連續(xù)小波變換

連續(xù)小波變換第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四小波及連續(xù)小波變換設(shè)函數(shù)

，并且

，即，則稱

為一個(gè)基本小波或母小波。

(連續(xù))小波函數(shù)a和b的意義性質(zhì)：線性性質(zhì)平移不變性……….第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四小波及連續(xù)小波變換設(shè)函數(shù)

則稱

為一個(gè)允許小波。

,若允許條件與

幾乎是等價(jià)條件.

第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

Haar小波第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

2.Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波

D6尺度函數(shù)與小波

第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

3、雙正交小波雙正交B樣條小波（5-3）、（9-7）小波濾波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波濾波器:常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個(gè)三次B樣條。第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減但非緊支撐.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

5.高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。

特性：指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；關(guān)于0軸反對稱。第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

6.Marr小波這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。

（也叫墨西哥草帽小波）特性：指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；關(guān)于0軸對稱。第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

7.Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下：第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

8.Shannon小波在時(shí)域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

9.Battle-Lemarie樣條小波

Battle-Lemarie線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四時(shí)頻分析

1.Fourier分析簡介

Fourier變換沒有反映出隨時(shí)間變換的頻率，也就是說，對于頻域中的某一頻率，我們不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。因此，F(xiàn)ourier分析缺乏信號(hào)的局部化分析能力。2.短時(shí)Fourier變換短時(shí)Fourier變換的基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用Fourier變換分析每個(gè)時(shí)間間隔，以便確定在該時(shí)間間隔內(nèi)的頻譜信息。

第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四非平凡函數(shù)

稱為窗函數(shù)，

如果

窗口Fourier變換

通常我們用作為窗函數(shù)的寬度的度量。

窗口Fourier變換：

大致反映了

在時(shí)刻b、頻率為

的"信號(hào)成分"的相對含量。

第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四窗口Fourier變換

給出了

在的時(shí)間窗內(nèi)的局部化信息。

第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四短時(shí)Fourier變換

若及其Fourier變換都是窗口函數(shù)

，則稱

為短時(shí)Fourier變換。

同時(shí)給出了

在時(shí)間窗

內(nèi)的局部化信息。

特別地，當(dāng)窗口函數(shù)取Gaussian函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的短時(shí)Fourier變換稱為Gabor變換。和頻率窗

時(shí)間-頻率窗的特性：不變的寬度和固定的窗面積測不準(zhǔn)原理：應(yīng)用上的局限性：不太適合分析非平穩(wěn)信號(hào)。

第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四小波時(shí)頻分析

小波分析能夠提供一個(gè)隨頻率改變的時(shí)間-頻率窗口。

假設(shè)

是任一基本小波，并且

與都是窗函數(shù)，

與半徑分別為

它們的中心，，和。

不妨設(shè)和尺度

a都是正數(shù)。給出了

在時(shí)間窗

內(nèi)的局部化信息。

給出了

在頻域窗

內(nèi)的局部化信息。

第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四小波時(shí)頻分析

內(nèi)的局部化信息,

若用作為頻率變量，則給出了信號(hào)在時(shí)間—頻率平面（平面）中一個(gè)矩形的時(shí)間—頻率窗

即小波變換具有時(shí)—頻局部化特征。

窗寬:面積:的寬度是寬度的倍.檢測信號(hào)的高頻成分需用具有比較小的的分析小波變窄，并在高頻區(qū)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行細(xì)節(jié)分析..這時(shí)時(shí)間窗會(huì)自動(dòng)第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四各種變換的比較

小波變換的特性分解種類：時(shí)間-尺度或時(shí)間-頻率分析函數(shù)：具有固定震蕩次數(shù)的時(shí)間有限的波。小波函數(shù)的伸縮改變其窗口大小。變量：尺度，小波的位置信息：窄的小波提供好的時(shí)間局部化及差的頻率局部化，寬的小波提供好的頻率局部化及差的時(shí)間局部化。適應(yīng)場合：非平穩(wěn)信號(hào)Fourier變換的特性

