山西省呂梁市交城縣高三核心模擬下學期數(shù)學（理）（一）試題

2022屆山西省呂梁市交城縣高三核心模擬下學期數(shù)學（理）（一）試題一、單選題1．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)，對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】求得，從而求得，進而求得結果.【詳解】復數(shù)，故，對應點的坐標為，位于第二象限.故選：B.2．若全集為R，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再根據(jù)補集交集的定義即可求出.【詳解】因為，，所以．故選：C．3．（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式，計算求解即可【詳解】．故選：C4．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小關系.【詳解】，，，所以．故選：B5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)程序框圖得到求解.【詳解】解：由程序框圖知：，，，，故選：D6．“，使得成立”的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得等價于，求出最大值即可.【詳解】，，等價于，又，當且僅當時等號成立，即，故．故選：A．7．已知點M，N分別在圓C：和直線l：上運動，若的最小值為7，則t的值為（

）A．36 B．37 C． D．或36【答案】D【分析】求出圓心到直線的距離即可得出.【詳解】由題意知圓心，則C到l的距離，所以或36．故選：D．8．一個三棱錐的正視圖如圖①所示，則下列圖形中可以是相應幾何體的側視圖和俯視圖的組合為（

）A．③④ B．③⑤ C．②④ D．②⑤【答案】A【分析】根據(jù)三視圖的定義和性質(zhì)，逐個判斷即可【詳解】由題意及正視圖可知，三棱錐只能在如圖所示的三棱柱中，且三棱錐的靠后的一個頂點必然被前面的面遮住，最下面的頂點一定在上，右邊的頂點在上，左邊靠前的頂點在上，故側視圖不可能為②④⑤．故側視圖為③，三棱錐只可以為如圖所示的三棱錐，此時俯視圖為④．故選：A9．已知函數(shù)，則下列結論不正確的是（

）A．的最小正周期為B．C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象D．當時，恰有兩個解，則【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析判斷.【詳解】，所以其最小正周期為，故A正確；，所以，故B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到，故C錯誤；當時，，由正弦函數(shù)的圖象可知，若滿足恰有兩個解，則，故D正確．故選：C．10．已知拋物線：的焦點為F，C的準線與對稱軸交于點D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且，若FB為∠DFA的角平分線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為，，然后利用，得到，進而利用，化簡，可求出的值【詳解】：，則，所以．過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為，，則，因為FB為∠DFA的平分線，則，又，所以，所以，又，所以．故選：B11．偉大的數(shù)學家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學界近一世紀的“巴賽爾級數(shù)”難題．當時，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同時除以x，再利用展開式中的系數(shù)可求出.【詳解】由，兩邊同時除以x，得，又展開式中的系數(shù)為，所以，所以．故選：A．12．將x，x，y，y，z，z填入2行3列的表格中，每格填一個字母，若隨機變量X表示列字母相同的數(shù)量，則（

