《測量數(shù)據(jù)處理》

測量數(shù)據(jù)處理甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院測繪學(xué)院學(xué)習(xí)情境：2學(xué)習(xí)情境一測量數(shù)據(jù)的誤差分析與精度評(píng)定學(xué)習(xí)情境二高程控制網(wǎng)平差計(jì)算學(xué)習(xí)情境三平面控制網(wǎng)平差計(jì)算學(xué)習(xí)情境四專業(yè)平差軟件及其應(yīng)用學(xué)習(xí)情境一測量數(shù)據(jù)的誤差分析與精度評(píng)定子情境一測量成果誤差分析子情境二衡量精度的指標(biāo)子情境三誤差傳播定律子情境四協(xié)因數(shù)傳播律3子情境一測量成果誤差分析案例導(dǎo)入：在測量中，測量誤差分為很多種，有些誤差是不可以避免的，但有些誤差可以通過采取相應(yīng)的措施來削弱，比如說在水準(zhǔn)測量中，下列幾種情況都可以使水準(zhǔn)尺讀數(shù)帶有誤差，⑴儀器下沉；⑵水準(zhǔn)尺下沉；⑶估讀不準(zhǔn)確；⑷視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行。在鋼尺丈量距離的過程中，下列幾種情況會(huì)使得結(jié)果產(chǎn)生誤差，⑴尺長不準(zhǔn)確；⑵尺不水平；⑶估讀小數(shù)不準(zhǔn)確；⑷尺垂曲；⑸尺端偏離直線方向。究竟哪些情況是不可避免的呢？

4觀測值與觀測誤差觀測誤差的來源觀測誤差的分類測量平差的產(chǎn)生和研究對(duì)象測量平差的目的和任務(wù)5知識(shí)準(zhǔn)備：觀測值與觀測誤差基本概念真值：觀測量客觀上存在的一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，一般用表示。觀測值：對(duì)該量觀測所得的值，一般用表示。真誤差：觀測值與真值之差，一般用表示，也稱觀測誤差。6觀測值與觀測誤差由于誤差的存在，使測量數(shù)據(jù)之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的任務(wù)就是消除這種矛盾，或者說是將誤差分配掉，因此稱為平差。7oo180)(180)(1++=++實(shí)際理論gbagba觀測誤差的來源誤差產(chǎn)生的原因可歸納于觀測者、觀測儀器及觀測條件三個(gè)主要方面：即觀測者誤差、儀器誤差和環(huán)境誤差1．觀測者誤差這類誤差是由于觀測者感觀能力的局限而產(chǎn)生的誤差，如經(jīng)緯儀角度觀測時(shí)在測微器上讀數(shù)、儀器整平時(shí)氣泡的居中判斷。當(dāng)然觀測者觀測時(shí)的工作態(tài)度和技術(shù)水平，工作時(shí)的環(huán)境對(duì)觀測質(zhì)量也會(huì)有直接的影響。82．儀器誤差由于儀器在制造或結(jié)構(gòu)上的不完善而產(chǎn)生的誤差。如經(jīng)緯儀度盤刻劃不均勻?qū)嵌葴y量的影響、水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸不正確對(duì)高差的影響等等。3．環(huán)境誤差由于觀測時(shí)外界環(huán)境的改變而對(duì)觀測數(shù)據(jù)產(chǎn)生的影響。如觀測時(shí)大氣溫度、氣壓及風(fēng)力、引力場或磁場的變化都可能給測量成果帶來影響。9觀測誤差的分類所有觀測數(shù)據(jù)都含有誤差，它們或由于觀測人員感觀能力的局限，或來自于讀數(shù)設(shè)備的不精細(xì)、觀測環(huán)境的不穩(wěn)定等等。根據(jù)誤差的性質(zhì)，可以將觀測誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種。

10測量中的錯(cuò)誤——粗差粗差是由于觀測錯(cuò)誤或觀測者作業(yè)時(shí)粗心引起的，又稱為錯(cuò)誤或大量級(jí)的誤差。引起粗差的原因很多，如測角時(shí)儀器安置位置不正確、水準(zhǔn)測量時(shí)讀錯(cuò)或記錯(cuò)讀數(shù)、測距儀測距時(shí)加常數(shù)設(shè)置錯(cuò)誤或沒有進(jìn)行乘常數(shù)項(xiàng)的改正等。粗差的存在，嚴(yán)重影響測量成果的質(zhì)量，甚至?xí)o測量工作帶來難以估計(jì)的災(zāi)難性后果，故在測量工作中，必須采取適當(dāng)?shù)姆椒ê痛胧?，避免在觀測成果中產(chǎn)生錯(cuò)誤。11觀測誤差的分類系統(tǒng)誤差：指在相同的觀測條件下作一系列的觀測時(shí)，大小和符號(hào)表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或按一定規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)的誤差。處理方法：

1、在觀測方法和觀測程序上采取必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響；

2、在平差計(jì)算前進(jìn)行必要的預(yù)處理，即利用已有公式對(duì)觀測值進(jìn)行系統(tǒng)誤差改正；

3、將系統(tǒng)誤差當(dāng)作未知參數(shù)納入平差函數(shù)模型中，一并解算。12觀測誤差的分類偶然誤差：指在相同的觀測條件下作一系列的觀測時(shí)，從單個(gè)誤差看，該列誤差的大小和符號(hào)表現(xiàn)出偶然性，無規(guī)律，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差，也稱隨機(jī)誤差。處理方法：采用多余觀測，利用測量平差的方法求出觀測值的最或然值。13觀測誤差的分類偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

觀測向量：若進(jìn)行n次觀測，觀測值分別為L1

、L2

、……Ln

，則觀測值、真值、真誤差可表示為14觀測誤差的分類例1在相同的條件下，獨(dú)立觀測了n=358個(gè)三角形的全部內(nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180°，但由于誤差的影響往往不等于180°，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔d△=0.2″進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表所示。15誤差區(qū)間-△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495觀測誤差的分類例2在相同的條件下，獨(dú)立觀測了n=421個(gè)三角形的全部內(nèi)角，由于觀測誤差的影響，計(jì)算三角形內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔d△=0.2″進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表所示。16誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200……………………………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501觀測誤差的分類17(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數(shù)曲線用直方圖表示:面積=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有長方形面積之和=k1/n+k2/n+…..=1觀測誤差的分類18

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差提示：觀測值定了后其分布也就確定了，因此一組觀測值對(duì)應(yīng)相同的分布。不同的觀測序列，分布不同，但其極限分布均服從正態(tài)分布。

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

--例1例2用曲線圖表示：0.475觀測誤差的分類

1、在一定條件下的有限觀測值中，其誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。（有界性）

2、絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大。

（聚中性）

3、絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。（對(duì)稱性）

4、當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，其算術(shù)平均值趨近于零。（抵消性）19即Lim——ni=1nni=Limn——n[]=0偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律觀測誤差的分類兩個(gè)重要提示：20這表明,若觀測值中不含有系統(tǒng)誤差和粗差,則觀測量的期望值就是其真值。1、由偶然誤差的界限性，可以依據(jù)觀測條件來確定誤差限值。2、由偶然誤差的對(duì)稱性和抵消性知，Δ的理論平均值應(yīng)為零，即有:測量平差的產(chǎn)生和研究對(duì)象平差的產(chǎn)生：測量差異觀測誤差觀測條件