分解種類：頻率

分析函數(shù)：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)

變量：頻率

信息：組成信號(hào)的頻率適應(yīng)場合：平穩(wěn)信號(hào)

算法復(fù)雜度：短時(shí)Fourier變換的特性

分解種類：時(shí)間-頻率分析函數(shù)：由三角震蕩函數(shù)復(fù)合而成的時(shí)間有限的波變量：頻率，窗口的位置

信息：窗口越小，時(shí)間局部化越好，其結(jié)果是濾掉低頻成分；窗口越大，頻率局部化越好,此時(shí)時(shí)間局部化較差.適應(yīng)場合：次穩(wěn)定信號(hào)第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四連續(xù)小波變換的計(jì)算

數(shù)值近似積分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）

在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函數(shù)計(jì)算連續(xù)小波變換。

連續(xù)小波變換的結(jié)果的顯示方式：灰度表示，三維表示第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四連續(xù)小波變換與離散小波變換在分析信號(hào)時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)2,4,8,16,321，2，…,32第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四小波變換的分類

中三個(gè)變量均為連續(xù)變量，

離散化條件對小波及小波變換進(jìn)行分類。下面介紹兩種最重要的分類：

通過對它們施加不同的離散小波及離散（參數(shù)）小波變換：二進(jìn)小波及二進(jìn)小波變換只對a,b離散化：只對a離散化第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

離散小波及離散（參數(shù)）小波變換

令參數(shù)

，，其中

，則離散（參數(shù)）小波為：

在這種情況下，常用

記，即

相應(yīng)于離散小波

的離散（參數(shù)）小波變換為：

重構(gòu)問題：在滿足什么條件下，可以由離散小波變換

重構(gòu)原信號(hào)？

可以驗(yàn)證，離散（參數(shù)）小波變換不具有平移不變性（習(xí)題6.4）。

第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

離散小波及離散（參數(shù)）小波變換的進(jìn)一步討論

尺度離散化：實(shí)際工作中最常見的情況是,將尺度a按照二進(jìn)尺度離散化,此時(shí)a取值為位移離散化：當(dāng)a=2-J(也就是j=J時(shí)),b可以某一基本間隔b0做均勻采樣.b0應(yīng)適當(dāng)選擇使信息仍能覆蓋全b軸而不丟失(如不低于Nyquist采樣率).每經(jīng)過一次小波變換,其采樣間隔擴(kuò)大一倍,由此可見此時(shí)a-b平面內(nèi)的采樣點(diǎn)如下圖所示.第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

離散小波及離散（參數(shù)）小波變換的進(jìn)一步討論

變?yōu)?為簡化書寫,通常認(rèn)為b0=1,以歸一.并記即對于分辨率j,b以采樣間隔1/2jb0做均勻采樣.此時(shí),也就是把b軸用b0加問題:如何利用db2小波的支撐解釋突變點(diǎn)的支撐區(qū)間?[2.7890625,2.828125]第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二進(jìn)小波變換

連續(xù)二進(jìn)小波變換二進(jìn)小波的構(gòu)造及一些常用的二進(jìn)小波離散二進(jìn)小波變換的快速算法二維二進(jìn)小波變換及其快速算法第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二進(jìn)小波及二進(jìn)小波變換

在連續(xù)小波變換中，令參數(shù)

，，而參數(shù)b仍取連續(xù)值.

則有二進(jìn)小波：

這時(shí)，

的二進(jìn)小波變換定義為：

重構(gòu)問題：在滿足什么條件下，可以由二進(jìn)小波變換

重構(gòu)原信號(hào)？

第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二進(jìn)小波及二進(jìn)小波變換

卷積定義:假定小波函數(shù)為實(shí)函數(shù),

尺度符號(hào)改用表示,相應(yīng)于

的連續(xù)小波變換記為.當(dāng)時(shí)，

連續(xù)二進(jìn)小波變換為：

其中，

重構(gòu)問題：在滿足什么條件下，可以由二進(jìn)小波變換

重構(gòu)原信號(hào)？

注意與當(dāng)前文獻(xiàn)中各種定義的區(qū)別.第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二進(jìn)小波及二進(jìn)小波變換

