計算聲學第五章插值法

計算聲學第五章插值法第1頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值代數(shù)插值定義：設在區(qū)間上有定義，且在上的n+1個不同點的函數(shù)值為，如果存在一個代數(shù)多項式，其中為實數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的插值多項式，點稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間，關系式稱為插值條件。求插值多項式的問題稱為代數(shù)插值問題。第2頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值幾何意義：第3頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值幾何意義為通過n+1個點做一條代數(shù)曲線，使其近似于曲線，利用上的點近似代替上的點。（用于對函數(shù)的離散數(shù)據(jù)建立簡單的數(shù)學模型）余項：在區(qū)間上用近似，除了在插值節(jié)點處外，在區(qū)間其余點處一般都有誤差。令，則稱為插值多項式的余項，它表示用近似時產(chǎn)生的截斷誤差。一般情況下，越小，近似程度越好。第4頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值定理：在n+1個互異節(jié)點上滿足插值條件的次數(shù)不高于n次的插值多項式存在且唯一。證明：如果插值多項式的系數(shù)可以被唯一確定，則該多項式存在并且唯一。由插值條件，插值多項式中的系數(shù)滿足n+1階線性方程組第5頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值方程組中未知量的系數(shù)行列式為范德蒙行列式因為插值點互不相同，即，所以，方程組有唯一解，即插值多項式存在并且唯一。第6頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值線性插值第7頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值定義：設函數(shù)在區(qū)間端點的值分別為，用線性函數(shù)來近似代替，確定參數(shù)，使 則稱線性函數(shù)為的線性插值函數(shù)。幾何意義：如圖所示，利用通過兩點和的直線去近似代替曲線。第8頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值由直線方程的兩點式方程可求得的表達式為：記則都為的一次函數(shù)，并且具有下列性質(zhì)我們把具有這種性質(zhì)的函數(shù)稱為線性插值基函數(shù)。第9頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值線性插值函數(shù)用基函數(shù)可以表示為上式說明，任何一個滿足插值條件的線性插值函數(shù)都可由線性插值基函數(shù)的一個線性組合來表示。第10頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值定理：設在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在，是滿足插值條件的插值多項式，則對任何，插值余項（截斷誤差）為其中，且依賴于。如果，則截斷誤差限是第11頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值拋物線插值第12頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值設已知在三個不同點上的值分別為，做一個二次插值多項式，使其滿足插值條件由于通過不在同一直線上的三點可做一條拋物線，所以稱二次插值多項式為的拋物線插值函數(shù)。設二次插值多項式為（插值基函數(shù)的線性組合）第13頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值其中都是二次多項式，且滿足已知，即是的兩個零點，所以設其中為待定常數(shù)。由得到所以第14頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值同樣求得所以上式又稱為的二次拉格朗日插值多項式。第15頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值截斷誤差與截斷誤差限如果在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在，則用去近似的截斷誤差為其中，并且依賴于。如果，則截斷誤差限為第16頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值例：設，試分別應用線性插值和拋物線插值公式計算的近似值（13.2287565553……）。解：取，則對應的以為節(jié)點做線性插值以為節(jié)點做拋物線插值第17頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值由得到，所以第18頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值拉格朗日插值多項式設函數(shù)在節(jié)點處的函數(shù)值為，做一個n次插值多項式，并使在節(jié)點處滿足則n次插值基函數(shù)，就是在n+1個節(jié)點上滿足條件的n次多項式。第19頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值經(jīng)過推導得出n次插值基函數(shù)顯然滿足插值條件，所以上面插值多項式就稱為n次拉格朗日插值多項式。當時，分別為線性插值多項式和二次插值多項式。第20頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值羅爾定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導，并且，則至少存在一點，使得。截斷誤差：如果在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)存在，是n+1個節(jié)點，則用去近似所產(chǎn)生的截斷誤差為其中且依賴于，。第21頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值證明：由插值條件可以得到，即n+1個節(jié)點是的零點，所以設

