2023屆湖北省黃石市高三下學(xué)期高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題

2023屆湖北省黃石市高三下學(xué)期高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別求出集合，集合，由此能求出．【詳解】解：集合，集合，．故選：D．2．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過，，利用復(fù)數(shù)的除法得到，再求其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先對平方可求，然后利用夾角公式求解.【詳解】因為，所以，即；因為，，所以，又所以.故選：B.4．已知將函數(shù)向右平移個單位長度后，所得圖象關(guān)于軸對稱，且，則當(dāng)取最小值時，函數(shù)的解析式為A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，可得＝kπ，k∈Z，，求得ω的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．【詳解】將函數(shù)向右平移個單位長度后，可得y＝cos（ωx）的圖象，根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，可得＝kπ，k∈Z．再根據(jù)，可得cos，∴，∴kπ，∴ω＝12k+3，則當(dāng)ω＝3取最小值時，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝cos（3x），故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．5．中國古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中，，，且數(shù)列是第二項為為坐標(biāo)原點，以，分別為，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的斜率為（

） 【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列是第二項為的等差數(shù)列可得，令，則根據(jù)題干可得：，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知：，令，，因為，所以，因為數(shù)列是第二項為的等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，因為，所以，同理則直線的斜率，故選：.6．正方體的棱長為2，正方形的心分別是，，且分別是棱上的動點（含端點），其中關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若四點都在球上，則球表面積的最大值為B．若四點都在球上，則球體積的最小值為C．四面體的所有棱長都相等D．直線與所成角的余弦值的取值范圍是【答案】C【分析】根據(jù)題意，球心在線段上，且是線段的中點，故以線段的中點為坐標(biāo)原點，如圖建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】解：因為分別是棱上的動點（含端點），其中關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，，若四點都在球上，則球心在線段上，且是線段的中點，故以線段的中點為坐標(biāo)原點，如圖建立直角坐標(biāo)系，其中軸，軸分別與平面，平面垂直，不妨設(shè)，，，球的半徑，球表面積當(dāng)時，取最大值，選項A正確；當(dāng)時，球的半徑，最小，最小值為，球體積的最小值為，選項B正確；，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，選項C錯誤；設(shè)直線與所成角，選項D正確.故選：C7．直線l與雙曲線的左，右兩支分別交于點A，B，與雙曲線的兩條漸近線分別交于點C，D（A，C，D，B從左到右依次排列），若，且，，成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)直線方程及四個點，聯(lián)立后分別求出兩根和和兩根積，再應(yīng)用，，成等差數(shù)列，列式求解即可【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，可得，則①聯(lián)立，可得，則②因為，所以，所以③因為，所以，所以，即得④因為，所以中點為的中點，所以,因為成等差數(shù)列，所以，又因為A，C，D，B從左到右依次排列，所以,所以，代入①②③有，因為且，又因為，則所以，所以，即綜上，故選：D.8．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先構(gòu)造函數(shù)，和并分析單調(diào)性得出，時，，并取特殊值得出，根據(jù)構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性分析即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，在時，，在時，，所以，即，所以對任意，有，所以.再取，可得，兩邊取倒數(shù)，即，所以，又當(dāng)時，設(shè)，，則，，即和在均遞增，所以，，即時，，所以，由在單調(diào)遞增，可得，即.故選：B【點睛】方法點睛:(1)對于實數(shù)比較大小我們通常觀察式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出對應(yīng)的函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性分析.(2)作差法是比較兩個數(shù)值大小最常用的方法，看其值是正還是負，從而確定所比較的大小.(3)當(dāng)直接無法比較的時候，往往需要取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)（通常以“0”，或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較，從而間接得出兩數(shù)的大小.二、多選題9．如圖，在正方體中，E?F?G分別為的中點，則（

）A． B．與所成角為C． D．平面【答案】ABD【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)向量運算結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】以點D為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x?y?z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則.對于A選項，，所以，故A選項正確；對于B選項，，，所以，向量與向量的夾角是，與所成角為，故B選項正確；對于C選項，，則，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，可得，又，∵，∴，∵平面，∴平面，故D選項正確.故選：ABD.，實際比賽局數(shù)的期望值記為，則下列說法中正確的是（