設(shè)函數(shù)

，如果存在正常數(shù)與，且

，使得

則

且存在

滿足

使得原信號(hào)可由二進(jìn)小波變換得到重構(gòu)：

二進(jìn)小波及其穩(wěn)定性條件

二進(jìn)小波及其重構(gòu)小波

二進(jìn)小波變換的穩(wěn)定性條件

二進(jìn)小波變換具有平移不變性

二進(jìn)小波是允許小波離散小波是二進(jìn)小波第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二進(jìn)小波的構(gòu)造

目標(biāo):構(gòu)造可用于快速計(jì)算的具有有限長的二進(jìn)小波濾波器.設(shè)

都是有限濾波器，是其頻域表示;都是能量有限的函數(shù)，且滿足

若則的一個(gè)重構(gòu)小波。

是為二進(jìn)小波

第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二進(jìn)小波的構(gòu)造

較簡單的情況:是二進(jìn)小波

=

且正交二進(jìn)小波非正交二進(jìn)小波二進(jìn)對偶尺度函數(shù)與對偶小波問題討論:

第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

例7.1非正交的二次樣條二進(jìn)小波[一般求解過程參閱指定參考文獻(xiàn),吳愛弟等]

令

為二次盒樣條函數(shù)的Fourier變換:

取是一個(gè)二進(jìn)小波(驗(yàn)證!).第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四圖7-1非正交二次二進(jìn)樣條小波一些常用的二進(jìn)小波畫圖方法討論：1）分析mallat著作中采用的方法；2）用upcoef畫圖的合理性。第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

例7.2正交的二次樣條二進(jìn)小波令

為二次盒樣條函數(shù)的Fourier變換:

其中，當(dāng)時(shí)問題:已知求解g(z)?第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

正交的二次二進(jìn)樣條小波第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

例7.2正交的三次樣條二進(jìn)小波令

為三次盒樣條函數(shù)的Fourier變換:

類似地,可以求出h和g:;另一個(gè)解[揚(yáng)福生著,P151]:問題:是否都正確?這同樣涉及到上面提到的一般求解問題.能否給出任意m次樣條二進(jìn)小波的求解公式?第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

正交的三次二進(jìn)樣條小波(利用對稱的數(shù)據(jù))正交的三次二進(jìn)樣條小波(利用1/2對稱的數(shù)據(jù))相同?第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

例7.3零對稱和反對稱二進(jìn)樣條小波的構(gòu)造階中心B樣條的定義。記稱為階中心B樣條。與m+1階中心B樣條

m次盒樣條

的區(qū)別與聯(lián)系:

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，

由

向右平移1/2得到。

以下分偶數(shù)階和奇數(shù)階中心B樣條介紹零對稱和反對稱二進(jìn)小波的構(gòu)造方法。

第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

例7.3零對稱和反對稱二進(jìn)樣條小波的構(gòu)造(續(xù))

以偶數(shù)階中心B樣條為基礎(chǔ)的二進(jìn)樣條小波

n維實(shí)數(shù)組

零對稱的二進(jìn)樣條小波

零反對稱的二進(jìn)樣條小波

第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

零對稱二進(jìn)樣條小波由構(gòu)造的零反對稱二進(jìn)樣條小波第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

例7.3零對稱和反對稱二進(jìn)樣條小波的構(gòu)造(續(xù))

以奇數(shù)階中心B樣條為基礎(chǔ)的二進(jìn)樣條小波

零對稱的二進(jìn)樣條小波

零反對稱的二進(jìn)樣條小波

非周期解決方法:第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

零對稱二進(jìn)樣條小波由

構(gòu)造的

零反對稱二進(jìn)樣條小波第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

Marr小波作為二進(jìn)小波[注意:與教材上相差一個(gè)系數(shù)]利用濾波器進(jìn)行計(jì)算時(shí)的濾波器系數(shù)如下（作為二進(jìn)小波）[揚(yáng)福生著,P148]:00.43170.711810.2864-0.230920.0450-0.11203-0.0393-0.02264-0.01320.006250.00320.0039問題:這些濾波器系數(shù)是如何計(jì)算得到的？更正:應(yīng)該是關(guān)于零對稱的系數(shù)?第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一些常用的二進(jìn)小波