其中是與有關的待定函數(shù)。為了求得，對區(qū)間上異于的任意一點，作輔助函數(shù)第22頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值將看作是異于節(jié)點的一個固定點，則上式滿足（1），即在上有n+2個零點，分別為；（2）在內(nèi)具有n+1階導數(shù)，并且有由羅爾定理，在的兩個零點之間至少存在一個的零點，所以在內(nèi)至少有n+1個互異的零點。第23頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值反復應用羅爾定理，最后可以得到在內(nèi)至少有一個零點，即所以由此得到第24頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值由于余項中含有因式如果插值點偏離插值節(jié)點比較遠，則插值誤差會比較大。如果插值點位于插值區(qū)間內(nèi)，插值過程稱為內(nèi)插，否則稱為外推。根據(jù)余項定理，外推是不可靠的。另外余項公式中有高階導數(shù)項，就要求足夠光滑否則誤差可能會比較大。代數(shù)多項式是任意光滑的，原則上只適用于逼近光滑性好的函數(shù)。第25頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值例：已知在點的值由下表給出。試分別用線性插值與二次插值計算的近似值，并進行誤差估計。解：取代入線性插值公式得1230.3678794410.1353352830.049787068第26頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§1拉格朗日（Lagrange）插值取代入二次插值公式得誤差估計：

第27頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四課后題：1、當時，，求的二次插值多項式。2、已知函數(shù)的觀察值如下：試求其拉格朗日插值多項式?！?拉格朗日（Lagrange）插值01230123230-1第28頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§2分段低次插值高次插值中的問題一般來說，適當提高插值多項式的次數(shù)，會提高插值結(jié)果的準確程度。但是，提高插值多項式的次數(shù)，插值多項式會變得復雜，計算量加大。并且高次插值多項式往往具有數(shù)值不穩(wěn)定的缺點，會產(chǎn)生高次插值不準確的龍格現(xiàn)象。所以當插值節(jié)點數(shù)n+1較大，特別是插值區(qū)間也較大時，通常不采用高次插值，而采用分段低次插值。常用的有分段線性插值和分段拋物線插值。分段低次插值的優(yōu)點是公式簡單，計算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且避免了計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢。第29頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§2分段低次插值原因：(1)由拉格朗日插值多項式余項，當差值節(jié)點增加時，的變化可能會很大，那么可能很大；特別是當插值節(jié)點比較分散、插值區(qū)間較大時，也比較大，這樣就造成了近似時的截斷誤差較大；(2)當n增大時，拉格朗日插值多項式次數(shù)增加，計算量急劇增大，這樣就加大了計算過程中的舍入誤差。

第30頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§2分段低次插值分段線性插值設在區(qū)間上有節(jié)點，函數(shù)在上述節(jié)點處的函數(shù)值為，連接相鄰兩點，得到一條折線函數(shù)，如果滿足：（1）在區(qū)間上連續(xù)；（2）；（3）在每個子區(qū)間上是線性函數(shù)，則稱折線函數(shù)為分段線性插值函數(shù)。第31頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§2分段低次插值在每個子區(qū)間上可以表示為

從幾何上講，分段線性插值就是用一條過n+1個點的折線來近似表示。在整個區(qū)間上用基函數(shù)來表示可以寫為第32頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§2分段低次插值分段拋物線插值分段拋物線插值就是把區(qū)間分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上用拋物線去近似曲線，則用表示分段拋物線插值函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)在區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)；(2)；(3)在每個子區(qū)間上，是次數(shù)不超過二次的多項式第33頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§2分段低次插值插值點選擇：選擇插值點的原則是盡可能在插值點的鄰近。公式中i的取法歸結(jié)為第34頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式拉格朗日插值法有一個缺點，當有了新的數(shù)據(jù)，插值節(jié)點增加時，插值多項式需要重新構(gòu)造和計算，之前的計算結(jié)果無法繼續(xù)利用。從構(gòu)造算法的一般原則來說，應設法充分利用已經(jīng)獲得和計算的數(shù)據(jù)信息。為了克服拉格朗日插值法的缺點，介紹牛頓插值多項式。它使用比較靈活，增加插值節(jié)點時，只是在原來的基礎上增加部分計算量，原來的計算結(jié)果仍可繼續(xù)利用，節(jié)約了計算時間。第35頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式差商的定義

已知函數(shù)在n+1互異節(jié)點處的函數(shù)值分別為，稱為關于節(jié)點的一階差商（平均變化率）。稱為關于節(jié)點的二階差商。

第36頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式一般地，稱為關于節(jié)點的階差商。當時稱為關于節(jié)點的零階差商，記為由于所以即差商是微商的離散形式。

