(強烈推薦!)空間向量與立體幾何教案

PAGE49(強烈推薦!)空間向量與立體幾何教案空間向量與立體幾何一、知識網(wǎng)絡(luò)：空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運算空間向量的數(shù)乘運算空間向量的數(shù)量積運算空間向量的坐標運算共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離直線的方向向量與平面的法向量用空間向量證平行與垂直問題求空間角求空間距離二．考綱要求：（1）空間向量及其運算①經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；③掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；④掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。（2）空間向量的應(yīng)用①理解直線的方向向量與平面的法向量；②能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；③能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。三、命題走向本章內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應(yīng)用。本章是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本章的考查形式為：以客觀題形式考查空間向量的概念和運算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。預測10年高考對本章內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復習時應(yīng)加大這方面的訓練力度。第一課時空間向量及其運算一、復習目標：1．理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘；2．了解空間向量的基本定理；3．掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運算律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。二、重難點：理解空間向量的概念；掌握空間向量的運算方法三、教學方法：探析類比歸納，講練結(jié)合四、教學過程（一）、談最新考綱要求及新課標高考命題考查情況，促使積極參與。學生閱讀復資P128頁，教師點評，增強目標和參與意識。（二）、知識梳理，方法定位。（學生完成復資P128頁填空題，教師準對問題講評）。1．空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。BCOA說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；BCOA2．向量運算和運算率加法交換率：加法結(jié)合率：數(shù)乘分配率：說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。注意：當我們說、共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個向量（≠）、，∥的充要條件是存在實數(shù)使＝（1）對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為||，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量。（3）若直線l∥，，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導的表達式。推論：如果

l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式①其中向量叫做直線l的方向向量。在l上取，則①式可化為②當時，點P是線段AB的中點，則③①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式。注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使①注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使④或?qū)臻g任一定點O，有⑤在平面MAB內(nèi)，點P對應(yīng)的實數(shù)對（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵代入⑤，整理得⑥由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。5．空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使6．數(shù)量積（1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作ABO（1）說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=；ABO（1）⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥；ABO（2）⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（1ABO（2）圖（1）中∠AOB=，圖（2）中∠AOB=,從而有==.（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。ABl即=，ABl向量:（4）性質(zhì)與運算率⑴。⑴⑵⊥=0⑵=⑶⑶（三）．典例解析題型1：空間向量的概念及性質(zhì)例1、有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②為空間四點，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點一定共面；③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（）。①②①③②③①②③解析：對于①“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。題型2：空間向量的基本運算例2、如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，，則下列向量中與相等的向量是（）解析：顯然；答案為A。點評：類比平面向量表達平面位置關(guān)系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力。例3、已知：且不共面.若∥,求的值.解：∥,,且即又不共面,點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。例4、底面為正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點，求證：AB1∥平面C1BD.證明：記則∴,∴共面.∵B1平面C1BD,AB1//平面C1BD.（四）強化鞏固導練1、已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.解：易求得2、在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 (A)。ABCDA1C1B1A．-a＋b＋c B．a(chǎn)＋b＋cABCDA1C1B1C．a(chǎn)-b＋c D．-a-b＋c3、（2009四川卷理）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點，則異面直線所成的角的大是。解析：不妨設(shè)棱長為2，選擇基向量，則，故填寫。（五）、小結(jié)：1．立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運算來證明．對于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0進行證明．對于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進行證明．2．運用向量求解距離問題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對向量，然后計算這個向量對應(yīng)的模．而計算過程中只要運用好加法法則，就總能利用一個一個的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來，從而求得結(jié)果．3．利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便．其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角，而求兩個向量的夾角則可以利用公式cosθ＝．4．異面直線間的距離的向量求法：已知異面直線l1、l2，AB為其公垂線段，C、D分別為l1、l2上的任意一點，為與共線的向量，則｜｜＝.5．設(shè)平面α的一個法向量為，點P是平面α外一點，且Po∈α，則點P到平面α的距離是d＝.