2023屆四川省攀枝花市高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題

2023屆四川省攀枝花市高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)補集、并集的知識求得正確答案.【詳解】由于，所以.故選：D2．已知復數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由復數(shù)的除法、減法運算化簡求z，即可得其共軛復數(shù).【詳解】由題設，，故.故選：A3．已知等比數(shù)列{an}滿足a1a6＝a3，且a4+a5＝，則a1＝（

）A． B． C．4 D．8【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的基本量轉化已知條件，即可求得，則問題得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得：，解得.故選：.【點睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計算，屬簡單題.4．某國有企業(yè)響應國家關于進一步深化改革，加強內循環(huán)的號召，不斷自主創(chuàng)新提升產(chǎn)業(yè)技術水平，同時積極調整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5種系列產(chǎn)品的結構比例，近年來取得了顯著效果．據(jù)悉該企業(yè)2021年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍，其中5種系列產(chǎn)品的年收入構成比例如下圖所示．則以下說法錯誤的是（

）A．2021年甲系列產(chǎn)品收入和2020年的一樣多B．2021年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多C．2021年丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的D．2021年戊系列產(chǎn)品收入是2020年戊系列產(chǎn)品收入的2倍還多【答案】C【分析】設出2020年5種系列產(chǎn)品年總收入，根據(jù)給定的條形圖及扇形圖，逐項計算判斷作答.【詳解】設2020年5種系列產(chǎn)品年總收入為m，則2021年5種系列產(chǎn)品年總收入為2m，mm，A正確；m，B正確；mm，是2020年丁系列產(chǎn)品收入的，C不正確；mm，比2020年戊系列產(chǎn)品收入的2倍還多，D正確.故選：C5．將一直角三角形繞其一直角邊旋轉一周后所形成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面積是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，求出母線長后，利用圓錐的側面積公式即可求得結果.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，如圖：所以圓錐的母線長為，所以圓錐的側面積為.故選：C.【點睛】本題考查了三視圖還原直觀圖，考查了圓錐的側面積公式，屬于基礎題.6．我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，在數(shù)學的學習和研究中，有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象過點可排除CD；再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得答案.【詳解】由函數(shù)圖象可知，而，故排除C；而D中，故排除D；其對應的函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以為奇函數(shù)，對于B，，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；對于A，，，且，故A正確；故選：A.7．已知四邊形中，，，，E為的中點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】選定為基底表示，利用向量的數(shù)量積運算律求解.【詳解】由題可知，,,所以,故選:C.8．一排11個座位，現(xiàn)安排甲、乙2人就座，規(guī)定中間的3個座位不能坐，且2人不能相鄰，則不同排法的種數(shù)是（

）A．28 B．32 C．38 D．44【答案】D【分析】根據(jù)甲、乙兩人在三個空位同側與異側進行分類，分別求解，再利用分類加法原理進行求值.【詳解】根據(jù)兩人在三個空位同側與異側進行分類，當甲、乙兩人在三個空位左側時：共（種），同理，當甲、乙兩人在三個空位右側時：共（種），當甲、乙兩人在三個空位異側時：共（種），即共（種），故選：D.9．如圖，正方體中，P是的中點，給出下列結論：①；②平面③；④平面其中正確的結論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法對四個結論進行分析，從而確定正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體的邊長為，則,，不存在實數(shù)使得，所以①錯誤.，設平面的法向量為，則，令，得,故可設，，所以，由于平面，所以平面，②正確.，所以，③正確.，，所以與不垂直，平面，所以與平面不垂直，所以④錯誤.故正確的個數(shù)為個.故選：B10．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，設，數(shù)列的前n項和為，則滿足的n的最小正整數(shù)解為（