多余觀測

21發(fā)現(xiàn)來源于來源于測量平差的產(chǎn)生和研究對(duì)象研究對(duì)象：

1.平差是針對(duì)含有觀測誤差的觀測值，依據(jù)某種最優(yōu)化準(zhǔn)則，研究由一系列帶有觀測誤差的測量數(shù)據(jù)，求定未知量的最佳估值及其精度的理論和方法；

2.主要對(duì)象是偶然誤差，即總是假定含粗差的觀測值已被剔除，含系統(tǒng)誤差的觀測值已經(jīng)過適當(dāng)改正。22測量平差的目的和任務(wù)目的：

1、求待定量的最佳估值：即對(duì)一系列帶有觀測誤差的觀測，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法來消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。

2、評(píng)定測量成果的精度。任務(wù)：測量平差是測繪專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。它是應(yīng)用概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來分析觀測數(shù)據(jù)，為觀測數(shù)據(jù)的處理提供理論基礎(chǔ)；以最小二乘法作為處理觀測數(shù)據(jù)的基本原則，講解測量平差的基本原理、方法和技能；論述近代測量平差的基本理論與方法，介紹測量數(shù)據(jù)處理的最新研究成果。

23案例解答：

偶然誤差由于觀測條件的限制，在觀測過程中是不可避免的。如觀測時(shí)儀器不能嚴(yán)格照準(zhǔn)目標(biāo)，估讀厘米刻劃的水準(zhǔn)尺上的毫米數(shù)不準(zhǔn)確，鋼尺量距時(shí)溫度變化對(duì)觀測結(jié)果產(chǎn)生的微小影響等都屬于偶然誤差。24子情境二衡量精度的指標(biāo)案例導(dǎo)入：某公司剛剛購進(jìn)一臺(tái)的經(jīng)緯儀，為測量其測角精度，現(xiàn)對(duì)某一精確測定的水平角（設(shè)無誤差）作25次觀測，根據(jù)觀測結(jié)果，算得各次的觀測誤差（單位：″）如表1-2。試根據(jù)計(jì)算測量精度。25方差與中誤差平均誤差或然誤差相對(duì)誤差極限誤差

精度與準(zhǔn)確度26知識(shí)準(zhǔn)備：衡量精度的指標(biāo)方差與中誤差方差是指隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。方差定義為：又可將方差表示為：

方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。即27衡量精度的指標(biāo)上述方差、標(biāo)準(zhǔn)差公式只是在觀測個(gè)數(shù)

充分大時(shí)才成立。實(shí)際上，觀測個(gè)數(shù)總是有限的，因此當(dāng)有限時(shí)，我們只能依據(jù)有限的真誤差數(shù)計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估值，習(xí)慣上記作和。計(jì)算公式是，注意：在一定的觀測條件下，具有確定不變的概率分布，即方差和標(biāo)準(zhǔn)差均為定值，是一個(gè)固定不變的常數(shù)。而由上式得到的估值和將隨著觀測個(gè)數(shù)的多少及試驗(yàn)中觀測值的隨機(jī)性而發(fā)生變動(dòng)，即方差、標(biāo)準(zhǔn)差的估值和仍是一個(gè)隨機(jī)變量，且當(dāng)逐漸增大時(shí)，估值越來越接近于理論值。28衡量精度的指標(biāo)

平均誤差在一定的觀測條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望。29與中誤差的關(guān)系：衡量精度的指標(biāo)或然誤差30

f()0閉合差50%衡量精度的指標(biāo)極限誤差極限誤差就是最大誤差。規(guī)定極限誤差的根據(jù)是誤差出現(xiàn)在某一范圍內(nèi)的概率的大小。經(jīng)統(tǒng)計(jì)Δ出現(xiàn)在(-σ,+σ),(-2σ，+2σ)，(-3σ，+3σ)內(nèi)的概率分別為31大于三倍中誤差的誤差，其出現(xiàn)的概率只有0.3%，是小概率事件，在一次觀測中，可認(rèn)為是不可能事件。因此，可規(guī)定三倍中誤差為極限誤差。即對(duì)觀測要求較嚴(yán)時(shí)，也可規(guī)定兩倍中誤差為極限誤差，即衡量精度的指標(biāo)相對(duì)誤差32

衡量單位觀測值的精度叫做相對(duì)精度。包括相對(duì)真誤差、相對(duì)中誤差、相對(duì)極限誤差,它們分別是真誤差、中誤差和極限誤差與其觀測值之比。相對(duì)誤差是個(gè)無名數(shù),在測量中經(jīng)常將分子化為1，分母用整數(shù)N表示。即

與相對(duì)誤差相區(qū)別,真誤差、中誤差和極限誤差統(tǒng)稱為絕對(duì)誤差。

衡量精度的指標(biāo)33例1設(shè)在像片上量得一距離長為100cm，其相對(duì)中誤差為1/2000，求該距離的絕對(duì)誤差。

解：由相對(duì)誤差定義式可知

因此，該距離的絕對(duì)中誤差為衡量精度的指標(biāo)精度與準(zhǔn)確度精度：所謂精度是指偶然誤差分布的密集或離散程度。34一定的觀測條件對(duì)應(yīng)一種確定不變的誤差分布。若觀測條件較好，誤差分布較密集，則其精度較高。提示：觀測條件相同的一組觀測，稱為等精密度觀測，但各自的真誤差彼此并不一定相等。

精度與準(zhǔn)確度35

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差由例1和例2誤差分布圖知：

左圖誤差分布曲線較高且陡峭（即誤差分布較密集），故其精度高；右圖誤差分布曲線較低且平緩（即誤差分布較離散），故其精度低。

頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

--精度與準(zhǔn)確度方差與中誤差設(shè)為服從正態(tài)分布的偶然誤差，其方差為

中誤差為36提示：

越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。

f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差精度與準(zhǔn)確度方差的估值：37上式中

中誤差的估值：精度與準(zhǔn)確度案例解答：解：［ΔΔ］=22.6138

誤差傳播定律誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用39任務(wù)三誤差傳播定律子情境三誤差傳播定律案例導(dǎo)入：在實(shí)際測量工作中，往往會(huì)碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的，則由直接觀測的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出該未知量。對(duì)于直接觀測的量，我們可以求取其觀測中誤差，那么，如何求取通過函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來的未知量的中誤差呢？則需要運(yùn)用到誤差傳播定律的相關(guān)知識(shí)。其實(shí)質(zhì)是在間接觀測的情況下，闡述未知量的中誤差和觀測值中誤差之間的關(guān)系，即根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)中誤差。例如：某一矩形場地量得其長度，寬度，現(xiàn)要求除計(jì)算該矩形場地的面積之外，更關(guān)心面積的測量精度，即還要求計(jì)算面積中誤差。40誤差傳播定律觀測量間的協(xié)方差

當(dāng)觀測量之間不再誤差獨(dú)立時(shí)，觀測量和之間的誤差相關(guān)，描述這種相關(guān)程度的指標(biāo)是協(xié)方差，其定義式為當(dāng)時(shí)，表示觀測量和相互獨(dú)立；當(dāng)時(shí)，表示二者相關(guān)，不互相獨(dú)立。若為正值，表示正相關(guān)；若為負(fù)值，表示負(fù)相關(guān)。41知識(shí)準(zhǔn)備：誤差傳播定律觀測量間的方差陣對(duì)于向量L=[L1，L2，……Ln]T，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：42矩陣表示為：方差協(xié)方差陣誤差傳播定律