（六）、作業(yè)布置：課本P32頁A組中2、3、4B組中3課外練習：課本P39頁A組中8；B組中3；復資P130頁變式訓練中1、2、3、5、6五、教學反思：第二課時空間向量的坐標運算一、復習目標：1、理解空間向量坐標的概念；2、掌握空間向量的坐標運算；3．掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式．二、重難點：掌握空間向量的坐標運算；掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式．三：教學方法：探析類比歸納，講練結(jié)合四、教學過程（一）、基礎(chǔ)知識過關(guān)（學生完成下列填空題）1、空間直角坐標系：（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；2、空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．3、設(shè)a＝，b＝(1)a±b＝。(2)a＝．(3)a·b＝．(4)a∥b；ab．（5）模長公式：若，則．（6）夾角公式：．（7）兩點間的距離公式：若，，則(8)設(shè)則＝，．AB的中點M的坐標為．4、直線的方向向量的定義為。如何求直線的方向向量？5、平面的法向量的定義為。如何求平面的法向量？（二）典型題型探析題型1：空間向量的坐標例1、（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）A.：||=：||B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實數(shù)k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，則x+y的值是（）A.－3或1B.3或－1C.－3D.1（3）下列各組向量共面的是（）A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D；點撥：由共線向量定線易知；（2）A點撥：由題知或；（3）A點撥：由共面向量基本定理可得。點評：空間向量的坐標運算除了數(shù)量積外就是考查共線、垂直時參數(shù)的取值情況。例2、已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值.思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.(1)cos==－，∴和的夾角為－。(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。則k=－或k=2。點撥：第（2）問在解答時也可以按運算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。題型2：數(shù)量積例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，則（2－）·=_____.（2）設(shè)空間兩個不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.又∵與的夾角為，∴·=||||cos==.又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.∴或同理可得或∵≠，∴或∴cos<，>=·+·=+=.∵0≤<，>≤π，∴<，>=。評述：本題考查向量數(shù)量積的運算法則。題型3：空間向量的應(yīng)用例4、（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4。（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點M1（1，-2，1）移到點M2(3，1，2)，求物體合力做的功。解析：（1）設(shè)=(，，)，=(1，1，1)，則||=4，||=.∵·≤||·||，∴·=++≤||·||=4.當==時，即a=b=c=時，取“=”號。（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。點評：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查||·||≥·的應(yīng)用，解題時要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量，，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進行運算?？臻g向量的數(shù)量積對應(yīng)做功問題。（三）、強化鞏固訓練1、(07天津理，4)設(shè)、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（·）－（·）=②||－||<|－|③（·）－（·）不與垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（）A.①② B.②③ C.③④ D.②④解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假；答案：D②由向量的減法運算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因為［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真.點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律。2、已知為原點，向量∥，求．解：設(shè)，∵∥，∴，，∴，即解此方程組，得。（四）、小結(jié)：(1)共線與共面問題；(2)平行與垂直問題；(3)夾角問題；(4)距離問題；運用向量來解決它們有時會體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢．用空間向量解題的關(guān)鍵步驟是把所求向量用某個合適的基底表示，本節(jié)主要是用單位正交基底表示，就是適當?shù)亟⑵鹂臻g直角坐標系，把向量用坐標表示，然后進行向量與向量的坐標運算，最后通過向量在數(shù)量上的關(guān)系反映出向量的空間位置關(guān)系，從而使問題得到解決．在尋求向量間的數(shù)量關(guān)系時，一個基本的思路是列方程，解方程．（五）、作業(yè)布置：課本P56頁A組中6、11、12、19課外練習：限時訓練53中2、4、7、9、10、12、14五、教學反思：第三課時空間向量及其運算強化訓練一、復習目標：1、了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；2、掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；3、掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；4、通過本課強化訓練，使學生進一步熟練理解和掌握上述概念和運算方法，提高學生的靈活和綜合運用能力。二、重難點：空間向量及其運算的綜合運用。三、教學方法：講練結(jié)合，探析歸納。四、教學過程（一）、基礎(chǔ)自測（分組訓練、共同交流）1.有4個命題：①若p=xa+yb，則p與a、b共面；②若p與a、b共面，則p=xa+yb；③若=x+y，則P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，則=x+y.其中真命題的個數(shù)是（B）。A.1 B.2 C.3 D.42.下列命題中是真命題的是(D)。A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B.若|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C.若向量，滿足||＞||，且與同向，則＞D.若兩個非零向量與滿足+=0，則∥3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，則 （C ）。A.x=1,y=1 B.x=，y=- C.x=，y=- D.x=-，y=4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點Q在直線OP上運動，當·取最小值時，點Q的坐標是.答案5.在四面體O-ABC中，=a,=b,=c,D為BC的中點,E為AD的中點，則=(用a,b,c表示).答案a+b+c（二）、典例探析例1、如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a，=b，=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）+.解（1）∵P是C1D1的中點，∴=++=a++=a+c+=a+c+b.（2）∵N是BC的中點，∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.（3）∵M是AA1的中點，∴=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c，又=+=+=+=c+a，∴+=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.例2、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點.（1）求證：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的長；（3）求異面直線AN與CM夾角的余弦值.（1）證明設(shè)=p,=q，=r.