同濟第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第06章-定積分的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室第六章定積分的應(yīng)用教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達(dá)和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點：計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點：截面面積為已知的立體體積。2、引力。§61定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積設(shè)yf(x)0(x[ab])如果說積分是以[ab]為底的曲邊梯形的面積則積分上限函數(shù)就是以[ax]為底的曲邊梯形的面積而微分dA(x)f(x)dx表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值A(chǔ)f(x)dxf(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素以[ab]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式以[ab]為積分區(qū)間的定積分一般情況下為求某一量U先將此量分布在某一區(qū)間[ab]上分布在[ax]上的量用函數(shù)U(x)表示再求這一量的元素dU(x)設(shè)dU(x)u(x)dx然后以u(x)dx為被積表達(dá)式以[ab]為積分區(qū)間求定積分即得用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)§62定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1．直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成則面積元素為[f上(x)f下(x)]dx于是平面圖形的面積為類似地由左右兩條曲線x左(y)與x右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成設(shè)平面圖形的面積為例1計算拋物線y2x、yx2所圍成的圖形的面積解(1)畫圖(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[01](3)確定上下曲線(4)計算積分例2計算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積解(1)畫圖(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[24](3)確定左右曲線(4)計算積分例3求橢圓所圍成的圖形的面積解設(shè)整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為[0a]因為面積元素為ydx所以橢圓的參數(shù)方程為:xacostybsint于是分別為及因而截面積為于是所求的立體體積為例5求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積解:取底圓所在的平面為xOy平面圓心為原點并使x軸與正劈錐的頂平行底圓的方程為x2y2R2過x軸上的點x(R<x<R)作垂直于x軸的平面截正劈錐體得等腰三角形這截面的面積為于是所求正劈錐體的體積為三、平面曲線的弧長設(shè)AB是曲線弧上的兩個端點在弧AB上任取分點AM0M1M2Mi1MiMn1MnB并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線當(dāng)分點的數(shù)目無限增加且每個小段Mi1Mi都縮向一點時如果此折線的長的極限存在則稱此極限為曲線弧AB的弧長并稱此曲線弧AB是可求長的定理光滑曲線弧是可求長的1．直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程yf(x)(axb)給出其中f(x)在區(qū)間[ab]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度取橫坐標(biāo)x為積分變量它的變化區(qū)間為[ab]曲線yf(x)上相應(yīng)于[ab]上任一小區(qū)間[xxdx]的一段弧的長度可以用該曲線在點(xf(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替而切線上這相應(yīng)的小段的長度為從而得弧長元素(即弧微分)以為被積表達(dá)式在閉區(qū)間[ab]上作定積分便得所求的弧長為在曲率一節(jié)中我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為這也就是弧長元素因此例1計算曲線上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度解從而弧長元素因此所求弧長為例2計算懸鏈線上介于xb與xb之間一段弧的長度解從而弧長元素為因此所求弧長為2．參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出其中(t)、(t)在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)因為dx(t)dt所以弧長元素為所求弧長為例3計算擺線xa(sin)ya(1cos)的一拱(02)的長度解弧長元素為所求弧長為8a3．極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程()()給出其中r()在[]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得x()cosy()sin()于是得弧長元素為從而所求弧長為例14求阿基米德螺線a(a>0)相應(yīng)于從0到2一段的弧長解弧長元素為于是所求弧長為§63功水壓力和引力一、變力沿直線所作的功例1把一個帶q電量的點電荷放在r軸上坐標(biāo)原點O處它產(chǎn)生一個電場這個電場對周圍的電荷有作用力由物理學(xué)知道如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方那么電場對它的作用力的大小為(k是常數(shù))當(dāng)這個單位正電荷在電場中從ra處沿r軸移動到rb(a<b)處時計算電場力F對它所作的功例1￠電量為+q的點電荷位于r軸的坐標(biāo)原點O處它所產(chǎn)生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b(a<b)處求電場力對單位正電荷所作的功提示:由物理學(xué)知道在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為(k是常數(shù))解:在r軸上當(dāng)單位正電荷從r移動到r+dr時電場力對它所作的功近似為即功元素為于是所求的功為例2在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體在等溫條件下由于氣體的膨脹把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處計算在移動過程中氣體壓力所作的功解取坐標(biāo)系如圖活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示由物理學(xué)知道一定量的氣體在等溫條件下壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k即pVk或解:在點x處因為VxS所以作在活塞上的力為當(dāng)活塞從x移動到xdx時變力所作的功近似為即功元素為于是所求的功為例3一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3m桶內(nèi)盛滿了水試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解作x軸如圖取深度x為積分變量它的變化區(qū)間為[05]相應(yīng)于[05]上任小區(qū)間[xxdx]的一薄層水的高度為dx水的比重為98kN/m3因此如x的單位為m這薄層水的重力為98×32dx這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW882×x×dx此即功元素于是所求的功為(kj)二、水壓力從物理學(xué)知道在水深為h處的壓強為ph這里是水的比重如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處那么平板一側(cè)所受的水壓力為Pp×A如果這個平板鉛直放置在水中那么由于水深不同的點處壓強p不相等所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算例4一個橫放著的圓柱形水桶桶內(nèi)盛有半桶水設(shè)桶的底半徑為R水的比重為計算桶的一個端面上所受的壓力解桶的一個端面是圓片與水接觸的是下半圓取坐標(biāo)系如圖在水深x處于圓片上取一窄條其寬為dx得壓力元素為所求壓力為三、引力從物理學(xué)知道質(zhì)量分別為m1、m2相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為其中G為引力系數(shù)引力的方向沿著兩質(zhì)點連線方向如果要計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點的引力那么由于細(xì)棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的且各點對該質(zhì)點的引力的方向也是變化的就不能用上述公式來計算例5設(shè)有一長度為l、線密度為的均勻細(xì)直棒在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M試計算該棒對質(zhì)點M的引力