）A．三局就結(jié)束比賽的概率為 B．的常數(shù)項為3C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．【答案】ABD【分析】設(shè)實際比賽局數(shù)為，先計算出可能取值的概率，即可判斷A選項；進而求出期望值，即可判斷BCD選項.【詳解】設(shè)實際比賽局數(shù)為，則的可能取值為，所以，，，因此三局就結(jié)束比賽的概率為，則A正確；故，由知常數(shù)項為3，故B正確；由，故D正確；由，，所以，令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則C不正確.故選：ABD.11．設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，若，且為偶函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．的圖象關(guān)于對稱C． D．函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8【答案】AD【分析】對于A項，根據(jù)為偶函數(shù)求出的表達式，然后給的表達式兩邊求導(dǎo)，然后取特值求解；對于D項，根據(jù)找到與的關(guān)系，根據(jù)A項的表達式得到的周期；對于C項，根據(jù)的表達式，令特值求解即可.對于B項，根據(jù)，且為偶函數(shù)求出一個周期內(nèi)僅有的兩條對稱軸，得結(jié)果.【詳解】對于A項，為偶函數(shù)令，則，故A正確；對于D項，用代替原來的得：①又是偶函數(shù)用代替原來的得：②由①②結(jié)合得：③又用代替原來的得：④由③④聯(lián)立得：⑤用代替原來的得：⑥⑥⑤得：,所以函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8，用代替原來的得：⑦用代替原來的得：⑧用代替原來的得：⑨結(jié)合⑦⑧⑨得，用代替原來的得：，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8，故D正確；對于C項，為滿足題意的一組解，但，故C錯誤.對于B項，因為為滿足題意的一組解，但不關(guān)于對稱，所以B錯誤.故選：AD12．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點、，當(dāng)變化時，記點構(gòu)成的曲線為，點構(gòu)成的曲線為，則（