由題意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.=-=（+）-=（q+r-p）， ∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD. （2）解由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2 =［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]=×2a2=.∴||=a,∴MN的長為a.(3)解設(shè)向量與的夾角為.∵=(+)=(q+r),=-=q-p,∴·=（q+r）·（q-p）=（q2-q·p+r·q-r·p）=(a2-a2·cos60°+a2·cos60°-a2·cos60°)=（a2-+-）=.又∵||=||=，∴·=||·||·cos=··cos=.∴cos=， ∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM夾角的余弦值為. 例3、（1）求與向量a=(2,-1,2)共線且滿足方程a·x=-18的向量x的坐標；（2）已知A、B、C三點坐標分別為（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求點P的坐標使得=（-）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a與b夾角的余弦值；③確定，的值使得a+b與z軸垂直，且（a+b）·（a+b）=53.解（1）∵x與a共線，故可設(shè)x=ka，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（）2=9k，∴9k=-18，故k=-2.∴x=-2a=（-4，2，-4）.（2）設(shè)P（x，y，z），則=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1），∵=（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)∴，解得∴P點坐標為(5，，0).（3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21.②∵|a|==5,|b|==,∴cos〈a,b〉===-.∴a與b夾角的余弦值為-.③取z軸上的單位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.依題意即故解得.（三）、強化訓練：如圖所示，正四面體V—ABC的高VD的中點為O，VC的中點為M.（1）求證：AO、BO、CO兩兩垂直；（2）求〈,〉.(1)證明設(shè)=a,=b,=c,正四面體的棱長為1,則=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c)∴·=（b+c-5a）·（a+c-5b）=（18a·b-9|a|2）=（18×1×1·cos60°-9）=0.∴⊥，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO，∴AO、BO、CO兩兩垂直.（2）解=+=-（a+b+c）+c=(-2a-2b+c).∴||==，||==，·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，∴cos〈,〉==，∵〈,〉∈(0,),∴〈,〉=45°.（四）、小結(jié)：本節(jié)主要有空間向量的坐標表示，空間向量的坐標運算，平行向量，垂直向量坐標之間的關(guān)系以及中點公式，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標運算同平面向量類似，具有類似的運算法則.一個向量在不同空間的表達方式不一樣，實質(zhì)沒有改變.因而運算的方法和運算規(guī)律結(jié)論沒變。不同點僅是向量在不同空間具有不同表達形式.空間兩向量平行時同平面兩向量平行時表達式不一樣，但實質(zhì)是一致的，即對應(yīng)坐標成比例，且比值為，對于中點公式要熟記。（五）、作業(yè)布置：復資P129頁中4、5、8、9補充：1、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是BC、AD的中點，則·的值為（C）A.a2 B. C. D.2、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C為線段AB上一點，且=，則C點的坐標為(C)A. B. C. D.3、如圖所示，平行六面體ABCD—A1B1C1D1兩夾角為60°.(1)求AC1的長；（2）求BD1與AC夾角的余弦值.解記=a，=b，=c，則|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,∴a·b=b·c=c·a=.（1）||2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（a·b+b·c+c·a）=1+1+1+2×(++)=6,∴||=,即AC1的長為.(2)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,·=（b+c-a）·（a+b）=b2-a2+a·c+b·c=1.∴cos〈,〉==.∴AC與BD1夾角的余弦值為.五、教學反思：立體幾何中的向量方法空間夾角和距離一．考綱要求：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。二．命題走向：空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本節(jié)的考查主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。預測2010年高考對本節(jié)內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復習時應(yīng)加大這方面的訓練力度。題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查。第一課時空間夾角和距離一、復習目標：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。二、重難點：向量法在立體幾何中求空間的夾角和距離應(yīng)用。三、教學方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學過程（一）、談最新考綱要求及新課程高考命題考查情況，促使積極參與。學生閱讀復資132頁，教師講解，增強目標與參與意識。（二）、知識梳理，方法定位（學生完成復資P132頁填空題，教師準對問題講評）1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。（1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角。（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。DBDBAC①找過斜線上一點與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；③把該角置于三角形中計算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點的射影位置有以下幾種方法：①斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；②如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；③兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；b.如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c.如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法①棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；②面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；③空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當作二面角的平面角有困難時,如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2．空間的距離（1）點到直線的距離：點Ｐ到直線的距離為點Ｐ到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點Ｐ到直線的距離。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長即可。點到平面的距離：點Ｐ到平面的距離為點Ｐ到平面的垂線段的長．常用求法①作出點Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時，點Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長．常有求法①先證線段ＡＢ為異面直線的公垂線段，然后求出ＡＢ的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間．