山東省日照市高三下學期5月校際聯(lián)合考試（三模）數(shù)學試題-1

山東省日照市2022屆高三下學期5月校際聯(lián)合考試（三模）數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，則（

）A． B．C． D．2．若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．1 D．3．已知向量，則在方向上的投影是（

）A． B． C． D．4．下列雙曲線中，焦點在y軸上，且漸近線互相垂直的是（

）A． B．C． D．5．設(shè)且，則“函數(shù)在上是增函數(shù)”是“函數(shù)”在“上是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．868．若將整個樣本空間想象成一個邊長為1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積．則如圖所示的陰影部分的面積表示（

）A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D．事件A、B同時發(fā)生的概率二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．近年來，報考教師資格證的人數(shù)越來越多，教師行業(yè)逐漸升溫．下圖給出了近四年四所師范院校的錄取分數(shù)排名，則（

）A．近四年北京師范大學錄取分數(shù)排名變化最不明顯B．近四年湖南師范大學錄取分數(shù)排名的平均值最大C．近四年華南師范大學錄取分數(shù)排名的極差值最大D．近四年華中師范大學的生源質(zhì)量呈現(xiàn)下降的趨勢10．設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，點M為C上一動點，為定點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．準線l的方程是 B．以線段MF為直徑的圓與y軸相切C．的最小值為5 D．的最大值為212．某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限，勞累程度，勞動動機相關(guān)，并建立了數(shù)學模型，已知甲、乙為該公司的員工，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高B．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率低C．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．則甲比乙勞累程度弱D．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中,若第三項和第七項的系數(shù)相等,則__________．14．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則________．15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且成等比數(shù)列，則________．16．如圖所示，二面角的平面角的大小為，是上的兩個定點，且，滿足與平面所成的角為，且點在平面上的射影在的內(nèi)部（包括邊界），則點的軌跡的長度等于_________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知平面四邊形ABCD中，ABDC，，，，.（1）求BC的長；（2）求△BCD的面積.18．《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認為：子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指23點到次日凌晨1點）．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，深度睡眠時間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計如下表：組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比10.1%9.2%211.1%47.4%334.6%31.6%448.6%11.8%55.6%0.0%注：早睡人群為23：00前入睡的人群，晚睡人群為01：00后入睡的人群．(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)分別在第幾組?(2)據(jù)統(tǒng)計，睡眠指數(shù)得分在區(qū)間內(nèi)的人群中，早睡人群約占80%．從睡眠指數(shù)得分在區(qū)間內(nèi)的人群中隨機抽取3人，以X表示這3人中屬于早睡人群的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．19．如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让妫琈為上的動點.(1)當M為的中點時，證明：；(2)求與平面所成角的正弦值的取值范圍.20．已知數(shù)列的奇數(shù)項是公差為的等差數(shù)列偶數(shù)項是公差為的等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，．(1)若，求；(2)已知，且對任意恒成立，求數(shù)列的前n項和．21．已知橢圓過點離心率，左、右焦點分別為，P，Q是橢圓C上位于x軸上方的兩點．