因式分解-分組分解法

北京四中撰稿：史衛(wèi)紅編審：谷丹責(zé)編：趙云潔因式分解——分組分解法一、分組分解法分解因式的意義我們把被分解的多項(xiàng)式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和運(yùn)用公式法進(jìn)行分解，然后，綜合起來(lái)，再?gòu)目傮w上按“基本方法”繼續(xù)進(jìn)行分解，直到分解出最后結(jié)果。這種分解因式的方法叫做分組分解法。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：

如果一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組，使分組后各組之間有公因式或可應(yīng)用公式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組的方法分解因式。分組分解法適用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多項(xiàng)式。分組分解法并不是一種獨(dú)立的因式分解的方法。通過對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為可以應(yīng)用基本方法分解的結(jié)構(gòu)形式，使之具有公因式，或者符合公式的特點(diǎn)等，從而達(dá)到可以利用基本方法進(jìn)行分解因式的目的。我們有目的地將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)組成一組，從局部考慮，使每組能夠分解，從而達(dá)到整個(gè)多項(xiàng)式因式分解的目的，至于如何恰當(dāng)?shù)胤纸M，需要具體問題具體分析，但分組時(shí)要有預(yù)見性，要統(tǒng)籌思考，減少盲目性，分組的好壞直接影響到因式分解能否順利進(jìn)行。通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，不斷總結(jié)規(guī)律，便能掌握分組的技巧。三、例題分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y(2)a2-b2+4a-4b

(3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前兩項(xiàng)的公因式2x和后兩項(xiàng)的公因式-3，分別把它們提出來(lái)，剩下的是相同因式（x+y），可以繼續(xù)用提公因式法分解。此題也可以考慮含有y的項(xiàng)分在一組。如下面法（二）解法。解(一)2x2+2xy-3x-3y

=(2x2+2xy)-(3x+3y)

=2x(x+y)-3(x+y)

=(x+y)(2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y

=(2x2-3x)+(2xy-3y)

=x(2x-3)+y(2x-3)

=(2x-3)(x+y)說明：解法1和解法2雖然是不同的分組方式，但卻有著相同的內(nèi)在聯(lián)系，即兩組中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)成比例，分別為1：1和2：（-3）。這也是分組中必須遵循的規(guī)律之一。(2)分析：若將此題按上題中法（二）方法分組將含有a的項(xiàng)分在一組即a2+4a=a(a+4)，含有b的項(xiàng)一組即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)與-b(b+4)再?zèng)]有公因式可提，不可再分解下去?？上葘2-b2一組應(yīng)用平方差公式，再提出因式。解：a2-b2+4a-4b

=(a2-b2)+(4a-4b)

=(a+b)(a-b)+4(a-b)

=(a-b)(a+b+4)(3)若將此題應(yīng)用（2）題方法分組將4x2-9y2一組應(yīng)用平方差公式，或者將4x2-16z2一組應(yīng)用平方差公式后再?zèng)]有公因式可提，分組失敗。觀察題中特點(diǎn)，后三項(xiàng)符合完全平方公式，將此題二、三、四項(xiàng)分組先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。解：4x2-9y2-24yz-16z2

=4x2-(9y2+24yz+16z2)

=(2x)2-(3y+4z)2

=(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)(4)分析：此題按照系數(shù)比為1或者為-1，可以有不同的分組方法。法（一）x3-x2-x+1

=(x3-x2)-(x-1)

=x2(x-1)-(x-1)

=(x-1)(x2-1)

=(x-1)(x+1)(x-1)

=(x+1)(x-1)2法（二）原式=(x3-x)-(x2-1)

=x(x2-1)-(x2-1)

=(x2-1)(x-1)

=(x+1)(x-1)(x-1)

=(x+1)(x-1)2說明：分組時(shí)，不僅要注意各項(xiàng)的系數(shù)，還要注意到各項(xiàng)系數(shù)間的關(guān)系，這樣可以啟示我們對(duì)下一步分解的預(yù)測(cè)，如下一步是提公因式還是應(yīng)用公式等。說明：一般對(duì)于四項(xiàng)式的多項(xiàng)式的分解，若分組后可直接提取公因式，一般將四項(xiàng)式兩項(xiàng)兩項(xiàng)分成兩組，并在各組提公因式后，它們的另一個(gè)因式恰好相同，在組與組之間仍有公因式可提，如例1（1）題的兩種解法。兩項(xiàng)兩項(xiàng)分組后也可各自用平方差公式，再提取組之間的公因式。如例1的（2）題、（4）題。若分組后可應(yīng)用公式還可將四項(xiàng)式中進(jìn)行三項(xiàng)和一項(xiàng)分組先用完全平方公式再應(yīng)用平方差公式。如例1中的（3）題。對(duì)于四項(xiàng)式的兩兩分組，盡管方法不唯一，但是并不是任何兩項(xiàng)結(jié)組都可達(dá)到目的，分組要注意合理性，四項(xiàng)式中的另一種三項(xiàng)，一項(xiàng)分組，這三項(xiàng)的一組中應(yīng)使其成為完全平方公式，而剩下的一項(xiàng)必須能寫成代數(shù)式的平方，且又與完全平方公