）A．曲線恒在軸上方B．曲線與有唯一公共點C．對于任意的實數(shù)，直線與曲線有且僅有一個公共點D．存在實數(shù)，使得曲線、分布在直線兩側(cè)【答案】AD【分析】求出曲線、對于的方程，數(shù)形結(jié)合可判斷ABC選項；求出函數(shù)在處的切線方程，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則，令可得或，因為函數(shù)存在兩個零點、，則，即.當(dāng)時，即當(dāng)時，，則，當(dāng)時，即當(dāng)時，，則，則曲線為函數(shù)的圖象以及射線，且當(dāng)時，，所以，曲線在軸上方，A對；對于B選項，當(dāng)時，即當(dāng)時，，則，當(dāng)時，即當(dāng)時，，則所以，曲線為函數(shù)的圖象以及射線，由圖可知，曲線、無公共點，B錯；對于C選項，對于函數(shù)，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，直線與曲線沒有公共點，C錯；對于D選項，對于函數(shù)，，則，又因為，所以，曲線在處的切線方程為，即.構(gòu)造函數(shù)，則，，令，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以，曲線、分布在直線的兩側(cè)，D對.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖象的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵在于求出兩曲線的方程，作出圖形，利用圖形以及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識求解.三、填空題13．函數(shù)，，，則______________．【答案】【分析】利用輔助角公式化簡可得，結(jié)合的范圍可得的范圍，進而確定的值，由，利用兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，，，，，.故答案為：.14．三等分角是古希臘三大幾何難題之一，公元3世紀末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯利用雙曲線解決了三等分角問題，如圖，已知圓心角ACB是待三等分的角(0<∠ACB<π)，具體操作方法如下∶在弦AB上取一點D，滿足AD=2DB，以AD為實軸，為虛軸作雙曲線，交圓弧AB于點M，則∠ACM=2∠MCB，即CM為∠ACB的三等分線，已知雙曲線E的方程為，點A，D分別為雙曲線E的左，右頂點，點B為其右焦點，點C為雙曲線E的右準(zhǔn)線上一點，且不在x軸上，線段CB交雙曲線E于點P，若扇形CMB的面積為，則的值為___________.【答案】【分析】由可得，右準(zhǔn)線方程為，然后設(shè)，，然后可得，，然后可求出，然后聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程求出點的縱坐標(biāo)即可.【詳解】由可得，右準(zhǔn)線方程為設(shè)，，則圓C∶，由題意可得，又有，即可得，則BC：，聯(lián)立，可得所以故答案為：15．設(shè)，是函數(shù)（）的兩個極值點，若，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)極值點定義可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點；化簡得到，利用換元法令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，將參數(shù)分離出來，構(gòu)造函數(shù)，即可得出.【詳解】，是的兩個極值點，是的兩根，又當(dāng)時，方程不成立，即，兩式作比得到:==，所以，令，所以令，則令，則所以在上單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，所以令，則恒成立所以在上單調(diào)遞減，即故答案為：.16．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，且與圓在第二象限的交點為，，則橢圓離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及直角所對的圓周角等于，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)即可求出離心率的取值范圍．【詳解】由以線段為直徑的圓與橢圓在第二象限相交于點，所以半徑，即，且．所以，由于，令，則，則．由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，故，即，滿足，符合題意．所以橢圓離心率的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及直徑所對的圓周角等于，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可.四、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)，BD=3，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，得到求解.（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到，再利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）解：由正弦定理可得，因為，所以，即，整理得：，因為，所以，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即.整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因為，所以，所以ABC面積的最大值為.18．如圖，四棱錐中，底面為矩形，.二面角的大小是，平面與平面的交線上存在一點滿足二面角大小也是.(1)求四面體的體積；(2)若為直線上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)定理得到點到平面的距離等于點到平面的距離，則，然后代入體積計算公式即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式求出，換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.【詳解】（1）如圖，因為，平面，平面，所以平面，因為過的平面平面，所以，平面，平面，所以平面，又因為，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，則，所以.（2）過作，，，又面DEC，面，又面，面面，，面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的一個法向量為，則，，令，解得，得，又，，令，則，當(dāng)，即時，19．函數(shù)的圖象為自原點出發(fā)的一條折線，當(dāng)時，該函數(shù)圖象是斜率為由定義.(1)用表示；(2)若，記，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由條件結(jié)合兩點斜率公式列方程求；（2）由兩點斜率公式可得，利用累加法求，再由等差數(shù)列求和公式和錯位相減法求，由此證明結(jié)論.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)過點，又當(dāng)時，該函數(shù)圖象是斜率為的一條線段，所以，所以，，所以；（2）因為函數(shù)過點，又當(dāng)時，該函數(shù)圖象是斜率為的一條線段，所以又，所以，即，所以，，，，所以當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，，又時，也滿足關(guān)系式，所以，，所以，所以，所以，設(shè)，則，所以，所以，又所以.20．在一次數(shù)學(xué)隨堂小測驗中，有單項選擇題和多項選擇題兩種．單項選擇題，每道題四個選項中僅有一個正確，選擇正確得分，選擇錯誤得分；多項選擇題，每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得分，部分選對得分，有選擇錯誤的得分．(1)小明同學(xué)在這次測驗中，如果不知道單項選擇題的答案就隨機猜測．已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機猜測的概率都是．問小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項選擇題正確答案的概率．(2)小明同學(xué)在做多選題時，選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知某個多項選擇題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇，記小明做這道多項選擇題所得的分數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【分析】（1）根據(jù)全概率公式可求得該單項選擇題回答正確的概率，由條件概率公式可求得結(jié)果；（2）首先確定所有可能的取值，并根據(jù)獨立事件概率乘法公式求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式可求得期望值.【詳解】（1）記事件為“該單項選擇題回答正確”，事件為“小明直到該題的正確答案”，，，即小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，他知道這道單項選擇題正確答案的概率為.（2）由題意知：所有可能的取值為，設(shè)事件表示小明選擇了個選項，事件表示選擇的選項是正確的，；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望.21．已知橢圓的離心率為，且過點.點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)如圖過拋物線的焦點F作斜率為的直線交拋物線于A，B兩點（點A在x軸下方），直線交橢圓于另一點Q.記，的面積分別記為，當(dāng)恰好平分時，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由橢圓離心率和經(jīng)過點可得答案；（2）設(shè)，，，設(shè)直線的斜率為，且A，F(xiàn)，B共線得，從而，，，可求出直線的斜率為.當(dāng)平分時，利用，求出，從而的值，由此直線，由于，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，再利用，可得答案.【詳解】（1）由于橢圓的離心率為，則，所以，故設(shè)，由于橢圓經(jīng)過點，從而，故橢圓的方程為.由于點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，故，從而拋