）A．15 B．16 C．3 D．4【答案】A【分析】由遞推關系求得、，根據(jù)關系可得，由等差數(shù)列定義求出通項，最后應用對數(shù)的運算性質可得，進而求對應n的范圍，即可得答案.【詳解】由題設且，當時，，則，當時，，則，可得，所以，當時，，則，由上，也成立，故是首項、公差均為1的等差數(shù)列，則，即，又，所以，即，故的n的最小正整數(shù)解為.故選：A11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．的圖象關于直線對稱C．在上單調遞減D．是最小正周期為的周期函數(shù)【答案】C【分析】應用奇偶性定義判斷A，根據(jù)、是否成立，即可判斷B、D，由，應用換元法及導數(shù)研究復合函數(shù)的單調性判斷C.【詳解】由題設，而且定義域為R，所以是偶函數(shù)，A錯誤；由，故關于對稱，不關于對稱，B錯誤；由且，令且，在已知區(qū)間上單調遞減且，則，故恒成立，即在上遞增，綜上，在上遞減，C正確.由，故不是函數(shù)的周期，D錯誤.故選：C12．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，易得，再由，，構造且，利用導數(shù)研究的單調性及其符號，即可得結果.【詳解】由，則，而，所以，，由可得，而，故構造，，所以恒成立，故在上遞增，即，而，則，所以當時，，因為，所以，即，綜上，.故選：B【點睛】關鍵點點睛：構造函數(shù)，注意定義域范圍，利用導數(shù)研究函數(shù)值符號判斷大小.二、填空題13．已知平面向量，，若，則_________．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算求參數(shù)即可.【詳解】∵，∴，解得，，∴.故答案為：.14．的展開式中的系數(shù)為12，則_________．【答案】【分析】應用二項式定理寫出含項，結合已知項系數(shù)列方程求值即可.【詳解】由的展開式通項為，所以，含項為，故，可得.故答案為：15．已知邊長為3的正的三個頂點都在球（為球心）的表面上，且與平面所成的角為，則球的體積為___________．【答案】【分析】先計算出正三角形外接圓半徑，再由與平面所成的角為求出球的半徑，進而可求出結果.【詳解】設正的外接圓圓心為，易知，在中，，即球的半徑，故球的體積為.故答案為：16．已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)k的取值范圍是_________．【答案】【分析】不妨設，化簡可得，令，求出的值域即可求k的取值范圍.【詳解】因為，且不妨設，則，即，從而可得，由已知方程有正數(shù)解，令，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，因為，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，所以，則上值域為，上值域為，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題17．攀枝花市地處川滇交界處，攀西大裂谷中段，這里氣候條件獨特，日照充足，盛產(chǎn)芒果、石榴、枇杷、甘蔗等熱帶亞熱帶水果．根據(jù)種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗，產(chǎn)自某種植基地的單個“紅玉軟籽”石榴質量在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．(1)10000個產(chǎn)自該基地的“紅玉軟籽”石榴，估計有多少個質量在內；(2)2023年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x（人）234567年收益增量（萬元）111319263138該基地為了預測人工投入增量與年收益增量的關系，建立了y與x的回歸模型，試根據(jù)表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程并預測人工投入增量為10人時的年收益增量．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，，，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】(1)估計有8616個質量在克內；(2)，人工投入增量為10人時的年收益增量約為.【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布性質可求出單個石榴的質量在克內的概率，由此可得10000個樣本中質量位于克的石榴個數(shù)的分布列，進而估計質量位于內的石榴的個數(shù).（2）根據(jù)最小二乘法即可求出線性回歸方程，再利用回歸方程進行預測即可.【詳解】（1）設單個“紅玉軟籽”石榴的質量為克，由已知，，且，所以，，所以，所以，又，，所以，設10000個產(chǎn)自該基地的“紅玉軟籽”石榴中，質量在克內的石榴的個數(shù)為，則，所以10000個產(chǎn)自該基地的“紅玉軟籽”石榴，估計有，即個質量在克內；（2）由已知，，，，有，且，所以關于的回歸方程為.當時，，所以可以預測當人工投入增量為10人時的年收益增量約為.18．在△中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)線段上一點D滿足，，求△的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）應用正弦定理邊角關系可得，再由三角形內角性質及輔助角公式求角的大?。唬?）令，△中應用正弦定理求得，進而確定，最后應用三角形面積公式求面積.【詳解】（1）由題設及正弦定理邊角關系：，又，所以，即，又，則，故，即.（2）由題設，令，則，，，在△中，即，所以，故，所以，即，故，所以，則，綜上，.19．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E為的中點，．(1)證明：B，E，F(xiàn)，四點共面；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）通過證明線線平行的方法來證明四點共面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）延長交于，連接，因為，所以，因為，所以，所以，即是的中點，所以，所以四點共面.（2）取的中點，連接，由于三角形是等邊三角形，所以，則，依題意可知平面，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，所以，設平面的法向量為，則，故可設，設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.20．已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為P，且點P的橫坐標為3．(1)求拋物線E的標準方程；(2)點A、B是第一象限內拋物線E上的兩個動點，點為x軸上的動點，若為等邊三角形，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】(1)由雙曲線求其漸近線方程，求出點的坐標，由此可求拋物線方程；(2)設直線的方程為，利用設而不求法表示條件關系，由此可求t的取值范圍．【詳解】（1）設點的坐標為，因為點在第一象限，所以，雙曲線的漸近線方程為，因為點在雙曲線的漸近線上，所以，所以點的坐標為，又點在拋物線上，所以，所以，故拋物線的標準方程為：；（2）設直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，即，設，，則，因為點A、B在第一象限，所以，故，設線段的中點為，則，所以點的坐標為，所以，所以又點到直線的距離，因為為等邊三角形，所以，，所以，，所以①，②，將①代入②可得③，所以，所以，將③代入①可得，所以，故t的取值范圍為．【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．21．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)設函數(shù)，若有兩個零點，，且為的唯一極值點，求證：．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明詳見解析【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，從而求得的極值.（2）先求得滿足的方程，然后利用換元法，結合構造函數(shù)以及導數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）當時，，定義域為，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的極小值為，無極大值.（2），當時，在上恒成立，在上遞增，不符合題意.當時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的極小值點為，，要使有兩個零點，則，，則，對于函數(shù)，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以在上恒成立.則，所以不妨設，由，得，令，即，整理得，要證，即證，即證，即證，即證，即證.設函數(shù)，，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以.【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點、極值，要首先求函數(shù)的定義域，然后結合導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間，進而求得函數(shù)的極值點或極值.要注意的是，極值點和極值是兩個不同的概念.利用導數(shù)研究函數(shù)零點的過程中，要注意結合零點存在性定理來進行求解.22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)設曲線與曲線交于P、Q兩點，求的值．【答案】(1)曲線的極坐標方程為；即曲線的直角坐標方程為(2)2【分析】（1）通過消參求得曲線的普通方程，再將普通方程轉化為極坐標方程，將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；(2)利用極徑的幾何意義求解.【詳解】（1）∵,則，∵，曲線的極坐標方程為；由，得，即曲線的直角坐標方程為.（2）由得，①由得，②可得，即設P，Q兩點所對應的極徑分別為，則，∴.23．已知．(