2013年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷1

PAGEPAGE62013年高考理科數(shù)學(xué)試題解析（課標(biāo)Ⅰ）第Ⅰ卷選擇題共12小題。每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合，則 ( )A.A∩B= B.A∪B=R C.B?A D.A?B2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為 ( )A. B. C.4 D.3.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué).初中.高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 ( )A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣 C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣4.已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為A.B.C.D.5.運(yùn)行如下程序框圖，如果輸入的，則輸出s屬于A.B.C.D.6.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. B.C. D.7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則()A.3 B.4 C.5 D.68.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A．B．C．D．9.設(shè)為正整數(shù)，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若，則()A.5 B.6 C.7 D.810.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)。若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為( )A. B. C. D.11.已知函數(shù)，若||≥，則的取值范圍是A．B．C．D．12.設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，，若，，則( )A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列 二．填空題：本大題共四小題，每小題5分。13.已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，則t=_____.14.若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn＝，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=______.15.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則______16.若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值是______.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=eq\r(3)，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°∴輸出s屬于[-3,4]，故選.6．【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，∴球的體積為，故選A.7．【解析】有題意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故選C.8．【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個(gè)長(zhǎng)為4寬為2高為2長(zhǎng)方體，故其體積為=，故選.9．【解析】由題知=，=，∴13=7，即=，解得=6，故選B.10．【解析】設(shè)，則=2，=－2，①②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴橢圓方程為，故選D.11．【解析】∵||=，∴由||≥得，且，由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ，當(dāng)=1時(shí)，易證對(duì)恒成立，故=1不適合，排除C，故選D.12．B13．【解析】=====0，解得=.14．【解析】當(dāng)=1時(shí)，==，解得=1，當(dāng)≥2時(shí)，==－()=，即=，∴{}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，∴=.15．【解析】∵==令=，，則==，當(dāng)=，即=時(shí)，取最大值，此時(shí)=，∴===.16．【解析】由圖像關(guān)于直線=－2對(duì)稱，則0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===當(dāng)∈(－∞,)∪(－2,)時(shí)，＞0，當(dāng)∈(,－2)∪(,+∞)時(shí)，＜0，∴在（－∞，）單調(diào)遞增，在（，－2）單調(diào)遞減，在（－2，）單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減，故當(dāng)=和=時(shí)取極大值，==16.17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；（Ⅱ）設(shè)∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化簡(jiǎn)得，，∴=，∴=.18．【解析】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，∴EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，||為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有題設(shè)知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),則=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),……9分設(shè)=是平面的法向量，則，即，可取=（，1，-1），∴=，∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.……12分19．【解析】設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分（Ⅱ）X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，∴X的分布列為X400500800P……10分EX=400×+500×+800×=506.25……12分20．【解析】由已知得圓的圓心為（-1，0）,半徑=1，圓的圓心為(1,0),半徑=3.設(shè)動(dòng)圓的圓心為（，），半徑為R.（Ⅰ）∵圓與圓外切且與圓內(nèi)切，∴|PM|+|PN|===4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為.（Ⅱ）對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為（2，0）時(shí)，R=2.∴當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為，當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，則與軸重合，可得|AB|=.當(dāng)?shù)膬A斜角不為時(shí)，由≠R知不平行軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為Q，則=，可求得Q（-4，0），∴設(shè)：，由于圓M相切得，解得.當(dāng)=時(shí)，將代入并整理得，解得=，∴|AB|==.當(dāng)=－時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=，綜上，|AB|=或|AB|=.21．【解析】（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，設(shè)函數(shù)==（），==，有題設(shè)可得≥0，即，令=0得，=，=－2，（1）若，則－2＜≤0，∴當(dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而==≥0，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，(2)若，則=，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，(3)若，則==＜0，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≤不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為[1,].22．【解析】（Ⅰ）連結(jié)DE，交BC與點(diǎn)G.由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，又∵DB⊥BE，∴DE是直徑，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂線，∴BG=.設(shè)DE中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圓半徑