為什么不是關(guān)于零對稱的?第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四離散二進(jìn)小波變換的快速算法

介紹如何利用二進(jìn)小波變換處理離散信號(hào)的輸入序列，以及如何采用濾波器組進(jìn)行快速計(jì)算。如何理解采樣間距為1的離散信號(hào)的二進(jìn)小波變換?由于s=2j,因此,相應(yīng)的分辨率j為：為表述方便,令小波變換的尺度為:小波變換的尺度為:由于s=2j,因此,相應(yīng)的分辨率j為：第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四離散二進(jìn)小波變換的快速算法

介紹如何利用二進(jìn)小波變換處理離散信號(hào)的輸入序列，以及如何采用濾波器組進(jìn)行快速計(jì)算。如何理解采樣間距為1的離散信號(hào)是一個(gè)被平滑的連續(xù)函數(shù)的均勻采樣?設(shè)是采樣間距為1的離散信號(hào)，則存在使得第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四離散二進(jìn)小波變換的快速算法

離散二進(jìn)小波變換的定義:對任意

，記對

，在整數(shù)格點(diǎn)上，二進(jìn)小波系數(shù)由下式給出：

則對任意尺度

，離散信號(hào)序列

稱為的離散二進(jìn)小波變換。

快速算法的基本求解思想:將離散的問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的問題處理,然后給出離散的處理結(jié)果.第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四離散二進(jìn)小波變換的快速算法

討論:在Matlab中,二進(jìn)小波變換沒有對應(yīng)的實(shí)現(xiàn)函數(shù),需要自己編寫.與第4章中的相應(yīng)算法相比,推導(dǎo)過程不同.注意分解與重構(gòu)濾波器的不同符號(hào).第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四離散二進(jìn)小波變換的快速算法

a)b)第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二維二進(jìn)小波變換的一般概念

通過兩個(gè)小波

和

定義

，這里假設(shè)這兩個(gè)小波都是實(shí)函數(shù)。則對任意的函數(shù)

，在尺度

和位置由兩個(gè)分量來定義，即的小波變換我們稱函數(shù)集合

為二進(jìn)小波變換。

的二維第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二維二進(jìn)小波變換的一般概念

若存在和,使得則存在重構(gòu)小波

，其Fourier變換滿足

使得稱這兩個(gè)小波

和為二維二進(jìn)小波.

第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二維可分離二進(jìn)小波變換構(gòu)造的一般框架

周期和是

和重構(gòu)小波。

周期問題:如何驗(yàn)證滿足穩(wěn)定性條件?第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的二維可分離二進(jìn)小波變換

例7.4由非正交的二次樣條二進(jìn)小波，構(gòu)造可分離的二維二進(jìn)小波取，則；當(dāng)時(shí)，例7.5由正交的二次樣條二進(jìn)小波，構(gòu)造可分離的二維二進(jìn)小波取，則與以前的問題相似,這里的關(guān)鍵是如何求解l(z)?書上給出的是正交的三次樣條二進(jìn)小波對應(yīng)的{ln}.第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四常用的二維可分離二進(jìn)小波變換

例7.6由零對稱和反對稱二進(jìn)小波構(gòu)造可分離的二維二進(jìn)小波

取實(shí)數(shù)組則利用對稱二進(jìn)小波

及其重構(gòu)小波

所構(gòu)造的

是一個(gè)對稱的二維二進(jìn)小波。

相應(yīng)地，利用反對稱二進(jìn)小波

及其重構(gòu)小波

所構(gòu)造的

是一個(gè)反對稱的二維二進(jìn)小波。

第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二維離散二進(jìn)小波變換及其快速算法