觀測量間的方差陣43特點(diǎn)：1、方差陣中，如，即方差陣是一對(duì)稱矩陣。

2、方差陣中主對(duì)角線元素為相應(yīng)觀測值的方差，其

余元素為兩個(gè)觀測值相應(yīng)的協(xié)方差。

3、當(dāng)所有觀測值為等精度觀測時(shí)，主對(duì)角線元素全

部相等。誤差傳播定律4、各觀測量互不相關(guān)時(shí)，故方差陣為對(duì)角矩陣。即

44誤差傳播定律真誤差的傳遞451、線性函數(shù)真誤差的傳遞其中為常系數(shù)，為常數(shù)，觀測值的誤差為表示觀測值的真值，而函數(shù)的真值為

顧及

得線性函數(shù)的真誤差傳遞公式誤差傳播定律真誤差的傳遞46設(shè)

將

代入上式按臺(tái)勞公式展開，取至一次項(xiàng)，并取函數(shù)的近似值為用觀測值求得的函數(shù)值，可得:令則非線性函數(shù)真誤差的傳遞公式為：2、非線性函數(shù)真誤差的傳遞誤差傳播定律真誤差的傳遞47若有m個(gè)線性函數(shù)或m個(gè)非線性函數(shù)

可以得到觀測向量與其函數(shù)向量之間的真誤差傳遞關(guān)系式為

當(dāng)函數(shù)為非線性形式時(shí)，fij是一偏導(dǎo)數(shù)值，因Δ很小，可用相應(yīng)微分值代替以上三式的矩陣形式表示為Y=FX+F0Y=F(X)

ΔY=FΔX

3、函數(shù)向量真誤差的傳遞誤差傳播定律協(xié)方差的傳遞481、協(xié)方差傳遞基本公式及應(yīng)用設(shè)隨機(jī)向量X的兩個(gè)函數(shù)向量為

Y=F(X)

Z=K(X)其誤差向量為ΔY=FΔXΔZ=KΔX隨機(jī)向量與其函數(shù)向量間的方差傳遞公式為：誤差傳播定律協(xié)方差的傳遞49同理可證另外兩式證明：誤差傳播定律50例1設(shè)有函數(shù)Y=4x1-3x2-60，已知X=的方差陣為：

試求Y的方差。

解:將函數(shù)寫成矩陣形式，即系數(shù)矩陣為：F=［4-3］

Y的方差為：

誤差傳播定律51例2設(shè)有函數(shù)，已知

的方差陣為

試求Y的標(biāo)準(zhǔn)差σY。

解:對(duì)函數(shù)式求全微分并寫成矩陣式

系數(shù)矩陣為由協(xié)方差傳播律得：誤差傳播定律52例3設(shè)有函數(shù)Z=A1X+A2Y+A0,已知X、Y的方差陣分別為DX、DY,兩者之間的協(xié)方差陣為DXY。試求:1)Z的方差陣DZ；2)Z對(duì)X,Z對(duì)Y的協(xié)方差陣DZX和DZY。

解:1)將函數(shù)式改寫為:

式中

由方差陣的定義，即可寫出U的方差陣為:由協(xié)方差傳播律得：誤差傳播定律53

2)為能應(yīng)用傳播律公式中第三式求Z對(duì)X的協(xié)方差DZX，則必須將Z、X表達(dá)為同一隨機(jī)向量的函數(shù)，即均表達(dá)為X、Y的函數(shù)，為此有由協(xié)方差傳播律得：

誤差傳播定律54例4設(shè)有函數(shù)又已知X1，X2之間的協(xié)方差陣為D12，試證明Y對(duì)Z的協(xié)方差陣為:

證明:將函數(shù)改寫為

由協(xié)方差傳播律得：誤差傳播定律獨(dú)立觀測量函數(shù)的方差傳遞55

若向量X中的各個(gè)分量xi(i=1，2，…，n)兩兩獨(dú)立，即方差陣DX具有如下形式:而中系數(shù)矩陣為行向量

則有

誤差傳播定律56例1在1：1000的地形圖上，量得a、b兩點(diǎn)間的距離d=40.6mm，量測中誤差=0.2mm，求該兩點(diǎn)實(shí)際距離的中誤差。解:由題意知根據(jù)誤差傳播定律可知

化簡可得

誤差傳播定律57例2用鋼尺分5段測量某距離，得到各段距離及其相應(yīng)的中誤差如下，試求該距離S的中誤差及其相對(duì)中誤差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：由題意可得

根據(jù)誤差傳播定律可知

S的中誤差為其相對(duì)中誤差為誤差傳播定律58例3以等精度觀測三角形的三個(gè)內(nèi)角L1，L2，L3，其中誤差都是σ，設(shè)Li

之間互相獨(dú)立，試求平均分配閉合差后的三個(gè)內(nèi)角的方差。解:三角形閉合差為W=(L1+L2+L3

)-180°

平均分配閉合差后的三個(gè)內(nèi)角為當(dāng)i=1時(shí)有

由題意知，Li之間互相獨(dú)立，故可得:同理可得誤差傳播定律非線性函數(shù)的方差傳遞59設(shè)將上式按臺(tái)勞公式展開，化簡可得非線性函數(shù)誤差的傳遞公式為：則非線性函數(shù)方差的傳遞公式為：誤差傳播定律60例1已知長方形的廠房，經(jīng)過測量，其長x的觀測值為90m，其寬y的觀測值為50m，它們的中誤差分別為2mm、3mm，求其面積及相應(yīng)的中誤差。

解:長方形廠房的面積為

對(duì)面積表達(dá)式進(jìn)行全微分，得轉(zhuǎn)化為真誤差形式為

面積中誤差為

根據(jù)誤差傳播定律將上式轉(zhuǎn)化成中誤差形式，可得

誤差傳播定律誤差傳播定律應(yīng)用步驟:1、根據(jù)實(shí)際情況確定觀測值與觀測值的函數(shù),寫出具體函數(shù)表達(dá)式。2、寫出觀測量的協(xié)方差陣。3、如果函數(shù)表達(dá)式為非線性函數(shù)時(shí)，對(duì)函數(shù)取全微分進(jìn)行線性化。4、應(yīng)用線性函數(shù)協(xié)方差傳播定律，得到函數(shù)值的中誤差。61誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測量的精度62

設(shè)水準(zhǔn)測量中每一測站觀測高差hi

的精度相同，其方差均為

,則具有N個(gè)測站的水準(zhǔn)路線的總高差為

應(yīng)用協(xié)方差傳播公式可得

在平坦地區(qū)的水準(zhǔn)測量中,每公里的測站數(shù)大致相等,

因此,

每公里觀測高差的方差相等,

設(shè)其均為

，則S公里觀測高差的方差和中誤差分別為

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用63例1水準(zhǔn)測量中若要求每公里觀測高差中誤差不超過10mm，水準(zhǔn)路線全長高差中誤差不超過60mm,則該水準(zhǔn)路線長度不應(yīng)超過多少公里？解：由公式

可得

所以，該水準(zhǔn)路線長度不應(yīng)超過36公里。

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用同精度獨(dú)立觀測值的算數(shù)平均值的精度64

設(shè)L1,L2,…,Ln為一組等精度的獨(dú)立觀測值(方差均為σ2),其算術(shù)平均值為

應(yīng)用協(xié)方差傳播公式得

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用65例2已知某臺(tái)經(jīng)緯儀一測回的測角中誤差為±6"，如果要使各測回的平均值的中誤差不超過±2"，則至少應(yīng)測多少測回？解：由公式

