高考數學 第二章 一元二次函數、方程和不等式知識總結（含解析）

第二章一元二次函數、方程和不等式單元總結知識點一：不等式的主要性質(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(4)乘法法則：；，(5)乘方法則：(6)開方法則：要點詮釋：不等式性質中要注意等價雙向推出和單向推出關系的不同.知識點二：基本不等式兩個重要不等式①，那么（當且僅當時取等號“=”）；②基本不等式：如果是正數，那么（當且僅當時取等號“=”）.算術平均數和幾何平均數算術平均數：稱為的算術平均數；幾何平均數：稱為的幾何平均數；因此基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.基本不等式的應用,且（定值），那么當時，有最小值；,且（定值），那么當時，有最大值.要點詮釋：在用基本不等式求函數的最值時，應具備的三個條件①一正：函數的解析式中，各項均為正數；②二定：函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值.幾個常用變形不等式：①（當且僅當a=b時等號成立）；②（a+b）2≥4ab（當且僅當a=b時等號成立）；③；特別地：；④.知識點三：三個“二次”的關系一元二次不等式或的解集：設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項系數是否為正，若為負，則將二次項系數化為正數：（2）計算判別式，分析不等式的解的情況：①時，求根（注意靈活運用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解（3）寫出解集.要點詮釋：若，可以轉化為的情形解決.類型一：不等式的性質例1．若為實數，則下列結論中正確的是（）A.若，則或B.若，則或C.若或，則D.若或，則【思路點撥】利用不等式的性質，逐項進行判斷.【解析】若，則同號.當時，由得；當時，由得.所以A項正確，B項錯誤.由得，即，所以或同理，由得或顯然C項不正確.同理D項也不正確.【總結升華】解答此類問題應注意一下幾個方面：（1）準確理解不等式的性質；（2）掌握作差法比較大小這種最基本的方法；（3）了解符號的運算規(guī)律；（4）靈活利用特殊數值對結論進行檢驗.例2．已知函數,滿足,,那么的取值范圍是.【思路點撥】將用及表示出來，再利用不等式性質求得正確的范圍.【解析】解法一：方程思想(換元)：由，求得∴又∴，即。解法二：待定系數法設f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)解法三：數形結合(線性規(guī)劃)所確定區(qū)域如圖：設，將邊界點(0,1)(3,7)代入即求出.【總結升華】利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問題要注意：“同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減）”，這種轉化不是等價變形，在一個解題過程中多次使用這種轉化時，就有可能擴大真實的取值范圍，解題時務必小心謹慎，先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性不等關系的運算，求得待求的范圍”，是避免犯錯誤的一條途徑.類型二：不等式的求解例3．已知函數的值域為，若關于的不等式的解集為，則實數的值為_______.【解析】的值域為，，，又的解集為，，，.【總結升華】解決本題的關鍵是（1）準確把握一元二次不等式的解法；（2）掌握一元二次不等式的解集、一元二次方程的根與一元二次函數的零點三者之間的關系，根據需要進行彼此的互化.例4．已知關于x的方程的兩根為，試問是否存在實數m，使得不等式對任意實數a∈[－1,1]及l(fā)∈[－1,1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由．【總結升華】①在含參不等式問題中，二次不等式恒成立的充要條件的理論依據:ax2+bx+c>0對任何xR恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0；ax2+bx+c<0對任何xR恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0。②與不等式恒成立相互依存,相互支撐與相互轉化的最值命題：μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值類型三：均值不等式求最值及應用例5．已知正數滿足，試求、的范圍?！舅悸伏c撥】利用均值不等式化歸為其它不等式的求解或者轉化為函數最值的求解.【解析】解法一：由，則，即解得，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是.又解得，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是解法二：由，知，則，由，則：，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。【總結升華】利用均值不等式求函數的最值，除了抓住均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”外，還要靈活變換函數式，配湊均值不等式，并正確應用均值不等式求解函數最值問題.例6．求函數的最小值.【思路點撥】是二項“和”的形式，但其“積”的形式不為定值.而可與相約，即其積為定積1，因此可以先添、減項6，即，再用均值不等式.【解析】，當且僅當，即時,等號成立.所以的最小值是.【總結升華】為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項是常用的一種變形技巧；為了保證式子的值不變，添項后一定要再減去同一項.例7．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值．【思路點撥】(1)由題意知C(0)＝8，代入的表達式即可求出k的值，求的表達式時需注意定義域；(2)利用均值不等式即可求解．【解析】(1)設隔熱層厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此．而建造費用為．最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為(0≤x≤10)．(2)．當且僅當，即x＝5時取“＝”所以當隔熱層修建5cm厚