高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)附錄

高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)附錄1第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、矩陣代數(shù)2、微積分2第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、矩陣代數(shù)1、特征值和特征向量令A(yù)是n×n方陣，v是非零的n維向量，a是純量（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），使得Av=av，則稱(chēng)a是A的特征值，v是A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。上式可寫(xiě)成：(A-aI)v=0,如果想要v不為零，則（A-aI)的行列式必為零，即det(A-aI)=0。該式被稱(chēng)為特征方程。特征方程的解就是A的特征值，每一個(gè)特征值都確定一個(gè)特征向量。3第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、矩陣的對(duì)角化將矩陣A的特征向量組成一個(gè)矩陣V（特征向量矩陣），將A的特征值組成一個(gè)對(duì)角矩陣D，則：V-1AV=D3、結(jié)論第一，如果所有的特征值都不相同，那么特征向量矩陣是非奇異的，即det(V)≠0。第二，特征值對(duì)角矩陣的行列式與跡（主對(duì)角線上各元素之和）分別等于原始矩陣的行列式與跡。4第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四概念檢驗(yàn)已知矩陣計(jì)算該矩陣的特征值、特征向量、對(duì)角矩陣、特征向量矩陣及其逆矩陣。5第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四構(gòu)造：特征多項(xiàng)式：特征值：特征值對(duì)角矩陣：6第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量將其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化為1同理可計(jì)算出v2特征向量矩陣7第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特征向量矩陣的逆矩陣特征向量矩陣的余子式矩陣伴隨矩陣等于余子式矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣8第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、微積分中的一些有用結(jié)論1、隱函數(shù)法則當(dāng)f(x1,x2)=0時(shí)，隱含著x2是x1的一個(gè)函數(shù)，隱函數(shù)定理用來(lái)計(jì)算x2對(duì)x1的導(dǎo)數(shù)：快速問(wèn)答：下式中x2對(duì)x1的導(dǎo)數(shù)等于多少？9第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、泰勒定理令f（x）是一元函數(shù)。泰勒定理認(rèn)為圍繞點(diǎn)x*的函數(shù)的近似式為：f(x1,x2)圍繞(x1*,x2*)的線性近似為：泰勒定理可用于將非線性函數(shù)進(jìn)行線性近似。10第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、羅必塔法則：用于計(jì)算0/0和∞/∞不定型。分部積分4、微分11第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四概念檢驗(yàn)：計(jì)算積分解答12第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5、微積分的基本原理對(duì)原函數(shù)F(t)微分得到導(dǎo)數(shù)f(t)。不定積分定積分積分是微分的逆過(guò)程。13第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6、積分的微分法則不定積分對(duì)積分變量t的導(dǎo)數(shù)就是積分函數(shù)自身。對(duì)定積分微分令F(a,b,c)為描述f(c,t)的定積分的函數(shù)，其中a和b分別是積分的下限和上限，c是一個(gè)參數(shù)。對(duì)不定積分的微分14第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)定積分微分的萊布尼茲法則15第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微分方程微分方程是研究動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本工具。通過(guò)計(jì)算微分方程來(lái)分析變量的具體時(shí)間路徑，以及能否收斂于均衡。16第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、導(dǎo)論變量為導(dǎo)數(shù)的方程稱(chēng)為微分方程。如果只有一個(gè)自變量，稱(chēng)為常微分方程（ODE）。常微分方程的階是方程中最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)使用的ODE都是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。例：若x(t)是常數(shù)，方程被稱(chēng)為自控的（一個(gè)方程僅通過(guò)變量y而依賴(lài)于時(shí)間t,即t不獨(dú)立出現(xiàn)）。若x(t)＝0，方程被稱(chēng)為齊次的。17第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微分方程的解法求解微分方程的目的在于找到變量的變化特征。第一種解法：圖解法。只能用于自控方程。第二種解法：解析法?？梢哉业骄_的解，只能用于線性函數(shù)。第三種解法：數(shù)值分析。使用現(xiàn)存軟件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。18第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、一階常微分方程的解法1、圖解法。例1：一階線性自控常微分方程：其中a和x是常數(shù)且大于0。以y為橫軸，以為縱軸。由于是y對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，因此，為正時(shí)，意味著y隨著時(shí)間的變化而增加；為負(fù)則減少。19第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四圖形為直線。在縱軸的截距為-x，在橫軸的截距為-x/a。在y*點(diǎn)，＝0，即y不會(huì)隨時(shí)間而變化，y*稱(chēng)為y的穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)y>y*,<0,y隨時(shí)間而減少。反之則增加。練習(xí)：當(dāng)a<0的動(dòng)態(tài)。yy*當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí)方程是穩(wěn)定的：無(wú)論初始值y(0)在何處，y(t)都將回到y(tǒng)*。穩(wěn)態(tài)值20第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2：非線性函數(shù)的動(dòng)態(tài)。微分方程：其中s、α和δ都是正常數(shù)，且α<1。yy*0當(dāng)

時(shí)，y=0；因此，方程有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)。穩(wěn)態(tài)0是不穩(wěn)定的，穩(wěn)態(tài)y*是穩(wěn)定的。21第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微分方程穩(wěn)定性總結(jié)對(duì)于微分方程：當(dāng)時(shí)，可以找出穩(wěn)態(tài)值y*。若，即函數(shù)在穩(wěn)態(tài)處的斜率為正，則y是局部不穩(wěn)定的。若，即函數(shù)在穩(wěn)態(tài)處的斜率為負(fù)，則y是局部穩(wěn)定的。22第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、解析解常系數(shù)一階線性微分方程：求解步驟：第一：把所有涉及y及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)放在方程的一邊，把其余項(xiàng)放在方程的另一邊；第二：兩邊同乘以eat并積分；第三：計(jì)算出y(t)。23第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四練習(xí)：求解微分方程例1：解答：移項(xiàng)、在兩邊同乘以e-t并積分：可以解出通解：y(t)=-1+bet