可得

所以，至少應(yīng)觀測9個(gè)測回誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響66

設(shè)若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響下觀測結(jié)果的真誤差為

由協(xié)方差傳播律可得：即觀測結(jié)果的方差等于各獨(dú)立誤差所對(duì)應(yīng)的方差之和。誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用平面控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度67

如圖所示導(dǎo)線，A為已知點(diǎn)，α0為AB方向的方位角，β為觀測角，其方差為±4.0(″)2，觀測邊長S為600.00m，其方差為0.5cm2，試求C點(diǎn)的點(diǎn)位方差。

解法一：由C點(diǎn)縱、橫向方差求點(diǎn)位方差

如圖AC邊上邊長方差稱為縱向方差，而在它的垂直方向的方差稱為橫向方差。

橫向方差是由AC邊的坐標(biāo)方位角α的方差引起的，由圖知點(diǎn)位方差為

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用

平面控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度68解法二:由C點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)方差求點(diǎn)位方差1、列函數(shù)式，由圖知:2、線性化

3、應(yīng)用協(xié)方差傳播公式可得坐標(biāo)方差計(jì)算式4、計(jì)算點(diǎn)位方差

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用根據(jù)實(shí)際要求確定部分觀測值的精度69

誤差傳播定律是用來確定觀測值及其函數(shù)間的精度關(guān)系的。一般情況下的應(yīng)用是已知觀測值的精度，來求觀測值函數(shù)的精度。但在測量實(shí)際工作中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)為了使觀測值函數(shù)的精度達(dá)到某一預(yù)定值的要求，反推觀測值應(yīng)具有的精度，即已知觀測值函數(shù)的精度，求部分觀測值的精度。在制定有關(guān)測量觀測精度的規(guī)范中常用這種方法。

要解決這類問題，列函數(shù)式求中誤差的方法與誤差傳播定律中所講的完全相同，即函數(shù)的自變量仍然是觀測值。在列函數(shù)式時(shí)，將自變量放在等號(hào)的右邊，函數(shù)放在等號(hào)的左邊，然后，才能利用誤差傳播定律。如以下例題所示。誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用70例1一個(gè)三角形觀測其兩個(gè)內(nèi)角α和β，第三個(gè)內(nèi)角為γ，若已知α角的測角中誤差為，要求γ角的中誤差，問β角的測角精度不能低于多少？

解:由三角形內(nèi)角和的關(guān)系可知

根據(jù)誤差傳播定律，其中誤差的平方為

所以

由中誤差的關(guān)系知即為了使角

γ的精度不低于5″，β角的觀測精度應(yīng)不低于4″誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用71案例解答：誤差傳播定律應(yīng)用的具體如下：第一步求面積的函數(shù)表達(dá)式，并求面積：代入觀測值，則矩形場地的面積第二步求全微分，將面積的非線性表達(dá)式線性化：第三步按協(xié)方差傳播律，求面積的方差則面積的中誤差子情境四協(xié)因數(shù)傳播定律案例導(dǎo)入：權(quán)在測量中的應(yīng)用比較廣泛，是一種比較觀測值之間精度高低的指標(biāo)，同樣可以用權(quán)來比較各個(gè)觀測值函數(shù)之間的精度?，F(xiàn)知道觀測值的權(quán)需要求觀測值函數(shù)權(quán)，具體問題如下：已知獨(dú)立觀測值的權(quán)為（i=1，2，…），求的權(quán)。72

權(quán)與定權(quán)常用的方法協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用73任務(wù)四協(xié)因數(shù)傳播定律知識(shí)準(zhǔn)備：權(quán)與定權(quán)的常用方法權(quán)的定義74

權(quán)是衡量各觀測值在平差結(jié)果中應(yīng)起作用大小的數(shù)值。

設(shè)有一組觀測值，其方差分別為(i=1，2，…，n)，則第i個(gè)觀測值的權(quán)定義為

Pi為觀測值Li的權(quán)，是可以任意選定的比例常數(shù)。

觀測值的權(quán)與觀測值的方差成反比，權(quán)的大小不是唯一的,但權(quán)之間的比例關(guān)系不變。權(quán)與定權(quán)的常用方法單位權(quán)方差75

權(quán)的作用是衡量觀測值的相對(duì)精度，稱其為相對(duì)精度指標(biāo)。確定一組權(quán)時(shí)，只能用同一個(gè)，否則，將破壞權(quán)之間的比例關(guān)系，失去相對(duì)精度標(biāo)準(zhǔn)的意義。的含義：

令，則得:

上式說明是單位權(quán)(權(quán)為1)觀測值的方差，簡稱為單位權(quán)方差。凡是方差等于的觀測值，其權(quán)必等于1。權(quán)為1的觀測值，稱為單位權(quán)觀測值。權(quán)與定權(quán)的常用方法76例1已知三個(gè)角度觀測值的中誤差分別為±3″，±4″，±5″，試求各角的權(quán)。

解:若取則有

若取

則有

上例說明σ0取值不同，則各觀測值的權(quán)不同，但權(quán)之間的比值不變，即權(quán)與定權(quán)的常用方法77例2已知A角的中誤差σA=±2″，權(quán)PA=4，B角的權(quán)PB=16，試求單位權(quán)中誤差σ0及B角的中誤差σB。

解:由權(quán)的定義式可得

將σA、PA之值代入上式可解出

又由權(quán)的定義式可得

權(quán)與定權(quán)的常用方法水準(zhǔn)測量定權(quán)78已知同精度觀測Ni個(gè)測站的水準(zhǔn)高差hi的方差為：

取C個(gè)測站的觀測高差的方差為單位權(quán)方差，即

按定權(quán)公式可得用測站數(shù)定權(quán)的公式

1、用測站數(shù)定權(quán)（用于山地）

權(quán)與定權(quán)的常用方法79

已知每公里觀測高差的方差相等時(shí)，Si

公里觀測高差的方差為

取C公里觀測高差的方差為單位權(quán)方差，即

按定權(quán)公式可得用路線長度定權(quán)的公式：

上式說明，當(dāng)每公里觀測高差等精度時(shí)，水準(zhǔn)測量高差的權(quán)與距離成反比。2、用路線長度定權(quán)（用于平地）權(quán)與定權(quán)的常用方法80例1在某平原地區(qū)布設(shè)了一水準(zhǔn)網(wǎng)如右圖，圖中各水準(zhǔn)路線的長度分別為:試確定同精度觀測條件下，各線路高差觀測值的權(quán)。

解:取3公里的觀測高差為單位權(quán)觀測，即取C=3km，則按水準(zhǔn)測量的定權(quán)公式求得權(quán)與定權(quán)的常用方法81例2在平坦地區(qū)測得兩段觀測高差及水準(zhǔn)路線的長分別為：h1=10.125米，S1=3.8公里，h2=-8.375米，S2=5.5公里，設(shè)每一測站的觀測精度相同，那么h1和h2哪一個(gè)權(quán)大？哪一個(gè)精度高？解：由水準(zhǔn)測量的定權(quán)公式知，水準(zhǔn)測量的權(quán)與路線長度成反比，因?yàn)镾2大于S1

，所以，h1的權(quán)比h2的權(quán)大，h1精度高。權(quán)與定權(quán)的常用方法82例3在相同觀測條件下進(jìn)行的四等水準(zhǔn)測量中，設(shè)以4公里的觀測高差為單位權(quán)觀測高差，已知單位權(quán)中誤差σ0=±1mm，則64公里觀測高差的中誤差等于多少？