第37頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式差商性質(zhì)：（1）函數(shù)關于節(jié)點的k階差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即式中，如果，則其在的導數(shù)為第38頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式（2）差商與其所含節(jié)點的排列次序無關，即一般地，在k階差商中，任意調(diào)換節(jié)點的次序，其值不變。（3）設在包含互異節(jié)點的閉區(qū)間上有n階導數(shù)，則n階差商與n階導數(shù)之間有如下關系第39頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式差商計算：利用插商的遞推定義，差商的計算可列表計算，如下表所示第40頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式牛頓插值多項式由高等代數(shù)理論可知，任何一個不高于n次的多項式，都可以表示成函數(shù)的線性組合。所以滿足插值條件的拉格朗日插值多項式又可以表示為式中為待定系數(shù)。稱這種n次插值多項式為牛頓（Newton）插值多項式，記作，即第41頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式由于滿足插值條件，即，所以由，得同樣可以求出其他系數(shù)。第42頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式有是n+1個節(jié)點，對于一般情況，設，則由差商定義第43頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式得到第44頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式將上式中第二式代入第一式式，得到式中可知是滿足插值條件的線性插值多項式。而為線性插值的余項。第45頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式同樣，將第三式代入得到式中是滿足插值條件的二次插值多項式。而為二次插值的余項。第46頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式類似地將各式依次代入前式，最后可以得到其中為滿足插值條件的n次插值多項式，通常稱其為n次牛頓插值多項式。第47頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式與相比較，有而為牛頓型插值余項。

第48頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式由于滿足插值條件的插值多項式存在且唯一，所以有如果在上有n+1階導數(shù)，則有即第49頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式容易看出，牛頓插值多項式具有遞推性，即記為具有節(jié)點的牛頓插值多項式，則具有節(jié)點的牛頓插值多項式為上式說明，增加一個節(jié)點，只要在的基礎上，增加計算即可。第50頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式例：已知一組觀察數(shù)據(jù)如表，構(gòu)造3次牛頓插值多項式。解：首先計算差商012312340-5-63一階差商二階差商三階差商102-5-53-6-1243951第51頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式將計算得到的差商代入公式得到整理得到第52頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四例：給出的函數(shù)表求四次牛頓插值多項式，由此求并估計誤差。解：選取最接近0.596的前5個節(jié)點，首先構(gòu)造差商表§3差商與牛頓（Newton）插值多項式0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382第53頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.324930.228630.03126-0.00012第54頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四

當函數(shù)的表達式未知或函數(shù)的高階導數(shù)比較復雜時，常用牛頓插值多項式余項但由于公式中的n+1階差商的值與的值有關，因此不能準確計算，只能對其做出一種估計?！?差商與牛頓（Newton）插值多項式第55頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四當n+1階差商變化不劇烈時，可用近似代替，即采用此法計算的誤差，則有截斷誤差很小，可用忽略不計?！?差商與牛頓（Newton）插值多項式第56頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式例：某處海洋不同深度水溫如下表所示，試用牛頓插值公式求深度1000米處的水溫，并估計誤差。解：計算差商水深溫度（m）46671495014221634（oC）7.044.283.402.542.1304667.0417144.28-0.0111329503.40-0.0037290.00001529314222.54-0.0018220.000002693-0.00000001318416342.13-0.007934-0.000000163-0.000000002750.893E-11第57頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§3差商與牛頓（Newton）插值多項式用三次牛頓插值多項式近似代替，得到第58頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四7、用拉格朗日插值和牛頓插值找經(jīng)過點的三次插值多項式，并驗證插值多項式的唯一性。8、利用函數(shù)表造出差商表，并利用牛頓插值公式計算在處的近似值（計算取5位小數(shù)）。§3差商與牛頓（Newton）插值多項式1.6151.6341.7021.8281.9212.414502.464592.652713.030353.34066第59頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§4差分與等距節(jié)點插值公式

在實際應用中，常采用等距節(jié)點進行插值計算，這時插值公式可以進一步簡化。由于插值節(jié)點等距分布，被插值函數(shù)的平均變化率與自變量的區(qū)間無關，差商可用差分代替。設被插值函數(shù)在等距節(jié)點上的值已知，其中稱為步長，則分別稱為被插值函數(shù)在處以為步長的向前差分和向后差分，符號分別稱為向前差分算子和向后差分算子。第60頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§4差分與等距節(jié)點插值公式高階差分通過對低階差分求差分來定義，如二階差分為階差分為第61頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§4差分與等距節(jié)點插值公式差分性質(zhì)：1.差分可用函數(shù)值線性表示為式中組合表達式為2.差分與差商滿足下述關系

第62頁，共71頁，2023年，2月20日，星期四§4差分與等