量子物理之勢壘和隧道效應動畫

量子物理之勢壘和隧道效應動畫第1頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四*{范例14.7}勢壘和隧道效應(動畫)方程的通解為(x<0)將ψ1(x)乘以exp(-iωt)，然后取函數的實部。由于cos(k1x-ωt)=cos(ωt-k1x)，可知：第一項表示I區(qū)向x正方向傳播的波，即入射波，(0<x<a)(x>a)OaxIIIIIIV0V是入射波的復振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。同理可知：第二項表示向x負方向傳播的波，即反射波，是反射波的復振幅。ψ2(x)中的兩個分量是勢壘II區(qū)中右行波和左行波，和是復振幅。Ψ3(x)中第一個分量是勢壘III區(qū)中右行波。由于在III區(qū)沒有反射波，所以第2頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四*{范例14.7}勢壘和隧道效應(動畫)(x<0)根據波函數的單值和連續(xù)的條件，在x=0處有ψ1(0)=ψ2(0)，(0<x<a)(x>a)OaxIIIIIIV0V可得兩個方程在x=a處有ψ2(a)=ψ3(a)，再得兩個方程手工求解方程組比較麻煩，用MATLAB比較容易求解。第3頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四*{范例14.7}勢壘和隧道效應(動畫)求解結果是可見：其他波的復振幅由入射波的復振幅決定。當入射波函數取實部時，其他波函數也取實部；當入射波函數取虛部時，其他波函數也取虛部。虛部和實部只差一個相位因子，因此兩者中的任何一個都可以表示波函數。第4頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四*{范例14.7}勢壘和隧道效應(動畫)當粒子能量趨于勢壘高度時，k2趨于零，可得勢壘內的波函數為當粒子能量等于勢壘高度時，勢壘中仍然有波函數存在。當粒子能量小于勢壘高度時，k2是復數，勢壘中的波函數按指數規(guī)律變化。第5頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四入射波的振幅取實數，初始時各區(qū)域的波函數的實部和虛部(對應顏色的點虛線)。可見：不論是右行波是左行波，波函數的實部和虛部的幅度是相同的。隨著時間的推移，入射波的波函數向右移，反射波的波函數向左移，合成波函數向右移，其幅度不斷發(fā)生改變。設一無量綱的常數常數由粒子質量、勢阱高度和寬度決定，不妨稱為勢壘常數。勢壘常數將影響波長。第6頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四在某時刻，波函數的實部與虛部重疊。說明：波函數的虛部和實部都能描述粒子的狀態(tài)。第7頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四當粒子能量大于勢壘高度時，粒子雖然能夠越過勢壘，還會發(fā)生反射。當粒子能量一定時，勢壘常數越大，波長就越短。在勢壘左邊界，入射波和反射波都不連續(xù)，但疊加的波是連續(xù)的。在勢壘右邊界，疊加的波與透射波是連續(xù)的。第8頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四當粒子能量等于勢壘高度時，勢壘中的入射波和反射波合并為一個波函數，波函數隨距離線性變化。第9頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四隧道效應已經被大量實驗所證實，例如冷電子發(fā)射(電子在強電場作用下從金屬表面逸出)，α粒子從原子核中釋放，等等。當粒子能量小于勢壘高度時，粒子雖然會發(fā)生反射，還能夠穿過勢壘產生透射，如同勢壘中有一條隧道，這種現象稱為隧道效應。隧道效應也得到廣泛的應用，例如半導體器件，超導和掃描隧道顯微鏡，等等。第10頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四當粒子能量小于勢壘高度時，在勢壘中，反射波很小，主要是入射波。勢壘常數較大時，對于一定質量