經(jīng)典極坐標與參數(shù)方程綜合測試題(含答案)

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1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨設|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|?|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化為：p2+3p﹣4=0，解得p=1．9．在極坐標系中，射線l：θ=與圓C：ρ=2交于點A，橢圓Γ的方程為ρ2=，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy（Ⅰ）求點A的直角坐標和橢圓Γ的參數(shù)方程；（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點，求?的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）射線l：θ=與圓C：ρ=2交于點A（2，），點A的直角坐標（，1）；橢圓Γ的方程為ρ2=，直角坐標方程為+y2=1，參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）；（Ⅱ）設F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴?=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴?的取值范圍是[5﹣，5+]．10．已知在直角坐標系中，曲線的C參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），現(xiàn)以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ=．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）在曲線C上是否存在一點P，使點P到直線l的距離最??？若存在，求出距離的最小值及點P的直角坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）曲線的C參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），普通方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直線l的極坐標方程為ρ=，直角坐標方程為x﹣y﹣4=0；（2）點P到直線l的距離d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距離的最小值為2﹣2，點P的直角坐標（1+，1﹣）．11．已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．（I）求曲線C2的直角坐標系方程；（II）設M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t得：2x+y+4=0．∴曲線C1的直角坐標方程為2x+y+4=0．∵M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點，∴|M1M2|的最小值等于M2到直線2x+y+4=0的距離的最小值．設M2（r2﹣1，2r），M2到直線2x+y+4=0的距離為d，則d==≥．∴|M1M2|的最小值為．12．設點A為曲線C：ρ=2cosθ在極軸Ox上方的一點，且0≤θ≤，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy，（1）求曲線C的參數(shù)方程；（2）以A為直角頂點，AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求點B軌跡的極坐標方程．【解答】（1）θ為參數(shù)）（2）：設A（ρ0，θ0），且滿足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依題意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以點B的軌跡方程為，．13．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：（φ為參數(shù)，實數(shù)a＞0），曲線C2：（φ為參數(shù)，實數(shù)b＞0）．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）與C1交于O、A兩點，與C2交于O、B兩點．當α=0時，|OA|=1；當α=時，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲線C1：（φ為參數(shù)，實數(shù)a＞0），化為普通方程為（x﹣a）2+y2=a2，展開為：x2+y2﹣2ax=0，其極坐標方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當θ=0時，|OA|=ρ=1，∴a=．曲線C2：（φ為參數(shù)，實數(shù)b＞0），化為普通方程為x2+（y﹣b）2=b2，展開可得極坐標方程為ρ=2bsinθ，由題意可得當時，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值為+1，當2θ+=時，θ=時取到最大值．14．在平面直角坐標系中，曲線C1：（a為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求C2的極坐標方程；（Ⅱ）設曲線C3的極坐標方程為ρsin（﹣θ）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），普通方程為（x′﹣1）2+y′2=1，∴