微積分上冊(cè)課件第五章d51定改

第五章積分學(xué)不定積分定積分定積分第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的概念及性質(zhì)

第五章一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束矩形面積梯形面積解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束n

個(gè)小段過的路程為3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、定積分定義(P225)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即兩個(gè)任意性：插入分點(diǎn)的任意；的選取任意。同一個(gè)極限值。定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分解:1.將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.注注目錄上頁下頁返回結(jié)束3.4.[注]

利用得兩端分別相加,得即例2.

用定積分表示下列極限:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、定積分的性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束6.

若在[a,b]

上則推論1.

若在[a,b]上則推論2.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7.

設(shè)則例4.

試證:例3.

估計(jì)積分的值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8.積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使曲邊梯形面積矩形面積說明:

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

積分中值定理對(duì)因例5.設(shè)，在(0,1)可導(dǎo)，且求證：在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式*近似計(jì)算思考與練習(xí)1.

用定積分表示下述極限:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:如何用定積分表示下述極限2.P235題53.P236題13(2),(4)題13(4)解:設(shè)則即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)

P2352(2),