）（注：橫為行，豎為列）A．X的可能取值有0，1，2，3 B．C． D．【答案】C【分析】分析X的取值可判斷A；排列時可考慮先排第一列，然后簡單分析可知第二列排法數(shù)，通過計算可得相應概率，可判斷B；再由期望和方差公式計算后可判斷CD.【詳解】對于A，若2列字母相同，余下的一列字母一定相同，故X的取值不可能為2，故A錯誤；對于B，將x，x，y，y，z，z放入2行3列的表格中，先填x有種，再填y有種，最后填z有種，所以總填法有種.每列字母均不相同的填法有：第一行字母均不相同，有種，第一行有兩個字母相同有種，所以，所以，故B錯誤；因為，，所以，，故C正確，D錯誤．故選：C．二、填空題13．已知向量，，若，則___________．【答案】【分析】由可知，，代入坐標求解即可.【詳解】因為，所以，即，代入坐標得，解得，故答案為：.14．寫出一個離心率為2且焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為___________．【答案】（答案不唯一，符合條件即可）【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的離心率公式可得，即，雙曲線的焦點在軸上，假設，求出雙曲線的標準方程，即可得答案．【詳解】設所求雙曲線方程為，設為焦距，因為，所以，假設，可得，所以，所以，故雙曲線方程可以為．故答案為：15．在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，邊BC上的高為，則___________．【答案】【分析】由，利用余弦定理求得，再由，得到c，b的關系，然后由求解．【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以，所以，所以．故答案為：16．四棱錐的頂點都在球心為的球面上，且平面，面為矩形，，分別為，的中點，，，則下列說法正確的是___________．（填序號）①平面平面；②四棱錐的外接球的半徑為；③平面截球所得截面的面積為．【答案】②③【分析】根據(jù)直線與直線必相交，可判斷①；取的中點，證明為四棱錐的外接球的球心，再計算半徑可判斷②；利用等體積法求出球心到截面的距離，再根據(jù)勾股定理求出截面圓的半徑可判斷③.【詳解】對于①，因為為的中點，，，所以直線與直線必相交，所以平面與平面必有交點；所以平面與平面不平行，故①不正確；對于②，因為平面，所以，，，因為，，所以平面，所以，因為，，所以平面，所以，取的中點，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，所以為四棱錐的外接球的球心，因為，，所以，所以，所以，即四棱錐的外接球的半徑為，故②正確；對于③，設球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，又在上，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，等于點到平面的距離，因為，，，所以，所以，所以，，點到平面的距離為，由得，得，得，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故③正確，故答案為：②③．三、解答題17．某公司生產(chǎn)醫(yī)用外科口罩，由于國內(nèi)疫情得到了較好地控制，口罩的銷量有所下降，因此該公司逐步調(diào)整了口罩的產(chǎn)量，下表是2021年5～11月份該公司口罩產(chǎn)量（單位：萬箱）：月份x567891011產(chǎn)量y（萬箱）3由散點圖可知產(chǎn)量y（萬箱）與月份x具有線性相關關系．(1)求線性回歸方程，并預測12月份的產(chǎn)量；(2)某單位從該公司共購買了6箱口罩（其中有4箱5月份生產(chǎn)，2箱為6月份生產(chǎn)），隨機分發(fā)給單位研發(fā)部門和銷售部門使用，其中研發(fā)部門4箱，銷售部門2箱，使用中發(fā)現(xiàn)5月份生產(chǎn)的口罩不符合質(zhì)量要求，單位要求該公司給予更換，求分發(fā)給銷售部門的2箱口罩中至多有1箱需要更換的概率．附：，；參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)最小二乘法直接求解即可得出；（2）求出從6箱中抽取2箱的基本事件數(shù)，再求出至多有1箱為5月份生產(chǎn)的事件數(shù)即可求出.【詳解】(1)，，所以，，所以．所以當時，故預測12月份的產(chǎn)量為1.07萬箱．(2)從6箱中抽取2箱共有種，即基本事件總數(shù)為15，至多有1箱為5月份生產(chǎn)的事件數(shù)為，故所求概率．18．如圖，在中，，，，M，N分別為AB、BC的中點，將沿MN向上折起到點P處，使得．(1)求證：平面平面ACNM；(2)求二面角M-PC-A的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明；(2)建立空間直角坐標系，求兩平面的法向量，利用法向量的夾角與二面角的平面角的關系求解.【詳解】(1)在中，M，N分別為AB、BC的中點，則，所以折疊后有，．因為，所以．又，所以．又，所以，即．平面，，所以平面，又平面，所以平面平面ACNM．(2)由（1）知MA，MN，MP兩兩垂直，分別以MA，MN，MP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，，所以，，．設平面PAC的一個法向量，則，即，解得，令，得，所以．設平面PCM的一個法向量，則，即，解得，令，得，所以．所以，由圖知二面角M-PC-A為銳二面角，所以二面角M-PC-A的余弦值為．19．在①；②，；③這三個條件中任選一個，補充到下面橫線處，并作答．已知正項數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，記表示x除以3的余數(shù)，求．注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）選條件①時，利用，可求出數(shù)列的通項公式；選條件②時，化簡可得為常數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式；選條件③時，利用，可求出數(shù)列的通項公式；（2）依題意可知，所以，再利用二項式定理解決整除和余數(shù)問題.【詳解】(1)選條件①時，當時，，解得，所以．當時，，，兩式相減得，即，，當時滿足上式，所以．所以當時，，又，所以．選條件②時，因為，當時，，當時，，兩式相減，得，所以，又，所以，所以數(shù)列為常數(shù)列，又，所以，所以．選條件③時，當時，，因為，所以．由，當時，，兩式相減，得，整理得，所以．因為，所以，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以．(2)由題知，所以，又，而所以．20．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，離心率為，為C上一點，過點且與y軸不垂直的直線l與C交于A，B兩點．(1)求C的方程；(2)在平面內(nèi)是否存在定點Q，使得為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）由題意可得，解方程組即可求出結果；（2）設l的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，結合韋達定理表示出，然后根據(jù)題意可得，，，進而可求出結果.【詳解】(1)設C的半焦距為，由題意得，解得，所以C的方程為．(2)假設存在定點，使得為定值，設，．由（1）知，因為l不垂直于y軸，故設l的方程為，聯(lián)立，得，消去x并化簡，得．則，且，，，，所以．所以，所以，，，所以，，．所以存在，使得為定值．【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．已知函數(shù)．(1)若，求證：；(2)若對任意正數(shù)x恒成立，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）求導，由，得到在上單調(diào)遞增，且證明；（2）由（1）知時，不成立；將，轉(zhuǎn)化為時，，時，恒成立求解．【詳解】(1)證明：因為，所以．當時，在上單調(diào)遞增，且，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減；所以在上單調(diào)遞增．因此．(2)當時，由（1）知不合題意，因為，所以當時，，當時，．當時，，令，則，顯然在上單調(diào)遞減．又因為，綜合，所以，所以，，解得．所以存在唯一實數(shù)，使得，即，所以．因為在上單調(diào)遞減，所以在上，；在上，，所以在上，（即）單調(diào)遞增，在上（即）單調(diào)遞減．又因為，若，在上，，在上，，所以在上，單調(diào)遞增，，所以在上，，不合題意；若，在上，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上，，與題意不符；若時，在上，，在上，，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞減，又，所以在上，，在上，，符合題意．所以，所以．【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；22．在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)若點，曲線與曲線的交點為A，B兩點，求的值．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式把曲線化成普通方程，根據(jù)直角坐標方程與極坐標方程互化公式求出曲線的直角坐標方程即可；（2）根據(jù)參數(shù)的幾何意義進行求解即可.【詳解】(1)由，消去參數(shù)得，所以曲線的普通方程為．因為，所以．所以曲線的直角坐標方程為．(