。要想得到特解，需要知道邊界條件。例2：已知人口增長(zhǎng)率為n，計(jì)算人口數(shù)量的動(dòng)態(tài)變化。解答：L(t)=L(0)ent24第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、線性常微分方程系統(tǒng)25第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四線性常微分方程系統(tǒng)的求解n個(gè)微分方程組成的系統(tǒng)：其中，、y(t)和x(t)是n維列向量，A是常系數(shù)的n×n方陣。微分方程系統(tǒng)解法：第一種：相位圖。簡(jiǎn)單地提供了定性解，但只適用于2×2系統(tǒng)以及有穩(wěn)態(tài)地自控方程；第二種：解析解。第三種：數(shù)值法。用時(shí)間消去法。26第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、相位圖（1）對(duì)角系統(tǒng)：以y1為橫軸，以y2為縱軸，平面中的每一點(diǎn)都代表了系統(tǒng)（y1,y2）在任一給定時(shí)刻的位置。相位圖的目標(biāo)：把由兩個(gè)微分方程所隱含的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換為一個(gè)描述了經(jīng)濟(jì)隨時(shí)間的定性行為的箭頭系統(tǒng)。27第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四情形1：a11>0且a22>0：系統(tǒng)不穩(wěn)定。情形2：a11<0且a22<0：系統(tǒng)穩(wěn)定。情形3：a11<0且a22>0：鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。y1y2鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定的相位圖穩(wěn)定臂不穩(wěn)定臂原點(diǎn)是穩(wěn)態(tài)。鞍點(diǎn)路徑既不是穩(wěn)定又不是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)只有從橫軸開(kāi)始才會(huì)回到穩(wěn)態(tài)。結(jié)論：對(duì)角系統(tǒng)的穩(wěn)定性依賴(lài)于系數(shù)的符號(hào)。若兩者都為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若兩者都為負(fù)，系統(tǒng)穩(wěn)定；若兩者異號(hào)，系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。穩(wěn)態(tài)28第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）非對(duì)角系統(tǒng)初始條件為y1(0)=1和終端條件的軌跡是直線y2=0.06y1+1.4在直線的下方，y2<0.06y1+1.4，，即在該區(qū)域y1遞增；同理，在直線的上方區(qū)域y1遞減。的軌跡是直線y1=10在直線的左邊，，y2遞減；右邊遞增。29第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四具有鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定性的非對(duì)角系統(tǒng)的相位圖y1y210穩(wěn)定臂不穩(wěn)定臂穩(wěn)態(tài)30第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四非對(duì)角系統(tǒng)穩(wěn)定性：結(jié)論1、系數(shù)矩陣的兩個(gè)特征值是正實(shí)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、兩個(gè)特征值是負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。3、兩個(gè)特征值是實(shí)數(shù)但異號(hào)，系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。4、兩個(gè)特征值是有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)振蕩收斂。5、兩個(gè)特征值是有正實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)振蕩且不收斂。6、兩個(gè)特征值是有零實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)軌跡是環(huán)繞穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的橢圓。7、兩個(gè)特征值相等，解為y(t)=(b1+b2t)eat31第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）非線性系統(tǒng)

解答：的軌跡為：c=k0.3;軌跡為k=10。將k和c的動(dòng)態(tài)結(jié)合到一起，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是兩條軌跡的交點(diǎn)。系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定的。32第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四kc穩(wěn)定臂不穩(wěn)定臂具有鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)的相位圖33第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、解析解（1）線性齊次系統(tǒng)y(t)是一個(gè)n×1列向量，A是n×n常系數(shù)矩陣。解法：假設(shè)z(t)=V-1y(t)，則其中，V是特征向量矩陣，D是特征值的對(duì)角矩陣。先解出z(t)，然后可解出y(t)。34第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）線性非齊次系統(tǒng)解法與其次系統(tǒng)相同。練習(xí)：求解以下線性系統(tǒng)的解。35第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解題思路在z前乘以V可以得到原變量的解：時(shí)間ty1(t)110y1(t)的解36第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四靜態(tài)最優(yōu)化37第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、無(wú)約束極大值一元函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］中極大值條件：在極大值處，一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)小于零。多元函數(shù)極大值條件：必要條件是在該點(diǎn)處所有偏導(dǎo)數(shù)等于零，充分條件是函數(shù)嚴(yán)格凹（海賽矩陣是負(fù)定的）。38第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、古典非線性規(guī)劃1、等式約束：優(yōu)化問(wèn)題max［u(x1,…,xn)］

s.t.g(x1,…,xn)=a構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：L（x1,…,xn

，μ）=u(x1,…,xn)+μ［a-g(x1,…xn)］將拉格朗日函數(shù)對(duì)每個(gè)變量求偏導(dǎo)等于零得：Du(x)=μDg(x)即約束極大值的必要條件是在極大值處目標(biāo)函數(shù)的梯度與約束函數(shù)的梯度成比例。比例因子就是拉格朗日乘數(shù)。39第39頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、不等式約束：庫(kù)恩－塔克條件優(yōu)化問(wèn)題：max［u(x1,…,xn)

］

s.t.g1(x1,…,xn)≤a1-------

gm(x1,…,xn)≤am庫(kù)恩－塔克條件：Du(x)=∑μiDgi(x)gi(x)≤ai，μi≥0μi［a-gi(x)］=0該條件被成為互補(bǔ)松弛性條件

40第40頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方法1