù)值的微小擾動(dòng)可能引起高階差分有很大的變化.§5.5三次樣條插值第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四函數(shù)在區(qū)間[-5,5]上用等距節(jié)點(diǎn)的插值問題是上世紀(jì)初Runge研究過的一個(gè)有名實(shí)例.在區(qū)間上分別采用10次、15次、20次的等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式。隨著插值次數(shù)的提高,在范圍內(nèi)的近似程度并沒有變好,反而變壞.高次插值并不一定帶來更好的近似效果。第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四(a)

第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四(b)(c)函數(shù)的等距節(jié)點(diǎn)插值公式在區(qū)間[0,5]上的近似程度示意圖

第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.分段插值

設(shè)已知節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值若滿足

則稱為分段插值函數(shù)。是整體插值區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),隨著子區(qū)間長(zhǎng)度變小,不提高子區(qū)間上的插值冪次便可以滿足給定的任意精度要求.但一般說來,在子區(qū)間的端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)是不存在的.

為了避免高次插值的缺點(diǎn)，常采用分段插值，即將插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上利用前面介紹的插值方法構(gòu)建低次插值多項(xiàng)式。第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四二、三次樣條插值

分段插值法具有一致的收斂性,但它只保證插值函數(shù)整體的連續(xù)性,但在連接處不一定光滑，不能夠滿足精密機(jī)械設(shè)計(jì)（如船體、飛機(jī)、汽車等的外形曲線設(shè)計(jì)）對(duì)函數(shù)光滑性的要求。早期的工程技術(shù)人員在繪制給定點(diǎn)的曲線時(shí)，使用一種具有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條（或金屬條），稱之為樣條（Spline），強(qiáng)迫它彎曲通過已知點(diǎn)。彈性力學(xué)理論指出樣條的撓度曲線具有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，并且在相鄰給定點(diǎn)之間為三次多項(xiàng)式，即為數(shù)學(xué)上的三次樣條插值曲線。第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四1.三次樣條插值函數(shù)的定義

定義

給定區(qū)間的一個(gè)分劃①.在小區(qū)間上是3次多項(xiàng)式.

②.在節(jié)點(diǎn)處具有2階連續(xù)的導(dǎo)數(shù);則稱S(x)是關(guān)于分劃的3次樣條函數(shù).若實(shí)值函數(shù)S(x)滿足若還滿足③.

,則稱S(x)是f(x)關(guān)于分劃的3次樣條插值函數(shù)。第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四三次樣條插值函數(shù)在每一個(gè)小區(qū)間上是3次的多項(xiàng)式,在整個(gè)插值區(qū)間上有4n個(gè)系數(shù).且有4n-2個(gè)約束:內(nèi)節(jié)點(diǎn)

邊界節(jié)點(diǎn)第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四要確定4n個(gè)系數(shù)，還需附加2個(gè)約束條件.常用的約束條件有以下三類：此時(shí)一般有成立.③.周期性邊界條件,②.彎矩邊界條件特別的稱為自然邊界條件.①.轉(zhuǎn)角邊界條件

第63頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.三彎矩構(gòu)造法記,基本步驟如下：①.取為待定參數(shù)，并用S(x)的插值條件寫出的表達(dá)式。④.代入S(x)的表達(dá)式，得各個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式。②.用在內(nèi)節(jié)點(diǎn)