解：根據(jù)題意知，C=4公里，σ0=

±1mm，S=64公里，由水準(zhǔn)測量的定權(quán)公式求64公里觀測高差的權(quán)

再由權(quán)的定義式

可得

所以，64公里觀測高差的中誤差為4mm。

權(quán)與定權(quán)的常用方法距離量測定權(quán)83

1、鋼尺量距的權(quán)

設(shè)單位長度距離丈量的方差為σ2

，則丈量距離Si

的方差為取丈量長度C的方差為單位權(quán)方差，即取則按定權(quán)公式得

上式說明，當(dāng)單位長度距離丈量的精度相同時(shí)，距離丈量的權(quán)與長度成反比。權(quán)與定權(quán)的常用方法距離量測定權(quán)84測距儀測距的權(quán)可按定權(quán)公式直接求得，即

式中為任選的單位權(quán)方差；為測距方差，它包含固定誤差和比例誤差兩部分。即mmkm2、光電測距的權(quán)權(quán)與定權(quán)的常用方法

等精度觀測算術(shù)平均值的權(quán)85

已知一組等精度的獨(dú)立觀測值(方差均為σ2)算術(shù)平均值的方差為：

若取C次觀測值的算術(shù)平均值為單位權(quán)觀測值，即取

按定權(quán)公式可得算術(shù)平均值的權(quán)

上式說明，算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比。

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律協(xié)因數(shù)86

單位權(quán)方差與觀測值方差之比可作為衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，反過來，觀測值方差與單位權(quán)方差之比同樣可作為衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，我們稱其為協(xié)因數(shù)，用符號(hào)Qii表示，即

與權(quán)的定義式比較可得

由協(xié)因數(shù)定義式又可得到

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律協(xié)因數(shù)陣871、n維隨機(jī)向量X的協(xié)因數(shù)陣仿協(xié)因數(shù)定義,定義兩隨機(jī)變量的互協(xié)因數(shù)將n維隨機(jī)向量X的方差陣的定義式乘以，得:上列矩陣稱為協(xié)因數(shù)陣，記作QX，即上式矩陣中，當(dāng)Qij=0(i≠j)時(shí)，則Xi和Xj互相獨(dú)立。協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律協(xié)因數(shù)陣88當(dāng)向量Z是向量X和Y的分塊向量時(shí)，即則有

式中，QX、QY分別為X、Y向量的自協(xié)因數(shù)陣，而QXY、QYX分別為X向量關(guān)于Y向量的互協(xié)因數(shù)陣，QXY與QYX互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)QXY=0時(shí)，表示X、Y互相獨(dú)立。

2、分塊向量的協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律

權(quán)陣89平差計(jì)算中，往往用協(xié)因數(shù)陣的逆陣參與運(yùn)算，為表達(dá)方便，將其逆陣用符號(hào)P表示，并稱其為權(quán)陣，即觀測值的權(quán)一般要通過對(duì)權(quán)陣求逆得到協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求權(quán)。當(dāng)權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)，Qii=1/Pii，再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系得協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律90例1已知觀測值向量L的協(xié)因數(shù)陣為試求:1)觀測值L1、L2的權(quán)P1和P2；

2)觀測值向量L的權(quán)陣P。解:1)由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式可得

2)由權(quán)陣的定義式可得觀測向量L的權(quán)陣為協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律91例2已知觀測向量L的權(quán)陣為試求觀測值L1，L2的權(quán)。解:由權(quán)陣與協(xié)因數(shù)陣的關(guān)系式得觀測值向量L的協(xié)因數(shù)陣為

再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式得:協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律協(xié)因數(shù)傳播律92將協(xié)方差傳播公式乘以，并顧及即可得到觀測向量X與其函數(shù)向量Y、Z之間的協(xié)因數(shù)傳播公式，即若向量X中的各個(gè)分量xi(i=1，2，…，n)兩兩獨(dú)立，即系數(shù)矩陣為行向量則有協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律93例1在測站O上觀測了A、B、C三個(gè)方向，如圖所示，得觀測值L1、L2、L3。設(shè)各方向值之間互相獨(dú)立且等精度，其權(quán)逆陣為試求角度β=(β1β2)T的權(quán)逆陣Q。解:因?yàn)樯鲜街校f明在一個(gè)測站上當(dāng)有二個(gè)以上方向時(shí),由方向觀測值求出的角度之間是相關(guān)的。由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用

用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差94設(shè)一系列不等精度的觀測值、觀測值的真誤差、觀測值的權(quán)分別為L1,L2,…,LnΔ1,Δ2,…,ΔnP1,P2,…,Pn再假設(shè)一列觀測值為其真誤差為由協(xié)因數(shù)傳播律可得即說明（i=1,2,…,n）是等精度的,且權(quán)都等于1。由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用95按等精度觀測計(jì)算中誤差的公式，有將代入上式，可得上式即為按不等精度觀測值的真誤差求單位權(quán)中誤差的公式。如果要求第i個(gè)觀測值的中誤差，只要由權(quán)的定義式通過變換便可得到計(jì)算公式，即由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用

由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差96利用n個(gè)等精度三角形閉合差可求得三內(nèi)角和的方差估值為設(shè)第i個(gè)三角形的三內(nèi)角之和的估值為若每一個(gè)角度觀測值估值的方差為

，則由上式按協(xié)方差傳播公式得:從而得角度觀測值方差和中誤差的估值的公式:上式稱菲列羅公式（近似公式）,它忽略了間的相關(guān)性。由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用

利用雙觀測列之差求中誤差971、利用雙觀測列之差求單位權(quán)中誤差設(shè)一組量的雙觀測列分別為和為第i個(gè)量的往返觀測值,再設(shè)每個(gè)量的雙觀測的權(quán)相等,均為Pi，則同一量的雙觀測之差為其真誤差為利用權(quán)倒數(shù)傳播公式得雙觀測之差的權(quán)倒數(shù)為由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用利用雙觀測列之差求中誤差98雙觀測之差的權(quán)為由不等精度觀測求單位權(quán)中誤差的公式可得將和代入上式得等精度觀測時(shí)有由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用利用雙觀測列之差求中誤差99如果要求任一量的單次觀測的中誤差，根據(jù)權(quán)的定義式可以導(dǎo)出所求結(jié)果為

2、求雙觀測列單次觀測的中誤差由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用利用雙觀測列之差求中誤差100根據(jù)協(xié)方差傳播公式得則雙觀測列平均值的中誤差為等精度觀測時(shí)有

3、求雙觀測列平均值的中誤差如果要求任一對(duì)觀測值平均值的中誤差,則由求平均值的函數(shù)式由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用利用雙觀測列之差求中誤差101例1一水準(zhǔn)路線分6段觀測，其往返觀測結(jié)果列于下表1。試求:1)每段高差平均值及其中誤差。2)該條水準(zhǔn)路線高差平均值及其中誤差。

段號(hào)

高差路線長Si（KM）

Pi=1/si平均值

di(mm)

di*di

Pi*di*di

L"

123456∑4.321-0.756-2.4668.9646.4044.892

-4.3050.7702.442-8.980-6.430-4.880

2.05.02.54.05.03.3

0.500.200.400.250.200.30

4.313-0.763-2.4548.972

6.417

4.886

1614-2416-26

12

2561965762566761447

11810119

128.039.2230.464.0135.243.2640.0L"由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用

