帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的問題

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的問題有界勻強(qiáng)磁場是指在局部空間內(nèi)存在著勻強(qiáng)磁場。對(duì)磁場邊界約束時(shí)，可以使磁場有著多種多樣的邊界形狀，如：單直線邊界、平行直線邊界、矩形邊界、圓形邊界、三角形邊界等。這類問題中一般設(shè)計(jì)為：帶電粒子在磁場外以垂直磁場方向的速度進(jìn)入磁場，在磁場內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)后離開磁場。粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與磁場邊界夾角不同，使粒子運(yùn)動(dòng)軌跡不同，導(dǎo)致粒子軌跡與磁場邊界的關(guān)系不同，由此帶來很多臨界問題。1、基本軌跡。（1）單直線邊界磁場（如圖1所示）。帶電粒子垂直磁場進(jìn)入磁場時(shí)。如果垂直磁場邊界進(jìn)入，粒子作半圓運(yùn)動(dòng)后垂直原邊界飛出；如果與磁場邊界成夾角e進(jìn)入，仍以與磁場邊界夾角e飛出（有兩種軌跡，圖1中若兩軌跡共弦，則e1=e2）帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，綜合性較強(qiáng)，解這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中的圓及解析幾何知識(shí)。1.帶電粒子在單邊界磁場中的運(yùn)動(dòng)【例題】一個(gè)負(fù)離子，質(zhì)量為m，電量大小為q，以速率V垂直于屏S經(jīng)過小孔O射入存在著勻強(qiáng)磁場的真空室中（如圖11）。磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向與離子的運(yùn)動(dòng)方向垂直，并垂直于圖1中紙面向里。bMXXx、PxXXsxXXXXXXX（1） 求離子進(jìn)入磁場后到達(dá)屏S上時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離。（2） 如果離子進(jìn)入磁場后經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)位置P，證明:直線OP與離子入射方向之間的夾角e跟t的關(guān)系是^=—t。2m★解析：（1）離子的初速度與勻強(qiáng)磁場的方向垂直，在洛侖茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)圓半徑為r,則據(jù)牛頓第二定律可得:八° V2BqV=m——設(shè)圓半徑為r,則據(jù)牛頓第二定律可得:八° V2BqV=m——r解得mVBq如圖12所示，如=2^離了回到屏S上的位置A與O點(diǎn)的距離為：AO=2r。所以 Bq（2）當(dāng)離子到位置P時(shí)，圓心角（見圖12）：a=Vt=Bq手rm，qB0=t因?yàn)閍=20，所以。2m（2）平行直線邊界磁場（如圖2所示）。帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進(jìn)入磁場時(shí)，速度較小時(shí)，作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切;速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出?！纠}】如圖15所示，一束電子（電量為e）以速度V垂直射入磁感強(qiáng)度為B,寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，穿透磁場時(shí)速度方向與電子原來入射方向的夾角是 30°，則電子的質(zhì)量是 ，穿過磁場的時(shí)間。A^x*XX，BTOC\o"1-5"\h\zM 300廠又廠'"X,XX；V:XXX:I■ IiZ iXXX;O"Bxxl★解析：電子在磁場中運(yùn)動(dòng)，只受洛侖茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因?yàn)閒±V，故圓心在電子穿入和穿出磁場時(shí)受到洛侖茲力指向交點(diǎn)上，如圖15中的。點(diǎn)，由幾何知識(shí)知，AB間圓心角e=30°，OB為半徑。r=d/sin30°=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/VXVAB圓心角是30°，.穿透時(shí)間t=T/12,故t=nd/3V。帶電粒子在長足夠大的長方形磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)要注意臨界條件的分析。如已知帶電粒子的質(zhì)量m和電量e，若要帶電粒子能從磁場的右邊界射出，粒子的速度V必須滿足什么條件？這時(shí)必須滿足r=mV/Be>d，即V>Bed/m。（3）矩形邊界磁場（如圖3所示）。帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進(jìn)入磁場時(shí)，速度較小時(shí)粒子作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；速度在某一范圍內(nèi)時(shí)從側(cè)面邊界飛出；速度為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與對(duì)面邊界相切;速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)從對(duì)面邊界飛出。

