廣東省湛江市高三二模數(shù)學試題

2022屆廣東省湛江市高三二模數(shù)學試題一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則，結合共軛復數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B2．已知向量，的夾角的余弦值為，且，，則（

）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解即可.【詳解】因為向量，的夾角的余弦值為，且，，所以，故選：A3．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，根據(jù)函數(shù)值域的求法求出集合，進而求出即可．【詳解】對于集合求的是的取值范圍，對于集合求的是的值域，，，，故選：C．4．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，，只有一條垂直直線，不能得出，不充分，當時，由于，則有，是必要的，因此是必要不充分條件．故選：B．5．已知直線與圓相交于A，B兩點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出圓心坐標與半徑，再利用點到直線的距離及垂徑定理、勾股定理得到方程，解得即可；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，因為直線與圓相交于、兩點，且，所以圓心到直線的距離，即，解得（舍去）或；故選：B6．若，且，則的最小值為（

）A．9 B．3 C．1 D．【答案】C【分析】由基本不等式得，進而結合已知條件得的最小值為.【詳解】解：因為，所以，因為所以，即，當且僅當，即時等號成立，所以，即的最小值為.故選：C7．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)和對數(shù)函的性質(zhì)進行化簡后比較.【詳解】解：故故選：A的左?右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合題意作出圖形，然后結合雙曲線的定義表示出，進而利用勾股定理即可得到，從而可求出結果.【詳解】由題意知延長則必過點,如圖：由雙曲線的定義知，又因為，，所以，設，則，因此，從而，所以，又因為，所以，即，即，故選：B.二、多選題9．某學校組建了合唱?朗誦?脫口秀?舞蹈?太極拳五個社團，該校共有2000名同學，每名同學依據(jù)自己興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團的同學有8名，參加太極拳社團的有12名，則（

）A．這五個社團的總人數(shù)為100B．脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的20%C．這五個社團總人數(shù)占該校學生人數(shù)的4%D．從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為40%【答案】BC【分析】計算出五個社團的總人數(shù)，可判斷A,C;計算出脫口秀社團的人數(shù),判斷B;計算脫口秀社團或舞蹈社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的比例，可判斷D.【詳解】由于參加朗誦社團的同學有8名，該社團人數(shù)占比為，故社團總人數(shù)為80人，故A錯誤；合唱團人數(shù)為，舞蹈社團人數(shù)為人，故脫口秀社團的人數(shù)為，故脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的，故B正確；五個社團總人數(shù)占該校學生人數(shù)的，故C正確；脫口秀社團人數(shù)占五個社團總人數(shù)的20%,,舞蹈社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的，因此這兩個社團人數(shù)占五個社團總人數(shù)的45%，故從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為45%，D錯誤，故選：BC10．已知是函數(shù)的一個周期，則的取值可能為（

）A．﹣2 B．1 C． D．3【答案】ABD【分析】根據(jù)三角恒等變換公式進行化簡，根據(jù)周期函數(shù)定義求出的表達式即可求解．【詳解】依題意得，由周期函數(shù)定義得：，即：即：解得：又或故選：ABD．11．在正方體中，點E為線段上的動點，則（

）A．直線DE與直線AC所成角為定值 B．點E到直線AB的距離為定值C．三棱錐的體積為定值 D．三棱錐外接球的體積為定值【答案】AC【分析】平面E與重合和與判斷；D.由平面，得到三棱錐外接球的球心O在判斷.【詳解】如圖所示：，又，所以平面，又平面平面，，則直線DE與直線AC所成角為定值，故正確；B.當點E與重合時，點E到直線AB的距離，當點E與重合時，點E到直線AB的距離，故錯誤；，且點到面EBD的距離為定值，為定值，故體積為定值，故正確；D.易知平面，所以三棱錐外接球的球心O在上，當點E移動時，球心O的位置改變，則球的半徑R改變，所以外接球體積不為定值，故錯誤；故選：AC12．若過點最多可作出條直線與函數(shù)的圖象相切，則（

