橢圓第二定義應用及經(jīng)典例題解析

高考數(shù)學橢圓第二定義應用一、隨圓的第二定義（比值定義若

MFd

,為常數(shù)則的軌跡是以F為焦點，L為準線的橢圓。注：①其中F為定點，F(xiàn)，0為M到定直線L：

a2x的距離c②F與是對應的，即：左焦點對應左準線，右焦點對應右準線。二、第定義的應用[例1]知

2y(3),F是1612

1

的右焦點點M為橢圓的動點求MAMF的最小值，并求出此時點M坐標。分析：此題主要在于2MF的轉(zhuǎn)化，由第二定義：

MFd

12

，可得出MFd，即為M到（右準線）的距離。再求最小值可較快的求出。解：圖，過M作l于，L為右準線：x，由第二定義，知：

MFd

12

，MFdMNMAMF要使MAMF為最小值，即：MA為“最小由圖知：當A、M、N共線，1

y2000y2000即：AMl時，MAMF為最小；且最小值為A到的距離10，此時，可設M(x,0

，代入橢圓方程中，解得：

x0

故當M(23)，MAMF為的最小值為10[評注：（1）以上解法是橢圓第二定義的巧用，將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離去求，可使題目變得簡單。（2）一般地，遇到一個定點到定直線問題應想到橢圓的第二定義。[例2]設()為橢圓(a0)ab2

的一點，離心率為e到左焦點和右焦1點F的距離分別為r，r212

求證：

rex,r12

0證明作圖，由第二定義：

PF12

即：

rPF1

22)又PFPF12raaa21

0注：①上述結(jié)論

r，r稱為橢圓中的焦半徑公式1020②PFr1

由0

a0

得出raea且a11

即aPF1當PF1

為

a2

當PF時為1[練習（1）過

x

y2

的左焦點F作傾斜角為30的直線交橢圓于兩點則弦AB的長為2分析AB是焦點弦

ABAFBF

a

只需求用AB聯(lián)立方程后，韋達定理的方法可解）（2）

x2y2F2為

的左、右焦點，P橢圓上的一點，若PFPFP到左2準線的距離為24分析：由焦半徑公式，設px

0

0

得0

即0又左準線為：

則P到左準線距離為8-（-16[例設橢圓的左焦點為F，AB過F的弦，試分析以AB為直徑的圓與左準線L的位置關(guān)系解，設M弦AB的中點為“圓心作AAL于ABB于11L由橢圓的第二定義知：(BB)1又在直角梯形

ABAA11中，MM是中位線1BBMM11

1即：

ABMM

1

2

3

（

2

為圓M半徑rMM為圓心M左準線的距離drd故以AB為直徑的圓與左準線相離4

B.C.B.D.x2y2B.C.B.D.x2y2橢圓第二定義的應用練習1、橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍，則此橢圓的離心率e等于（）A．

11234

D.

242橢圓的兩個焦點是F和F一條準線方程是

163

則此橢圓方程（）A．C.

xy2xyx2y2xy7

3、由橢圓的四個頂點組成的菱形的高等于：

。4、不論k為何實數(shù)值，直線y=kx+1焦點在x軸的橢圓

x2

總有公共點，則的取值范圍是：。5、已橢圓22m的一焦點為0）求的值．6、已橢圓的中心原點，經(jīng)過點P，，求橢圓的標準方程5

42427、已知P在以坐軸為對稱軸橢圓上點到兩焦點距離分為作焦點在軸的垂線它恰好橢圓的一個點，求圓方程．

和過P點38、求心在原點，稱軸為標軸，且經(jīng)A3和(3兩的橢圓程．分析：可設其方程為

2

2

()，且不必去考慮焦點哪個坐標軸上，直接可求出方程．6

橢