利用雙觀測列之差求中誤差1022）水準(zhǔn)路線首尾兩點(diǎn)的高差，即6段高差平均值的代數(shù)和為其中誤差為解：1）水準(zhǔn)路線各段高差往、返觀測值的權(quán)、平均值及其中誤差的計(jì)算見表1協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律103案例解答：因?yàn)榘磪f(xié)因數(shù)傳播公式，得由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式，得學(xué)習(xí)情境二高程控制網(wǎng)平差計(jì)算子情境1單一水準(zhǔn)路線間接平差子情境2水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差子情境3單一水準(zhǔn)路線條件平差子情境4水準(zhǔn)網(wǎng)條件平差子情境5MATLAB工具軟件及其應(yīng)用

104

子情境1單一水準(zhǔn)路線間接平差

案例導(dǎo)入知識(shí)準(zhǔn)備案例解答105

子情境1單一水準(zhǔn)路線間接平差

案例導(dǎo)入下圖2-1是一附合水準(zhǔn)路線等外水準(zhǔn)測量示意圖，A、B為已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，HA＝10.000m，HB＝13.320m，1、2為待定高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，求待定點(diǎn)高程的平差值、平差值中誤差及1、2點(diǎn)間高差平差值的中誤差。圖2-1附合水準(zhǔn)路線示意圖106

子情境1單一水準(zhǔn)路線間接平差

知識(shí)準(zhǔn)備

一、多余觀測二、間接平差的思想三、間接平差的基本原理四、間接平差法求平差值的步驟五、間接平差的精度評(píng)定

107

一、多余觀測

為了提高觀測精度和避免差錯(cuò)，對(duì)要測量的量值的觀測次數(shù)總是比必要的觀測次數(shù)要多。例如，我們要確定三角形的形狀，由平面幾何的知識(shí)可知，只需測定其中任意兩個(gè)角度就行了。對(duì)這樣兩個(gè)角度的觀測，稱為必要觀測，通常以表示。但是為了提高觀測精度和避免差錯(cuò)，通常也對(duì)第三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行觀測，相對(duì)于必要觀測而言，對(duì)第三個(gè)內(nèi)角的觀測，就稱為多余觀測，通常以表示。設(shè)觀測總數(shù)為，則有。108

二、間接平差的思想

針對(duì)具體的平差問題，選定個(gè)未知量，建立未知數(shù)與觀測值間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為誤差方程，并依據(jù)最小二乘法原理，按求自由極值的方法解算出未知量的最優(yōu)估值。間接平差法是以最小二乘為平差原則，以平差值方程——誤差方程作為函數(shù)模型的平差方法。109

三、間接平差的基本原理

間接平差的觀測方程：間接平差的誤差方程：

間接平差的隨機(jī)模型為：平差最小二乘準(zhǔn)則：間接平差就是在最小二乘準(zhǔn)則下，求出誤差方程中的待定參數(shù)。在數(shù)學(xué)中，即為求多元函數(shù)的極值問題?；A(chǔ)方程及其解設(shè)平差問題中，有n個(gè)觀測值L，觀測值的協(xié)因數(shù)陣為Q，必要觀測數(shù)為t，選定t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，按具體平差問題，可列出n個(gè)觀測值的平差值方程：110令：得誤差方程的矩陣形式：式中，間接平差的基礎(chǔ)方程

解算這組基礎(chǔ)方程，得：間接平差的法方程

（其中：，）111解之得：將求出的代入誤差方程，即可求出觀測值改正數(shù)，從而平差結(jié)果為：112四、按間接平差法求平差值的步驟

（1）根據(jù)具體的平差問題，確定必要觀測個(gè)數(shù)t，選定t個(gè)獨(dú)立量作為未知參數(shù)；（2）建立未知參數(shù)與每一個(gè)觀測量平差值間的函數(shù)關(guān)系，即平差值方程，并列出誤差方程；（3）由誤差方程的系數(shù)B和自由項(xiàng)l組成法方程，法方程的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)t；（4）解算法方程，求解未知參數(shù)，計(jì)算未知參數(shù)的平差值；（5）將未知參數(shù)代入誤差方程，求解改正數(shù)，并求出觀測值的平差值。1、單位權(quán)中誤差

式中，n為觀測值個(gè)數(shù)；t為必要觀測個(gè)數(shù)；n-t為多余觀測；恒取正值。其中，可按以下方法計(jì)算：（1）直接由改正數(shù)計(jì)算；（2）將誤差方程式代入，則：顧及，則：113五、間接平差的精度評(píng)定

2、參數(shù)的中誤差未知數(shù)的中誤差估值：其中：114五、間接平差的精度評(píng)定

3、參數(shù)函數(shù)的中誤差間接平差中，由法方程解算出t個(gè)未知參數(shù)，則該平差問題中的任一量的平差值都可根據(jù)這t個(gè)未知參數(shù)計(jì)算出來。設(shè)間接平差問題中t個(gè)未知參數(shù)為，，…，，未知參數(shù)的函數(shù)為：為求函數(shù)的中誤差，首先對(duì)函數(shù)全微分求權(quán)函數(shù)式表示為：當(dāng)平差值函數(shù)是線性形式是，其函數(shù)式為：115五、間接平差的精度評(píng)定

設(shè)，則表示為，由協(xié)因數(shù)傳播率，的協(xié)因數(shù)為：因此，的中誤差為：

綜上所述，間接平差精度評(píng)定求待定量中誤差的一般步驟為：（1）根據(jù)具體平差問題，將待定量的平差值表達(dá)為未知參數(shù)的函數(shù)；（2）對(duì)未知數(shù)的函數(shù)全微分，求得權(quán)函數(shù)式；（3）利用權(quán)函數(shù)的系數(shù)、未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣，應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播率求函數(shù)的協(xié)因數(shù)，并求解中誤差。116五、間接平差的精度評(píng)定

子情境1單一水準(zhǔn)路線間接平差

案例解答解：（1）由題意可知必要觀測數(shù)（2）選取待定點(diǎn)1、2的高程為未知數(shù)、，為了便于后續(xù)計(jì)算，選取未知數(shù)的近似值為：則后續(xù)計(jì)算求解的是未知數(shù)近似值的改正數(shù)、,它們存在如下關(guān)系：

117（3）列立平差值方程，并轉(zhuǎn)化為誤差方程。根據(jù)題意可列出個(gè)平差值方程將觀測值移至等式右端，即得誤差方程118將有關(guān)數(shù)據(jù)代入誤差方程，計(jì)算得將上式寫成矩陣形式其中，119

由題意可知各水準(zhǔn)路線的長度，根據(jù)

,取C=2km，則觀測值的權(quán)陣為法方程的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)為120故法方程為

（4）解算法方程由可得：，或?qū)⑽粗獢?shù)代入誤差方程

，得改正數(shù)，改正數(shù)單位為毫米。121觀測值的平差值及未知數(shù)的最或是值為122

如圖2-1所示，試求待定點(diǎn)1、2高程平差值的中誤差，以及1、2點(diǎn)間高差的中誤差。（1）求解單位權(quán)中誤差

，其中則單位權(quán)中誤差為123（2）計(jì)算未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣及其中誤差則待定點(diǎn)1、2高程平差值的中誤差為（3）求解未知參數(shù)函數(shù)的中誤差列立出待定量平差值函數(shù)式124應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播率，計(jì)算的協(xié)因數(shù)則的中誤差為