【例題】長為L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，如圖16所示，磁感強(qiáng)度為B,板間距離也為L,板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m,電量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度V水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是( )+q+q使粒子的速度V<BqL/4m；使粒子的速度V>5BqL/4m；使粒子的速度V>BqL/m；使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。解析：由左手定則判得粒子在磁場中間向上偏，而作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，很明顯，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大于某值r1時(shí)粒子可以從極板右邊穿出，而半徑小于某值r2時(shí)粒子可從極板的左邊穿出，現(xiàn)在問題歸結(jié)為求粒子能在右邊穿出時(shí)r的最小值r1以及粒子在左邊穿出時(shí)r的最大值r2,由幾何知識(shí)得：粒子擦著板從右邊穿出時(shí)，圓心在。點(diǎn)，有：r1=L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m，AV>5BqL/4m時(shí)粒子能從右邊穿出。粒子擦著上板從左邊穿出時(shí)，圓心在O'點(diǎn)，有r2=L/4,又由r2=mV2/Bq=L/4得V2=BqL/4m.?.V2<BqL/4m時(shí)粒子能從左邊穿出。綜上可得正確答案是A、B。(4)帶電粒子在圓形磁場區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)特點(diǎn)。特點(diǎn)1：入射速度方向指向勻強(qiáng)磁場區(qū)域圓的圓心，則出射速度方向的反向延長線必過該區(qū)域圓的圓心。例1。如圖1，圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，現(xiàn)有一電荷量為q，質(zhì)量為m的正離子從a點(diǎn)沿圓形區(qū)域的直徑入射，設(shè)正離子射出磁場區(qū)域方向與入射方向的夾角為60，求此離子在磁場區(qū)域內(nèi)飛行的時(shí)間。

★解析：設(shè)正離子從磁場區(qū)域的b點(diǎn)射出，射出速度方向的延長線與入射方向的直徑交點(diǎn)為0,如圖，正離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡為一段圓弧，該軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心0’位于初、末速度方向垂線的交點(diǎn)，也在弦ab的垂直平分線上，0’b與區(qū)域圓相切，弦ab既是軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的弦，也是區(qū)域圓的弦，由此可知，00’就是弦ab的垂直平分線，0點(diǎn)就是磁場區(qū)域圓的圓心。又因?yàn)樗倪呅蜲abO’的四個(gè)角之和為360，可推出ZaOb=60，因此，正離子在磁場中1 兀mt=T=—完成了1/6圓周，即6 'qB特點(diǎn)2:入射速度方向（不一定指向區(qū)域圓圓心）與軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的弦的夾角為0（弦切角），則出射速度方向與入射速度方向的偏轉(zhuǎn)角為20，軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角也為20，并且初末速度方向的交點(diǎn)、軌跡圓的圓心、區(qū)域圓的圓心都在弧弦的垂直平分線上。如圖，帶電粒子從a點(diǎn)射入勻強(qiáng)磁場區(qū)域，初速度方向不指向區(qū)域圓圓心，若出射點(diǎn)為b，

