2023屆廣西部分學(xué)校高三二輪復(fù)習(xí)階段性測試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆廣西部分學(xué)校高三二輪復(fù)習(xí)階段性測試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，再根據(jù)虛部的定義即可得解.【詳解】，故所求虛部為.故選：A.2．若集合，則（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解.【詳解】解：依題意，，則或.故選：B.3．唐代數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了從0°到80°的晷影長與太陽天頂距?表高h(yuǎn)與太陽天頂距滿足，記太陽天頂距為75°時(shí)晷影長為，太陽天頂距為45°時(shí)晷影長為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)晷影長?表高h(yuǎn)與太陽天頂距滿足求解.【詳解】解：依題意：，故選：C.4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．127 B．254 C．510 D．255【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則顯然，因?yàn)樗?，解得，由，得，所?故選:D.5．二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．-60 B．60 C．30 D．-30【答案】B【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，利用，解得，即可求系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故所求系數(shù)為.故選：B.6．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】解：依題意，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選:A.7．已知函數(shù)且的圖象過點(diǎn)，若當(dāng)時(shí)，的值域中正整數(shù)的個(gè)數(shù)超過2023個(gè)，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域即可求解.【詳解】依題意，；易知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正整數(shù)的個(gè)數(shù)是1027，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正整數(shù)的個(gè)數(shù)是2051，故的最小值為11，故選：C.8．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在中利用邊與角的關(guān)系可得，從而有，再求出離心率即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以在中，，所以，所以，即，故，則，則，故，則，解得（舍去，故選：C.9．已知函數(shù)的部分圖象如下所示，其中，為了得到的圖象，需將（

）A．函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍后，再向左平移個(gè)單位長度B．函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的后，再向右平移個(gè)單位長度C．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍D．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可知，，即可求得，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件的來確定解析式，最后根據(jù)伸縮平移法則即可求得.【詳解】依題意，，解得，故，則，而2，故，而，故.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，得到.故選：D.10．已知在一個(gè)表面積為24的正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意將平面翻折至與平面共面，根據(jù)，由時(shí)，有最小值求解.【詳解】解：作出圖形如下所示：依題意：，故，將平面翻折至與平面共面，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，由余弦定理得：，則.故選：A.11．在一節(jié)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課堂上，老師要求大家利用超級畫板研究空間幾何體的體積，步驟如下：第一步，繪制一個(gè)三角形；第二步，將所繪制的三角形繞著三條邊各自旋轉(zhuǎn)一周得到三個(gè)空間幾何體；第三步，測算三個(gè)空間幾何體的體積，若小明同學(xué)繞著的三條邊AB，BC，AC旋轉(zhuǎn)一周所得到的空間幾何體的體積分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的體積求出三邊的關(guān)系，再利用余弦定理求解作答.【詳解】令的三邊分別為，邊上的高為，的面積為，則以直線為軸所得旋轉(zhuǎn)體體積，有，于是，同理可得，則有，由余弦定理得.故選：C12．若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，利用其單調(diào)性比較b與c的大??；令，利用其單調(diào)性比較a與c的大小.【詳解】解：令，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，即；令，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，故，則，故選：A.二、填空題13．已知在中，，則__________.【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】解：依題意，.故答案為：14．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為__________.【答案】【分析】利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和即可.【詳解】解：，故.故答案為：.15．某單位為了調(diào)查性別與對工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機(jī)抽取了若干名員工，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，其中，且，若有的把握可以認(rèn)為性別與對工作的滿意程度具有相關(guān)性，則的值可以是__________.（橫線上給出一個(gè)滿足條件的x的值即可）對工作滿意對工作不滿意男女附：，其中.【答案】（或中任意一個(gè)）【分析】根據(jù)卡方公式求出的取值范圍，再根據(jù)且，即可得解.【詳解】，解得，因?yàn)榍?，所以或或或或?故答案為：（或中任意一個(gè)）16．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)、、、在拋物線上，，、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，則與的面積之比為__________.【答案】【分析】求出的值，設(shè)、、、，設(shè)出直線、的方程，將這兩條直線的方程分別與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，同理可得，再結(jié)合三角形的面積公式以及韋達(dá)定理可求得與的面積之比.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，因?yàn)?，則，設(shè)點(diǎn)、、、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，則，同理可得，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．三、解答題17．已知在：中，角所對的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若為鈍角三角形，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）將條件轉(zhuǎn)化為，再利用正弦定理得到化簡求解；（2）根據(jù)結(jié)合，得到，且為鈍角，然后利用余弦定理求解.【詳解】（1）解：依題意，，故，由正弦定理得，即，故.（2）因?yàn)?，所以為銳角，又，故，則，因?yàn)闉殁g角三角形，所以為鈍角；因?yàn)?，所以，解得，所以的取值范圍?18．某著名小吃店高峰時(shí)段面臨用餐排隊(duì)問題，店主打算擴(kuò)充店面，為了確定擴(kuò)充的位置大小，店主隨機(jī)抽查了過去若干天內(nèi)高峰時(shí)段的用餐人數(shù)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.(1)求高峰時(shí)段用餐人數(shù)的平均數(shù)以及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，從餐廳以往的所有營業(yè)時(shí)間中隨機(jī)抽取4天，記高峰時(shí)段用餐人數(shù)在的天數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)30.5；21(2)分布列見解析，【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)及方差公式可得答案；（2）由題可得用餐人數(shù)在的頻率為，又的可能值為0，1，2，3，4，據(jù)此可得分布列及期望.【詳解】（1）依題意，；；（2）由題，用餐人數(shù)在的頻率為.的可能值為0，1，2，3，4.則，，.故的分布列為01234故.19．如圖所示，在四棱錐中，，平面平面，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明點(diǎn)平面，即證四點(diǎn)都在平面中，即點(diǎn)平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量與直線的方向向量，由線面角公式即可求得.【詳解】（1）如圖所示，延長交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，連接，在中，分別為的中點(diǎn)，故與的交點(diǎn)為的重心，設(shè)為，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以四點(diǎn)都在平面中，即點(diǎn)平面.（2）解：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，故，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，?）又，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則；則直線與平面所成角的正弦值.20．已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，若點(diǎn)在直線上，證明：點(diǎn)在直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用弦長公式，建立方程，可得答案；（2）聯(lián)立方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線方程，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合斜率相等，可得答案.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，則，設(shè)，故，故化簡可得，，解得舍去，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：易知，根據(jù)題意得直線，由，得，根據(jù)題意，恒成立，設(shè).則，直線的方程為，令得，所以，因?yàn)椋瑒t直線的斜率分別為，，又，所以，所以點(diǎn)在直線上.21．已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，證明：存在唯一的零點(diǎn)，且.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）把函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程有兩根，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合即可求解；（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理證明存在唯一零點(diǎn)，利用函數(shù)最值符合證明不等式成立.【詳解】（1）令，則，記，由題意，直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖象，如圖:由圖可知，，直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）依題意，，的定義域?yàn)?，則，令，，顯然在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，故存在唯一的零點(diǎn)；由得，所以.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故有唯一的零點(diǎn)，且.22．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；(2)已知曲線上的兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，求面積的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程即可.（2）極徑的應(yīng)用和三角函數(shù)求值域相結(jié)合求出面積的最大值.【詳解】（1