(1)若，求直線的方程；(2)延長分別交橢圓C于點M，N，設(shè)，求的最小值．22．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，討論的零點個數(shù)．參考答案：1．B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集、補集運算即可.【詳解】，所以，故選：B2．B【解析】【分析】復數(shù)的分式運算，同乘共軛復數(shù)，利用模長公式即可得到答案.【詳解】,,故選：B.3．C【解析】【分析】求出，再利用向量的投影公式計算求解.【詳解】由題得，在方向上的投影是.故選：C4．A【解析】【分析】先排除選項BD,再求雙曲線的漸近線判斷得解.【詳解】解：由于雙曲線的焦點在y軸上，所以選項BD不滿足題意,選項A中雙曲線的漸近線為，兩漸近線的斜率乘積為-1，所以兩漸近線互相垂直，所以選項A滿足題意；選項C中雙曲線的漸近線為，兩漸近線的斜率乘積不為-1，所以兩漸近線不互相垂直，所以選項C不滿足題意.故選：A5．A【解析】【詳解】函數(shù)在上是增函數(shù)，可得，函數(shù)在上是增函數(shù)，可得，所以“函數(shù)在上是增函數(shù)”是“函數(shù)”在“上是增函數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.6．B【解析】由奇函數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知單調(diào)性得出函數(shù)在上的單調(diào)性，再由奇函數(shù)把不等式化為，然后由單調(diào)性可解得不等式．【詳解】∵是奇函數(shù)，在上遞減，則在上遞減，∴在上是減函數(shù)，又由是奇函數(shù)，則不等式可化為，∴，．故選：B．【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．這類問題常常有兩種類型：（1）為奇函數(shù)，確定函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)，不等式為轉(zhuǎn)化為，然后由單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”，再求解；（2）是偶函數(shù)，在上單調(diào)，不等式為，首先轉(zhuǎn)化為，然后由單調(diào)性化簡．7．C【解析】【分析】根據(jù)題意求得，得到，再由等差數(shù)列的通項公式，求得，列出方程，即可求解.【詳解】因為成公比為3的等比數(shù)列，可得，所以又因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以，所以，解得.故選：C.8．A【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用條件概率公式的變形及和事件的概率即可得解.【詳解】由題意可知：，故選：A9．ABC【解析】【分析】利用折線圖逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，由圖可知，近四年北京師范大學錄取分數(shù)排名比較穩(wěn)定，排名變化最不明顯，A對；對于B選項，近四年，湖南師范大學錄取分數(shù)排名的平均值為，華南師范大學錄取分數(shù)排名的平均值為，由圖觀察可知，華中師范大學和北京師范大學錄取分數(shù)排名的平均值都比湖南師范大學錄取分數(shù)排名的小，B對；對于C選項，近四年，湖南師范大學錄取分數(shù)排名的極差為，華南師范大學錄取分數(shù)排名的極差為，由圖可知，華中師范大學和北京師范大學錄取分數(shù)排名變化不大，這兩所學校錄取分數(shù)排名的極差比華南師范大學錄取分數(shù)排名的極差小，故近四年華南師范大學錄取分數(shù)排名的極差值最大，C對.對于D選項，近四年華中師范大學錄取分數(shù)的排名越來越靠前，該校的生源質(zhì)量越來越好，D錯.故選：ABC.10．AD【解析】【分析】利用空間直線和平面的位置關(guān)系可以判定宣新年AD正確；B.或或或與斜交，所以該選項錯誤；C.或，所以該選項錯誤.【詳解】解：A.若，則，所以該選項正確；B.若，則或或或與斜交，所以該選項錯誤；C.若，則或，所以該選項錯誤；D.若，則，所以該選項正確.故選：AD11．BC【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程，求得準線方程，可判斷A的正誤；設(shè)，設(shè)MF的中點為D，求得D點坐標，分析即可判斷B的正誤；過M作準線的垂線，垂足為N，根據(jù)拋物線定義，可得當E、M、N三點共線時，有最小值，計算即可判斷C的正誤；根據(jù)三角形的性質(zhì)可得當E、F、M共線時，有最大值，計算即可判斷D的正誤，即可得答案【詳解】對于A：由拋物線，可得焦點坐標為，準線方程為，故A錯誤對于B：設(shè)，設(shè)MF的中點為D，則，D坐標為，所以，即D點到點M、F和y軸距離相等，所以以線段MF為直徑的圓與y軸相切，故B正確.對于C：過M作準線的垂線，垂足為N，由拋物線定義得，所以，由圖象可得，當E、M、N三點共線時，有最小值，即為，所以的最小值為5，故C正確；對于D：根據(jù)三角形中，兩邊之差小于第三邊可得，如圖所示，當E、F、M共線時，有最大值，且為，所以的最大值為，故D錯誤；故選：BC12．AC【解析】【分析】設(shè)甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動動機，利用作差法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可判斷選項AB；利用作商法和冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可判斷選項CD.