125

子情境2水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差

案例導(dǎo)入知識(shí)準(zhǔn)備案例解答126

子情境2水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差

案例導(dǎo)入如圖2-2所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，已知水準(zhǔn)點(diǎn)A、B、C的高程分別為，，，為求待定點(diǎn)、的高程，進(jìn)行了水準(zhǔn)測量，高差觀測值及水準(zhǔn)路線長度見表2-1,試按間接平差法求：（1）各觀測高差的平差值；（2）、點(diǎn)高程平差值的精度；（3）至點(diǎn)觀測高差平差值的精度。表2-1圖2-2水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖127

子情境2水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差

知識(shí)準(zhǔn)備間接平差步驟：（1）列觀測方程；（2）將觀測值及待定點(diǎn)近似值代入觀測值方程，列出誤差方程；（3）確定觀測值的權(quán)陣；（4）組法方程；（5）解法方程，求參數(shù)改正數(shù)及參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣；（6）計(jì)算各觀測高差的平差值；（7）計(jì)算各觀測值改正數(shù)；（8）由觀測值改正數(shù)及權(quán)，計(jì)算單位權(quán)中誤差；（9）根據(jù)協(xié)因數(shù)和單位權(quán)中誤差計(jì)算平差值的精度；（10）列平差值權(quán)函數(shù)式并求其協(xié)因數(shù)；（11）計(jì)算平差值的精度。

128

子情境2水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差

案例解答解：（1）由題意可知必要觀測數(shù)（2）選取待定點(diǎn)、的高程平差值為未知數(shù)、，為了便于后續(xù)計(jì)算，選取未知數(shù)的近似值為：則：

129

(3)列立平差值方程，并轉(zhuǎn)化成誤差方程。

誤差方程將上式寫成矩陣形式

其中，130

(4)由誤差方程的系數(shù)B和自由項(xiàng)l組成法方程，法方程的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)t，其中，。由題意可知各水準(zhǔn)路線的長度，根據(jù)

，取C=2km，則觀測值的權(quán)陣為

法方程的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為131

故法方程為：

（5）解算法方程由可得：

，或故，132

（6）將未知數(shù)代入誤差方程，得改正數(shù)

改正數(shù)單位為毫米。（7）觀測值的平差值及未知數(shù)的最或是值為：133（8）求解單位權(quán)中誤差，其中

則單位權(quán)中誤差為134

（9）計(jì)算未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣及其中誤差則待定點(diǎn)

、高程平差值的中誤差為（10）求解未知參數(shù)函數(shù)的中誤差列立出待定量平差值函數(shù)式135

應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播率，計(jì)算的協(xié)因數(shù)則的中誤差為

136

子情境3單一水準(zhǔn)路線條件平差

案例導(dǎo)入知識(shí)準(zhǔn)備案例解答137

子情境3單一水準(zhǔn)路線條件平差

案例導(dǎo)入如圖2-3所示，A、B為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，其高程，，為確定C及D點(diǎn)的高程，共觀測了三個(gè)高差，各高差觀測值及水準(zhǔn)路線長度見表2-2。試求：（1）待定點(diǎn)C、D的高程平差值；（2）C點(diǎn)高程平差值的精度；（3）C至D點(diǎn)間平差后高差的中誤差。

表2-2圖2-3附合水準(zhǔn)路線示意圖138

子情境3單一水準(zhǔn)路線條件平差

知識(shí)準(zhǔn)備

一、條件平差原理二、條件平差基本步驟

139一、條件平差原理在測量工作中，由于受到觀測條件的限制，觀測值中不可避免地帶有誤差。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并提高測量成果的精度，常需要做多余觀測。在一個(gè)幾何模型中，有r個(gè)多余觀測，就會(huì)產(chǎn)生r個(gè)條件方程，以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，就是條件平差。

條件平差的函數(shù)模型為：，或

條件平差的隨機(jī)模型為：140一、條件平差原理測量平差的準(zhǔn)則是：

條件平差就是要求在滿足r個(gè)條件方程的條件下，求使函數(shù)的V值。在高等數(shù)學(xué)中是屬于求函數(shù)的條件極值問題。141

子情境3單一水準(zhǔn)路線條件平差

二、條件平差計(jì)算步驟（1）確定條件方程的個(gè)數(shù)，條件方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測數(shù)；（2）定權(quán)。根據(jù)定權(quán)原理確定各觀測值的權(quán)；（3）根據(jù)平差的具體情況，列出條件方程式；（4）根據(jù)條件方程的系數(shù)、閉合差及觀測值的權(quán)陣組成法方程；（5）根據(jù)法方程，解算聯(lián)系數(shù)向量；（6）計(jì)算觀測值改正數(shù)向量；（7）計(jì)算觀測值平差值；（8）將計(jì)算出的平差結(jié)果代入條件方程校核計(jì)算的正確性；（9）計(jì)算觀測值平差值函數(shù)的平差值，并評(píng)定平差結(jié)果的精度。

142子情境3單一水準(zhǔn)路線條件平差案例解答（1）由題意知：，，則，故可列出如下條件方程：

將代入上式，并代入已知數(shù)據(jù)，可得：

（2）定權(quán)。令，故有，則

法方程系數(shù)為143（3）組成法方程，解之得：（4）計(jì)算改正數(shù)，由可計(jì)算得到：（5）計(jì)算、點(diǎn)高程平差值：根據(jù)計(jì)算各觀測高差平差值，代入平差值條件式中進(jìn)行檢核，經(jīng)檢驗(yàn)滿足所有的條件方程。144（6）列點(diǎn)高程平差值的函數(shù)表達(dá)式：（7）列至點(diǎn)觀測高差平差值的函數(shù)表達(dá)式：（8）計(jì)算單位權(quán)中誤差：

因，故該水準(zhǔn)網(wǎng)1km觀測高差的中誤差為4.12mm。

145（9）計(jì)算觀測值平差的協(xié)因數(shù)：（10）計(jì)算點(diǎn)高程平差值的中誤差：由式，可得權(quán)函數(shù)系數(shù)，則：

146（11）計(jì)算平差后至點(diǎn)間高差的中誤差：

由式，得其權(quán)函數(shù)式系數(shù)，則：

147

子情境4水準(zhǔn)網(wǎng)條件平差

案例導(dǎo)入知識(shí)準(zhǔn)備案例解答148子情境4水準(zhǔn)網(wǎng)條件平差案例導(dǎo)入

如圖2-4所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，、、為已知點(diǎn)，，

；各高差觀測值及水準(zhǔn)路線長度見表2-3

。試按條件平差法求：（1）待定點(diǎn)、的高程平差值；（2）點(diǎn)高程平差值的精度；

（3）至點(diǎn)觀測高差平差值的精度。

149表2-3

子情境4水準(zhǔn)網(wǎng)條件平差

知識(shí)準(zhǔn)備條件平差計(jì)算步驟：（1）確定條件方程的個(gè)數(shù)，條件方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測數(shù)；（2）定權(quán)。根據(jù)定權(quán)原理確定各觀測值的權(quán)；（3）根據(jù)平差的具體情況，列出條件方程式；（4）根據(jù)條件方程的系數(shù)、閉合差及觀測值的權(quán)陣組成法方程；（5）根據(jù)法方程，解算聯(lián)系數(shù)向量；（6）計(jì)算觀測值改正數(shù)向量；（7）計(jì)算觀測值平差值；（8）將計(jì)算出的平差結(jié)果代入條件方程校核計(jì)算的正確性；（9）計(jì)算觀測值平差值函數(shù)的平差值，并評(píng)定平差結(jié)果的精度。

