2023學(xué)年完整公開課版幾何概型

11.3

幾何概型-2-知識梳理考點(diǎn)自診1.幾何概型(1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_____(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.

(2)特點(diǎn)①無限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè);②等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.(3)公式:P(A)=

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長度

-3-知識梳理考點(diǎn)自診2.隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn),通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法的基本步驟是:①用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義;②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N;③計(jì)算頻率

作為所求概率的近似值.-4-知識梳理考點(diǎn)自診幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型,其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān).(2)與面積有關(guān)的幾何概型,其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān),若已知圖形不明確,可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決問題.(3)與體積有關(guān)的幾何概型,可借助空間幾何體的體積公式解答問題.-5-知識梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)在幾何概型中,每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會相等.(

)(2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(

)(3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).(

)(4)相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值是相等的.(

)(5)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.(

)√√××√-6-知識梳理考點(diǎn)自診2.(2018安徽示范高中聯(lián)考,6)2018年1月31日晚上月全食的過程分為初虧、食既、食甚、生光、復(fù)圓五個(gè)階段,月食的初虧發(fā)生在19時(shí)48分,20時(shí)51分食既,食甚時(shí)刻為21時(shí)01分,22時(shí)08分生光,直至23時(shí)12分復(fù)圓.全食伴隨有藍(lán)月亮和紅月亮,全食階段的“紅月亮”將在食甚時(shí)刻開始,生光時(shí)刻結(jié)束,一市民準(zhǔn)備在19:55至21:56之間的某個(gè)時(shí)刻欣賞月全食,則他等待“紅月亮”的時(shí)間不超過30分鐘的概率是(

)A-7-知識梳理考點(diǎn)自診3.(2018山西運(yùn)城模擬,3)在圓的一條直徑上,任取一點(diǎn)作與該直徑垂直的弦,則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為(

)C-8-知識梳理考點(diǎn)自診4.(2018福建廈門二模,5)如圖所示的風(fēng)車圖案中,黑色部分和白色部分分別由全等的等腰直角三角形構(gòu)成.在圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(

)B解析:設(shè)小黑色三角形面積為S,則整個(gè)圖案面積為12S,黑色部分總面積為4S,由幾何概型概率公式可得,該點(diǎn)取自黑色部分的概率是

,故選B.-9-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1(1)(2018陜西咸陽模擬,8)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次,某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他候車時(shí)間不超過2分鐘的概率是(

)CD-10-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考如何確定幾何概型的概率是用長度或角度的比來求?解題心得解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍.(1)當(dāng)考察對象為點(diǎn),點(diǎn)的活動范圍在線段上時(shí)用線段長度比計(jì)算;(2)當(dāng)考察對象為線時(shí),一般用角度比計(jì)算.-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2018廣西南寧模擬,7)在區(qū)間[-2,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,使x2-1≤0的概率為

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C-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4與面積、體積有關(guān)的幾何概型例2(1)(2018甘肅蘭州模擬,6)2002年國際數(shù)學(xué)大會在北京召開,會標(biāo)如圖,其設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是公元3世紀(jì)我國數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖.會標(biāo)是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形.若三角形中較小的銳角為30°,則向大正方形內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為(

)(2)(2018河南一模,14)一只蜜蜂在一個(gè)正方體箱子里面自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持在該正方體內(nèi)切球范圍內(nèi)飛行,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為

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D-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的概率的基本思路是什么?-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4B-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:滿足條件的正三角形ABC如右圖所示,-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4幾何概型與非幾何知識的綜合AA-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考如何把看似與幾何概型無關(guān)的知識轉(zhuǎn)化成與幾何概型有關(guān)的問題?解題心得處理幾何概型與非幾何知識的綜合問題的關(guān)鍵是,通過轉(zhuǎn)化,將某一事件所包含的基本事件用“長度”“角度”“面積”“體積”等表示出來.如把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4B解析:如圖,-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4幾何概型的應(yīng)用(模擬方法)例4(2018全國下學(xué)期調(diào)研,10)關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法,如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值:先請120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)x,y都小于1的正實(shí)數(shù)對(x,y),再統(tǒng)計(jì)其中x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)的個(gè)數(shù)m,最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)m估計(jì)π的值.如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34,那么可以估計(jì)π的值為(

)B-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考依據(jù)題意如何用隨機(jī)模擬的方法求圓周率π的近似值?解題心得將π看作未知數(shù)表示出四分之一的圓面積,根據(jù)幾何概型的概率公式,四分之一的圓面積與矩形面積之比等于m與n之比,從而用m,n表示出π的近似值.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練4(2018安徽合肥三模,12)右圖是一個(gè)正六邊形及其內(nèi)切圓,現(xiàn)采取隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率的值:隨機(jī)撒一把豆子,若落在正六邊形內(nèi)的豆子個(gè)數(shù)為N個(gè),落在圓內(nèi)的豆子個(gè)數(shù)為M個(gè),則估計(jì)圓周率π的值為(

)D-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)41.兩種常見幾何概型的解決方法:(1)線型幾何概型:當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí),一般是把這個(gè)變量看成一條線段或角,即可借助于線段(或角度)的度量比來求解.(2)面型幾何概型:當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí),一般是把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決.2