【詳解】設(shè)甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動動機，對于A，∴，則，∴，即甲比乙工作效率高，故A正確；對于B，，∴，則，∴，即甲比乙工作效率高，故B錯誤：對于C，，∴，∴，所以，即甲比乙勞累程度弱，故C正確；對于D，，∴，∴，所以，即甲比乙勞累程度弱，故D錯誤．故選：AC13．8【解析】【詳解】分析：根據(jù)二項展開式的通項得到關(guān)于的等式，求解可得結(jié)果．詳解：展開式的通項為，∵第三項和第七項的系數(shù)相等，∴，解得．點睛：本題考查二項展開式的通項和組合數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確得到通項，同時也考查學生對組合數(shù)的運算能力．14．##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，再根據(jù)五點法求出即得解.【詳解】解：由知，，由五點法可知，，即，又，所以故答案為：15．##【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列和正弦定理求出，再利用余弦定理即得解.【詳解】解：由成等比數(shù)列，得，又所以，所以.故答案為：16．【解析】【分析】根據(jù)題意得到的值，可得軌跡為圓弧，求出其半徑，進而求得弧長，得到答案.【詳解】如圖所示：因為與平面所成的角為30°，點在平面上的射影，，所以，所以的軌跡為直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)所形成的軌跡，在直角中，作，垂足為，因為，可得，即點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓弧，又因為二面角的平面角的大小為，所以點的軌跡的長度等于.故答案為：.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，先求出，由正弦定理可得答案.（2）由條件可得，在中由余弦定理可得的長，再根據(jù)三角形的面積公式可得答案.【詳解】（1）在中，，則，由正弦定理得，所以（2）因為，所以，在中，有余弦定理得，即即，則，所以.18．(1)分別在第3組，第2組(2)分布列見解析，【解析】【分析】(1)根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合題意給的表格與數(shù)據(jù)直接得出結(jié)果；(2)利用二項分布求概率公式分別求出，進而列出分布列，結(jié)合數(shù)學期望的計算公式計算即可.(1)早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)估計在第3組，晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)估計在第2組．(2)X的所有可能取值為0，1，2，3．，，所以隨機變量X的分布列為：X1234P所以隨機變量X的數(shù)學期望為.19．(1)證明見詳解.(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直得線面垂直,進而可得線線垂直,根據(jù)菱形對角線可得垂直,由線面垂直得線線垂直.（2）建立空間直角坐標系,利用法向量與直線的方向向量的夾角來求解.(1)連接由可知:四邊形均為含的菱形,故當M為的中點時,則,又側(cè)面?zhèn)让?側(cè)面?zhèn)让?故平面,從而,,所以平面,平面,故(2)取中點為,因為側(cè)面?zhèn)让?,故可建立如圖所示的空間直角坐標系.,設(shè)則設(shè)平面的法向量為由,令設(shè)與平面所成角為,所以當時,當時,,所以綜上故【點睛】20．(1)(2)【解析】【分析】（1）由題意列出方程組，求得，即可求出的值；（2）當n為偶數(shù)時，根據(jù)恒成立證得，n為奇數(shù)時，由，恒成立證得，所以，又由，解得，即可求得的前n項和.(1)由題意得，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，由，得，解得，所以．(2)當n為偶數(shù)時，由恒成立，得，即恒成立，所以且d1>1，當n為奇數(shù)時，由，恒成立，得，即恒成立，所以，因此，又由，得，即，解得，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以．21．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出橢圓方程，設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，求得，從而可求得，同理求得，從而可求得，即可得解；（2）設(shè)，由，得，代入橢圓的方程，可求得，同理可求得，從而可得出答案.(1)解：由已知過點，得，①由，②由①、②，得，故橢圓C的方程為，若，設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，解得，故，同理，，，則，，故直線的方程為；(2)解：設(shè)，由，得，故，代入橢圓的方程得（3），又由，得，代入（3）式得，，化簡得，，即，顯然，故，同理可得，故，所以的最小值．22．(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)答案見解析【解析】【分析】（1）當時