）A．B．當時，的值不唯一C．可能等于D．當時，的取值范圍是【答案】ACD【分析】由題設切點為，進而得，再構造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)問題，再數(shù)形結合求解即可.【詳解】解：不妨設切點為，因為，所以切線方程為，所以，整理得，所以令，則，所以，令得.所以，當或時，，，當時，，因為，當趨近于時，趨近于，，，，當趨近于時，趨近于，所以，函數(shù)的圖像大致如圖，所以，當時，，故B錯誤，此時成立；當時，，所以，故可能等于，C正確；當當時，，顯然，故D正確；綜上，，A正確.故選：ACD三、填空題13．若，，則___________.【答案】【分析】利用正切兩角和的公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以，故答案為：14．拋物線的焦點為F，點為C上一點，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義，利用代入法進行求解即可.【詳解】拋物線的準線方程為：，因為，所以，把代入拋物線方程中，得，故答案為：15．的展開式中常數(shù)項為___________.【答案】【分析】先求得展開式的通項公式，再分別用81乘以的展開式中的常數(shù)項和乘以的展開式中含的一次項的兩種情況求解.【詳解】展開式的通項公式為，當81乘以時，令，解得，常數(shù)項為；當乘以時，令，解得，常數(shù)項為；所以的展開式中的常數(shù)項為故答案為：16．“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術中給出的.大衍求一術（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個數(shù)被除余，被除余，被除余，則在不超過的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為___________.【答案】【分析】找出滿足條件的最小整數(shù)值為，可知滿足條件的數(shù)形成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，確定該數(shù)列的項數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結果.【詳解】由題意可知，一個數(shù)被除余，被除余，被除余，則這個正整數(shù)的最小值為，因為、、的最小公倍數(shù)為，由題意可知，滿足條件的數(shù)形成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，設該數(shù)列為，則，由，可得，所以，的最大值為，所以，滿足條件的這些整數(shù)之和為.故答案為：.四、解答題17．如圖，一架飛機從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達終點.(1)求、兩地之間的距離；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的長；（2）利用余弦定理求出的值，結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得的值.【詳解】(1)解：由余弦定理可得，所以，.(2)解：由余弦定理可得，所以，，則為銳角，故，因此，.18．已知數(shù)列的前n項和為.(1)從①，②，③這三個條件中任選兩個作為條件，證明另一個成立，并求的通項公式；(2)在第（1）問的前提下，若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多種情況分別解答，按第一種解答計分.【答案】(1)；證明見解析.(2)【分析】（1）選①②，結合題意證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進而求解；選：②③，先根據(jù)題意得，進而證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再求解即可；選：①③，結合題意證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進而在求解即可.（2）結合（1）得，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】(1)解：選①②，因為，所以，因為，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即所以，當時，，當時，，顯然滿足，所以，.選：②③，因為，，所以，解得，故.因為，所以，即，所以，整理得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以.選：①③，因為，，所以，所以，兩式作差得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，，所以，所以.(2)解：由（1）得，故，所以數(shù)列的前項和滿足：19．某大學為了鼓勵大學生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識競賽”，該競賽決賽局有、兩類知識競答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進入決賽的選手要先從、兩類知識中選擇一類進行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對剩下的一類知識挑戰(zhàn)的機會，挑戰(zhàn)失敗則競賽結束，第二類挑戰(zhàn)結束后，無論結果如何，競賽都結束.、兩類知識挑戰(zhàn)成功分別可獲得萬元和萬元創(chuàng)業(yè)獎金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到元激勵獎金.已知甲同學成功晉級決賽，面對、兩類知識的挑戰(zhàn)成功率分別為、，且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無關.(1)若記為甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎金的累計總額（單位：元），寫出的分布列；(2)為了使甲同學可獲得的獎金累計總額期望更大，請幫甲同學制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由.【答案】(1)分布列答案見解析(2)優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)類知識，理由見解析【分析】（1）分析可知的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列；（2）記為甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎金累計總額，計算出、的值，比較大小后可得出結論.【詳解】(1)解：由題意可知，的可能取值有、、，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：(2)解：記為甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎金累計總額，甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎金累計總額的期望為，優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎金累計總額的期望為，由題意可知，隨機變量的可能取值有：、、，則，，，所以，（元），（元），所以，，所以，為了使甲同學可獲得獎金累計總額期望更大，應該優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)類知識.20．在四棱臺中，底面ABCD是正方形，且側棱垂直于底面ABCD，，O，E分別是AC與的中點.(1)證明：平面.(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，得到為的中點，證得，結合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，求得向量和平面的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)證明：連接，因為為正方形，可得為的中點，在中，因為分別為的中點，所以，又因為平面，且平面，所以平面.(2)解：因為平面，平面，所以，以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，設平面的法向量，則，取，可得，所以，設與平面所成的角為，則，即與平面所成的角為.21．已知函數(shù).(1)當時，若在上存在最大值，求m的取值范圍；(2)討論極值點的個數(shù).【答案】(1)；(2)當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點；當時，函數(shù)沒有極值點.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結合函數(shù)的單調(diào)性和最值的定義進行求解即可；（2）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結合極值點的定義、一元二次方程根的判別式分類討論求解即可.【詳解】(1)因為，所以，因為函數(shù)的定義域為：，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，因此要想在上存在最大值，只需，所以m的取值范圍為；(2)，方程的判別式為.（1）當時，即，此時方程沒有實數(shù)根，所以，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點；（2）當時，即，此時，（當時取等號），所以函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點；（3）當時，即，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，設兩個實數(shù)根為，設，則，函數(shù)的定義域為：，顯然當時，此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，此時當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，函數(shù)有極小值點，當時，函數(shù)有極大值點，所以當時，函數(shù)有兩個極值點，當時，方程有一個正實數(shù)根和一個負根，或是一個正實數(shù)和零根，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有極大值點，因此當時，函數(shù)有一個極值點，綜上所述：當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點；當時，函數(shù)沒有極值點.【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根的判別式分類討論是解題的關鍵.22．已知橢圓的上?下焦點分別為，，左?右頂點分別為，，且四邊形是面積為8的正方形.(1)求C的標準方程.(2)M，N為C上且在y軸右側的兩點，，與的交點為P，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)為