150子情境4水準(zhǔn)網(wǎng)條件平差案例解答

解：（1）計(jì)算多余觀測數(shù)，即條件方程式的個(gè)數(shù)；本題，，故有條件（2）由題意可知：

代入各已知條件，得條件方程式：151

根據(jù)條件方程式的系數(shù)、閉合差及觀測值的權(quán)（或協(xié)因數(shù)陣）組成法方程，法方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測數(shù)r；（1）由條件方程式可知，條件方程的系數(shù)陣及常數(shù)陣分別為：

（2）定權(quán)。令

，故有

，由于各高差觀測值是不相關(guān)觀測值，則各觀測值的權(quán)陣和權(quán)倒數(shù)陣分別為：

152

（3）法方程的組成與解算。組成法方程

,則

153

解算法方程得：

154

（4）計(jì)算改正數(shù)，由可計(jì)算得到

（5）計(jì)算、

點(diǎn)高程平差值：

根據(jù)計(jì)算各觀測高差平差值

代入平差值條件式中進(jìn)行檢核，經(jīng)檢驗(yàn)滿足所有的條件方程。

155（6）列點(diǎn)高程平差值的函數(shù)表達(dá)式：

（7）列至點(diǎn)觀測高差平差值的函數(shù)表達(dá)式：（8）計(jì)算單位權(quán)方差及單位權(quán)中誤差：

156（9）計(jì)算觀測值平差的協(xié)因數(shù)：（10）計(jì)算點(diǎn)高程平差值的中誤差：

由式，可得權(quán)函數(shù)系數(shù)，則：

157（11）計(jì)算至

點(diǎn)觀測高差平差值的精度

：

由式，得其權(quán)函數(shù)式系數(shù)，則：

158

子情境5MATLAB工具軟件及其應(yīng)用

案例導(dǎo)入知識(shí)準(zhǔn)備案例解答159子情境5MATLAB工具軟件及其應(yīng)用

案例導(dǎo)入

如圖2-5所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，和是已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，并設(shè)這些點(diǎn)的已知高程值無誤差，圖中、、是待定點(diǎn)。已知高程、觀測高差及相應(yīng)水準(zhǔn)路線的長度見表2-4，試用MATLAB按間接平差法求：（1）各待定點(diǎn)的平差高程；（2）至點(diǎn)間高差平差值的中誤差。運(yùn)用MATLAB前，先根據(jù)平差問題，計(jì)算多余觀測數(shù)；根據(jù)參數(shù)的近似值，列出誤差方程及平差值函數(shù)的表達(dá)式。

160圖2-14表2-4子情境5MATLAB工具軟件及其應(yīng)用知識(shí)準(zhǔn)備

一、MATLAB簡介是英文MatrixLaboratory（矩陣實(shí)驗(yàn)室）的縮寫。它以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位，使得矩陣運(yùn)算非常簡捷、高效。還提供了十分豐富的數(shù)值計(jì)算函數(shù)，而且所采用的數(shù)值計(jì)算算法都是國際公認(rèn)的最先進(jìn)、可靠的算法，其程序由世界一流專家編制和高度優(yōu)化，高質(zhì)量的數(shù)值計(jì)算功能為贏得了聲譽(yù)。

161

具有如下主要特點(diǎn)：1、以矩陣和數(shù)組為基礎(chǔ)的運(yùn)算；簡單易學(xué)，使用方便；2、強(qiáng)大的圖形技術(shù)；編程效率極高；3、可擴(kuò)充性強(qiáng)，具有方便的應(yīng)用程序接口。

162二、MATLAB基本知識(shí)介紹

1．啟動(dòng)7.1程序后的界面如圖2-6所示。

圖2-6

163

2．命令窗口（CommandWindow）

命令窗口是的主要交互窗口，用于輸入命令并顯示除圖形以外的所有執(zhí)行結(jié)果。命令窗口不僅可以內(nèi)嵌在

的工作界面，如圖2-6所示，還可以以獨(dú)立窗口的形式浮動(dòng)在界面如圖2-7所示。圖2-7164

3．命令介紹命令是查詢函數(shù)語法的最基本方法，查詢信息直接顯示在命令窗口。在命令窗口中輸入加函數(shù)名，用來顯示該函數(shù)的幫助說明。例如，為了顯示求矩陣的逆陣的函數(shù)“inv”的使用方法與說明，可在后輸入“inv”，屏幕將顯示幫助信息，如圖2-8所示。

圖2-8

165三、MATLAB數(shù)據(jù)及其運(yùn)算

矩陣是最基本、最重要的數(shù)據(jù)對(duì)象，的大部分運(yùn)算或命令都是在矩陣運(yùn)算的意義下執(zhí)行的。向量可以看成是僅有一行或一列的矩陣，單個(gè)數(shù)據(jù)（標(biāo)量）可以看成是僅含一個(gè)元素的矩陣，故向量和單個(gè)元素都可以作為矩陣的特例來處理。

166

1.MATLAB中的變量與賦值在7.1中，變量名是以字母開頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列，最多63個(gè)字符；變量名區(qū)分字母的大小寫，即“myexample”、“Myexample”表示不同的變量。此外，提供的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)名以及命令名必須用小寫字母，如求矩陣A的逆用函數(shù)“inv（A）”，不能寫成“Inv（A）”或“INV（A）”，否則會(huì)出錯(cuò)。的賦值語句有兩種格式：（1）變量名=表達(dá)式（2）表達(dá)式

167

1．MATLAB中的變量與賦值其中表達(dá)式是用運(yùn)算符將有關(guān)運(yùn)算量連接起來的式子，其結(jié)果是一個(gè)矩陣。在第一種語句形式下，將右邊表達(dá)式的值賦給左邊的變量，而在第二種語句形式下，將表達(dá)式的值賦給的預(yù)定義變量“ans”。一般地，運(yùn)算結(jié)果在命令窗口中顯示出來。如果在語句的最后加分號(hào)“；”，那么僅僅執(zhí)行賦值操作，不顯示運(yùn)算的結(jié)果。所以，當(dāng)不需要顯示運(yùn)算結(jié)果時(shí)，則可以在賦值語句的后面加上“；”。

在語句后面或前面可以加上注釋，用于解釋或說明語句的含義，對(duì)語句處理結(jié)果不產(chǎn)生任何影響。注釋以“%”開頭，后面是注釋的內(nèi)容。

168

2.MATLAB中矩陣的建立與運(yùn)算（1）直接輸入法建立矩陣將矩陣的元素用“[]”括起來，按行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或用“，”分隔，不同行的元素之間用“；”分隔。如輸入A矩陣中各元素后按回車鍵，則顯示A矩陣如圖2-9所示。

圖2-9169

（2）特殊矩陣的建立還可以用通過特殊矩陣函數(shù)產(chǎn)生特殊矩陣，如0矩陣，單位矩陣等。以產(chǎn)生階單位矩陣為例，用函數(shù)“eye”實(shí)現(xiàn)，如圖2-10所示。

170圖2-10

（3）構(gòu)造對(duì)角矩陣在平差過程中，當(dāng)觀測值之間不相關(guān)時(shí)，觀測值的權(quán)陣是對(duì)角矩陣。設(shè)為具有個(gè)元素的向量，將產(chǎn)生一個(gè)對(duì)角矩陣，其主對(duì)角元素即為向量V的元素。設(shè)，構(gòu)造對(duì)角矩陣如圖2-11所示。

171圖2-11

（4）矩陣的轉(zhuǎn)置是單撇號(hào)“’”。例：設(shè)

，則

，在中的執(zhí)行情況如圖2-12所示。