軌跡圓的圓心O’在初速度匕方向的垂線和弦ab的垂直平分線的交點(diǎn)上，入射速度方向與該中垂線的交點(diǎn)為d,可以證明：出射速度方向的反向延長線也過d點(diǎn)，0、d、O’都在弦ab的垂直平分線上。特點(diǎn)3：如果同一種帶電粒子，速度方向一定、速度大小不同時(shí)，出射點(diǎn)不同，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)20m應(yīng)的弦不同，弦切角0不同，該軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角20也不同，則運(yùn)七=K動(dòng)時(shí)qB間也不同。例2。如圖4所示，在xOy坐標(biāo)系第一象限內(nèi)有一個(gè)與x軸相切于Q點(diǎn)的圓形有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，一帶電粒子（不計(jì)重力）質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，以初速度％從P點(diǎn)進(jìn)入第一象限，0=30°，經(jīng)過該圓形有界磁場時(shí)，速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，從x軸上的Q點(diǎn)射出。問：在第一象限內(nèi)圓形磁場區(qū)域的半徑多大?分析：根據(jù)上述特點(diǎn)2可知，速度偏轉(zhuǎn)角為60°，那么弦切角就為30°，我們可以先做出弦，并且弦一定過Q點(diǎn)，因此，做出過Q點(diǎn)且平行于y軸的直線，與初速度％方向的交點(diǎn)為A，A點(diǎn)就是入射點(diǎn)，AQ就是弦，又因?yàn)閰^(qū)域圓在Q點(diǎn)與x軸相切，AQ也是區(qū)域圓的直徑，如mv苛"=圖4。軌跡圓心為O’，圓心角為60°，Qmv苛"=所以圓形磁場區(qū)域的半徑為：=技2 2qB也可在圖4中體會(huì)一下，如果區(qū)域圓半徑過大或過小，弦（入射點(diǎn)和。點(diǎn)的連線）也會(huì)發(fā)生變化，可以看出弦切角不再是30°，那么偏轉(zhuǎn)角也就不會(huì)是60°了。19、（2009年浙江卷）25.如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy

平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0<y<2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)。沿y軸負(fù)方向離開，求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由。在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由。A

帶電微粒發(fā)翌置A

帶電微粒發(fā)翌置mv答案(1)qR；方向垂直于紙面向外(2)見解析(3)與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.【解析】本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)。帶電粒子平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場，說明帶電微粒所受重力和電場力平衡。設(shè)電場強(qiáng)度大小為E，由mg=qE，可得 q，方向沿y軸正方向。帶電微粒進(jìn)入磁場后，將做圓周運(yùn)動(dòng)。且r=R如圖(a)如圖(a)所示，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。qvB=由mv2n_mvB— R，得qR方向垂直于紙面向外(2)這束帶電微粒都通過坐標(biāo)原點(diǎn)。解析：［方法一］從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，如圖(b)所示，這束帶電微粒進(jìn)入磁場后的圓心軌跡是如圖(b)的虛線半圓，此圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O。通過作圖可知，這束帶電微粒都是通過坐標(biāo)原點(diǎn)后離開磁場的

［方法二］從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖c示，若P點(diǎn)與O'點(diǎn)的連線與y軸的夾角為8，其圓心。的坐標(biāo)為(-Rsin。，Rcos0),圓周運(yùn)(x+Rsin0)2+(y-Rcos0)2=R2動(dòng)軌跡方程為 。而磁場的邊界是圓心坐標(biāo)為(0，R)的圓周，其方程為X2+(Y-R2)=R2聯(lián)立以上兩式知：帶電微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場邊界的交點(diǎn)為{x=-Rsin0 「x=0y=R(1+cos8)或Iy=0坐標(biāo)為［-Rsin8,R(1+cos0)］的點(diǎn)就是P點(diǎn)，須舍去。由此可見，這束帶電微粒都是通過坐標(biāo)原點(diǎn)后離開磁場的。(3)這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域是x>0帶電微粒在磁場中經(jīng)過一段半徑為r'(r'=2R)的圓弧運(yùn)動(dòng)后，將在y軸的右方(x>0)的區(qū)域離開磁場并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖c所示?？拷麺點(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒在穿出磁場后會(huì)射向x軸正方向的無窮遠(yuǎn)處；靠近N點(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒會(huì)在靠近原點(diǎn)之處穿出磁場。所以，這束帶電微粒與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.5、帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運(yùn)動(dòng)【例題】核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運(yùn)動(dòng)的離子約束在小范圍內(nèi)(否則不可能發(fā)生核反應(yīng))，通常采用磁約束的方法(托卡馬克裝置)如圖所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場的外邊

緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場的磁感強(qiáng)度B=1.0T，若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4xl°7c/kg，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。所有粒子不能穿越磁場的最大速度?！锝馕觯?1)要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切，軌跡如圖18所示。由圖中知T+R1=★解析：(1)要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切，軌跡如圖18所示。由圖中知T+R1=(%—J解得［=°.375mBqV=mV12V=絲1=1.5x107m/s由 '1得1m所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為匕=1.5X107m/S(2)當(dāng)粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時(shí)，則以V1速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界，如圖19所示。r=R2—R1=0.25mBqV?由圖中知2 2 由所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度是6、帶電粒子在"綠葉形”磁場中的運(yùn)動(dòng)【例題】如圖所示，在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m、電量為e的電子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同的速率V0沿不同方向平行xoy平面射入第I象限?，F(xiàn)加一垂直xoy平面向里、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)。求符合條件的磁場的最小面積。(不考慮電子之間的相互作用)cmVR= 0★解析：如圖21所示，電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為 Be。在由O點(diǎn)射入第I象限的所有電子中，沿y軸正方向射出的電子轉(zhuǎn)過明圓周，速度變?yōu)檠豿軸正方向，這條軌跡為磁場區(qū)域的上邊界。下面確定磁場區(qū)域的下邊界。設(shè)某電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心0/與。點(diǎn)的連線與y軸正方向夾角為8,若離開磁場時(shí)電子速度變?yōu)檠豿軸正方向，其射出點(diǎn)（也就是軌跡與磁場邊界的交點(diǎn)）的坐標(biāo)為（x，y）。由圖中幾何關(guān)系可得x=Rsin8，y=R-Rcos0，x=Rsin8，y=R-Rcos0，消去參數(shù)8可知磁場區(qū)域的下邊界滿足的方程為x2+（R-y）2=R2，（x>0，y>0）這是一個(gè)圓的方程，圓心在（0，R）處。磁場區(qū)域?yàn)閳D中兩條圓弧所圍成的面積。磁場的最小面積為；1 1 （兀一2）m2V2S=2（-冗R2-R2）=（ ）——4 2 2e2B223、（2009年海南物理）16.如圖，ABCD是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力，求：（1） 此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小；（2） 此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積。解析：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧AEC是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場的作用力爭=ev0B①應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧AEC的圓心在CB邊或其延長線上。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點(diǎn)即為圓心，圓半徑為“按照牛頓定律〃V2f=m-o-聯(lián)立①②式得mv

—o

ea有 聯(lián)立①②式得mv

—o

ea（2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自C點(diǎn)垂直于BC入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場區(qū)域的一個(gè)邊界。為了決定該磁場區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長線交角為°（不妨設(shè)°一O'）的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡0”如右圖所示。圖中，圓AP的圓心為0,pq垂直于BC邊，由③式知，圓弧時(shí)的半徑仍為a，在D為原點(diǎn)、DC為x軸，「x=asin°④ad為y軸的坐標(biāo)系中，p點(diǎn)的坐標(biāo)（x,>）為Lj=_[a-（乙-acos°）]=—acos°⑤0<°<-這意味著，在范圍2內(nèi)，p點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周AFC它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。兀一2 a22因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場區(qū)域時(shí)分別以兀一2 a22cC/1 1 、S—2(丸a2——a2)—AEC和AFC所圍成的，其面積為 4 27、帶電粒子在有"圓孔”的磁場中運(yùn)動(dòng)【例題】如圖22所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的

電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）XXXXXXXXXXXX如圖所示，帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫d。只要穿過了0，粒子就會(huì)在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b，再回到S點(diǎn)。設(shè)粒子進(jìn)入磁場區(qū)的速度大小為V，根據(jù)動(dòng)能定理，-1…qU=—mV2有：2 設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有：V2 3BqV=m——R，由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過4圓周，所以半徑R必B2qr2U= 定等于筒的外半徑r，即R=r。由以上各式解得： 2m。8、帶電粒子