為直線上任意一點到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個平行平面之間．為一個平面上任意一點到另一個平面的距離。以上所說的所有距離：點線距，點面距，線線距，線面距，面面距都是對應(yīng)圖形上兩點間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。3．空間向量的應(yīng)用abEabEF如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b的法向量，點E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線a與b之間的距離是；ABCABCα如右圖所示，已知AB是平面α的一條斜線，為平面α的法向量，則A到平面α的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題。（5）用法向量求二面角αβ如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。αβ（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者。（三）、基礎(chǔ)鞏固導練1、在平行六面體ABCD—中，設(shè)，則x+y+z=（A）A. B. C. D.2、在正方體ABCD—中，M是棱DD1的中點，點O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則異面直線OP與AM所成角的大小為（C）A. B. C. D.與P點位置無關(guān)3、如圖，正方體ABCD—中，E、F分別是AB、CC1的中點，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為（B）A. B. C. D.4、如圖所示，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE。（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大??；（3）求點D到平面ACE的距離。10、（1）略（2） （3）（四）、小結(jié)：本課要求大家理解和掌握運用向量法解決立體幾何中：1、線面角的求法：2、二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。3、設(shè)分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補角。4、異面直線間距離的求法：5、點面距離的求法：6、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離再用（5）中方法求解。（五）、作業(yè)布置：課本P57頁A組中16、17、18B組中3課外練習：復資P133頁變式訓練題1、2、4、5、6、7、8五、教學反思：第二課時用向量法求空間夾角——熱點考點題型探析一、復習目標：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角；2．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。3、探究題型，掌握解法。二、重難點：向量法在立體幾何中求空間的夾角應(yīng)用。探究題型，掌握解法。三、教學方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學過程（一）熱點考點題型探析題型1：異面直線所成的角A1B1C1D1ABCDExyz例1、A1B1C1D1ABCDExyz求：D1E與平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）解析：建立坐標系如圖，則、，，，，，，，，，。不難證明為平面BC1D的法向量，∵?！郉1E與平面BC1D所成的角的余弦值為。反思歸納：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2：直線與平面所成的角例2、（09年高考試題）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B與平面ABDGDDA1C1B1CBKxyzAE解析：如圖所示，建立坐標系，坐標原點為C，設(shè)CA＝2a，則A(2a，0，0)，B(0，2aGDDA1C1B1CBKxyzAE∵，，，∴a＝1，，∵為平面ABD的法向量，且?！郃1B與平面ABD所成角的余弦值是。反思歸納：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。題型3：二面角EFO例3、（08年高考）在四棱錐PEFO（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大?。ㄓ谜兄当硎荆?；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解析：（1）延長AB、DE交于點F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB,PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，過A作AO⊥PF于O，連結(jié)OD，則∠AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖∵AD⊥PA、AB,PA∩AB=A，∴DA⊥平面BPA于A,同時，BC⊥平面BPA于B，∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ,cosθ=S△PAB/S△PCD=/2θ=450。即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°。解法2（補形化為定義法）如圖：將四棱錐P-ABCD補形得正方體ABCD－PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。在Rt△PAD中，PA=AD，則∠APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°。（二）、強化鞏固訓練1、（2007年，北京卷高考題）如圖6，正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點，且。求二面角的大小。（略去了該題的①，③問）2、（06四川卷）已知球的半徑是1，、、三點都在球面上，、兩點和、兩點的球面距離都是，、兩點的球面距離是，則二面角的大小是（）（A）（B）（C）（D）1、解析：（1）取BC的中點O，連AO。由題意：平面平面，，∴平面，以O(shè)為原點，建立如圖6所示空間直角坐標系，則，，，，∴，，，由題意平面ABD，∴為平面ABD的法向量。設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，即?！嗖环猎O(shè)，由，得。故所求二面角的大小為。評析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找——證——求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎談化了學生的空間想象能力，但實質(zhì)不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神；（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”。2、解析：球的半徑是R=，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，則∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，兩點的球面距離是，∠BOC=，BC=1，過B做BD⊥AO，垂足為D，連接CD，則CD⊥AD，則∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，選C。（三）、小結(jié)：本課要求大家理解和掌握運用向量法解決立體幾何中：1、線面角的求法：2、二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。3、設(shè)分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補角。教師引導學生反思歸納回顧，進一步深化理解。（四）、作業(yè)布置：復資P133頁中2、3、4課外練習：限時訓練54中3、5、7、8、10、11五、教學反思：第三課時用向量法求空間的距離——熱點考點題型探析一、復習目標：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的距離；2．能用向量方法解決線線、線面、面面的距離的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。3、探究題型，掌握解法。二、重難點：向量法在立體幾何中求空間的距離應(yīng)用。探究題型，掌握解法。三、教學方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學過程ABABCDOS圖2題型1：異面直線間的距離例1、如圖2，正四棱錐的高，底邊長。求異面直線和之間的距離？分析：建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，。，。令向量，且，則，，，，。異面直線和之間