高中數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)解析：空間異面直線

第頁共頁高中數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)解析：空間異面直線高中數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)解析：空間異面直線高中數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)解析：空間異面直線1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面。相交直線共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線共面沒有公共點(diǎn);異面直線不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交的兩條直線。(可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等)②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交③假設(shè)直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi)。④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn)。⑤在平面內(nèi)的射影是直線的圖形一定是直線。(射影不一定只有直線，也可以是其他圖形)⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，那么斜線長相等。(并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段)⑦是夾在兩平行平面間的線段，假設(shè)，那么的位置關(guān)系為相交或平行或異面。2.異面直線斷定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。(不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線)3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。4.等角定理：假設(shè)一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向一樣，那么這兩個(gè)角相等(如以下圖).(二面角的取值范圍)(直線與直線所成角)(斜線與平面成角)(直線與平面所成角)(向量與向量所成角推論：假設(shè)兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等。5.兩異面直線的間隔：公垂線的長度。空間兩條直線垂直的情況：相交(共面)垂直和異面垂直。是異面直線，那么過外一點(diǎn)P,過點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒有，但與間隔相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi)。(或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面)二、立體幾何學(xué)習(xí)中的圖形觀知識點(diǎn)總結(jié)一、作圖作圖是立體幾何學(xué)習(xí)中的根本功，對培養(yǎng)空間概念也有積極的意義，而且在作圖時(shí)還要用到許多空間線面的關(guān)系。所以作圖是解決立體幾何問題的第一步，作好圖有利于問題的解決。例1正方體中，點(diǎn)P、E、F分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)(如圖1).作出過點(diǎn)P、E、F三點(diǎn)的正方體的截面。分析^p：作圖是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)弱點(diǎn)，作多面體的截面又是作圖中的難點(diǎn)。學(xué)生看到這樣的題目不知所云。有的'學(xué)生連結(jié)P、E、F得三角形以為就是所求的截面。其實(shí)，作截面就是找兩個(gè)平面的交線，找交線只要找到交線上的兩點(diǎn)即可。觀察所給的條件(如圖2)，發(fā)現(xiàn)PE就是一條交線。又因?yàn)槠矫鍭BCD//平面，由面面平行的性質(zhì)可得，截面和面的交線一定和PE平行。而F是的中點(diǎn)，故取的中點(diǎn)Q,那么FQ也是一條交線。再延長FQ和的延長線交于一點(diǎn)M,由公理3，點(diǎn)M在平面和平面的交線上，連PM交于點(diǎn)K,那么QK和KP又是兩條交線。同理可以找到FR和RE兩條交線(如圖2).因此，六邊形PERFQK就是所求的截面。二、讀圖圖形中往往包含著深化的意義，對圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán)。例2如圖3，在棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=b上的定點(diǎn)，P在上滑動，那么四面體PQEF的體積().(A)是變量且有最大值(B)是變量且有最小值(C)是變量無最大最小值(D)是常量分析^p：此題的解決需要我們仔細(xì)分析^p圖形的特點(diǎn)。這個(gè)圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點(diǎn)P在滑動，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素?求四面體的體積要具備哪些條件?仔細(xì)觀察圖形，應(yīng)該以哪個(gè)面為底面?觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的間隔也是定值，故它的面積是定值。再發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q到面PEF的間隔也是定值。因此，四面體PQEF的體積是定值。我們沒有一點(diǎn)計(jì)算，對圖形的分析^p幫助我們解決了問題。三、用圖在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們會遇到許多似是而非