關于布朗運動的理論(愛因斯坦)

關于布朗運動的理論愛因斯坦1905年12月在我的論文《熱的分子［運動］論所要求的[靜］液體中懸浮粒子的運動》發(fā)表后不久，（耶那的）西登托普夫（Siedentopf）告訴我：他和別的一些物理學家——首先是（里昂的）古伊（Gouy）教授先生一一通過直接的觀測而得到這樣的信念，認為所謂布朗運動是由液體分子的不規(guī)則的熱運動所引起的。不僅是布朗運動的性質，而且粒子所經歷路程的數(shù)量級，也都完全符合這個理論的結果。我不想在這里把那些可供我使用的稀少的實驗資料去同這個理論的結果進行比較，而把這種比較讓給那些叢實驗方面掌握這個問題的人去做。下面的論文是要對我的上述論文中某些論點作些補充。對懸浮粒子是球形的這種最簡單的特殊情況，我們在這里不僅要推導出懸浮粒子的平移運動，而且還要推導出它們的旋轉運動。我們還要進一步指明，要使那篇論文中所給出的結果保持正確，觀測時間最短能短到怎樣程度。要推導這些結果，我們在這里要用一種此較一般的方法，這部分地是為了要說明布朗運動同熱的分子［運動］論的基礎有怎樣的關系，部分地是為了能夠通過統(tǒng)一的研究展開平動公式和轉動公式。因此，假設是一個處于溫度平衡的物理體系的一個可量度的參數(shù)，并且假定這個體系對于的每一個（可能的）值都是處在所謂隨遇平衡中。，按照把熱同別種能量在原則上區(qū)別開的古典熱力學，α不能自動改變；按照熱的分子〔運動］論，卻不然。下面我們要研究，按照后一理論所發(fā)生的這種改變必須遵循怎么樣的定律。然后我們必須把這些定律用于下列特殊情況：——1、是（不受重力的作用的）均勻液體中一個球形懸浮粒子的重心的X坐標。2、是確定一個球形粒子位置的旋轉角，這個粒子是懸浮在液體中的，可繞直徑轉動?！?、熱力學平衡的一個情況假設有一物理體系放在絕對溫度為T的環(huán)境里，這個體系同周圍環(huán)境有熱交換，并且處干溫度平衡狀態(tài)中。這個體系因而也具有絕對溫度T，而且依據熱的分子［運動］論，它可由狀態(tài)變數(shù)完全地確定下來。在所考查的這個特殊情況中，構成這一特殊體系的所有原子的坐標和速度分量可以被選來作為狀態(tài)變數(shù)。對于狀態(tài)變數(shù)在偶然選定的一個時刻處于一個n重的無限小區(qū)域（）中的幾率，下列方程成立——（1）次處C是一個常數(shù)，R是氣體方程的普適常數(shù)，N是一個克分子中實際分子的數(shù)目，而E是能量。假設是這個體系的可以量度的參數(shù)，并且假設每一組值都對應一個確定的值，我們要用來表示在偶然選定的一個時刻參數(shù)的值處在和之間的幾率。于是（2）只要右邊的積分是遍及狀態(tài)數(shù)值的一切組合，而這些狀態(tài)變數(shù)的值是處于和之間的。我們要限于這樣的情況，從問題的性質立即可以明白，在這種情況中，的一切（可能的）值的都具有同一幾率（分布）；因此，那里的量A同無關。現(xiàn)在設有第二個物理體系，它所不同于前面所考查的體系的，僅僅在于有一個只是同有關，而具有勢的力作用在這體系上。如果E是剛才所考查的體系的能量，那么現(xiàn)在所考查的這個體系的能量就是，由此我們得到一個類似于方程（1）的關系式：由此推導出，對于在一個偶然選定的時刻的值處于和之間的幾率,有一個類似于方程（2）的關系式：（Ⅰ）此處A`是同無關的。這個關系式是熱的分子〔運動〕論所特有的，它同玻耳效曼在他研究氣體理論時一再使用的指數(shù)定律完全相符。它解釋了，當受到恒定的外力作用時，一個體系的參數(shù)，由于分子的不規(guī)則運動的結果，同那個對應于穩(wěn)定平衡的值會有多大程度的出入?！?應用§1中所推得方程的實例我們考查這樣一個物體，它的重心能夠沿著一條直線（一個坐標系的X軸）運動。假設這個物體是被一種氣體包圍著，并且達到了熱平衡和機械平衡。按照分子理論，由于分子碰憧不勻等，這個物體會以一種不規(guī)則的方式沿著直線作向后和向前運動，使得在這種運動中，直線上沒有一個點是受到特殊看待的——假定在這條直線的方向上，除了分子的碰幢力以外，再沒有別的力作用在這個物體上。重心的橫坐標因而是這個體系的一個參數(shù)，它具有前面對參數(shù)所假定的那些性質。我們現(xiàn)在要引進一個在這條直線方向上作用于該物體的力。那么，按照分子理論，這個物體的重心又會進行一種并不遠離這個點的不規(guī)則運動；可是按照古典熱力學，它卻必須靜止在點上。按照分子理淪（公式（I)),等于在一個偶然選定的時刻坐標的值處于和之間的幾率。由此，我們求出重心點的平衡距離——為了使大到足以能夠觀測到，確立這個物體的平衡位置的力必須非常小。如果我們設觀測的下限為厘米；那么，對于，我們就得到。為了使這個物體所進行的振動在顯微鏡下可以觀測，那么當伸長是1厘米時，作用在該物體上的力不可超過百萬分之五達因。我們還要把一種理論上的考查同已推導出來的方程聯(lián)系起來。假設所討論的物休帶有一個分布在很小空間中的電荷，而且包圍這個物體的氣體是如此稀薄，以致這個物體作出的正弦振動由于周圍氣體的存在只有輕微的變動。此外這個物體向空間輻射電波，并且從周圍空間的輻射中收到能量；因此它促成在輻射同氣體之間的能量交換。我們能夠推導出一個看來是適用于長波和高溫的溫度輻射的極限定律，只要我們提出這樣的條件，使所考查的物體所發(fā)射的輻射平均起來正好同它吸收的輻射一樣多。這樣我們就得到下列對應于振動數(shù)的輻射密度的公式：此處c表示光速。對于小的頻率和高的溫度，普朗克先生提出的輻射公式就轉換成這個公式。N這個量能夠從這極限定律中的系數(shù)確定出來，這樣我們就得到了普朗克關于基本常數(shù)的確定。我們以上述方式得到的并不是真正的輻射定律，而只是一個極限定律，這一事實的緣由，依我看來是在于我們物理概念的根本不完備性。我們現(xiàn)在還要用公式（Ⅰ）來決定一個懸浮粒子必須小到怎樣的程度才能使它不顧重力的作用而持久地懸浮著。對此我們不妨限于粒子的比重比液體大的情況，因為相反的情況是完全類似的。如果是粒子的體積，是它的密度，是液體的密度，g是重力加速度，而是從容器的底到一個點的豎直距離，那末方程（Ⅰ）就給出由此我們可以看出，這些懸浮粒子是能夠懸浮在液體中的，只要對于不是小到無法觀察的值，這個量沒有太大的值——假定那些達到容器底的粒子不會因任何什么情況而被抓住在底面上?！?由熱運動引起的參數(shù)的變化我們再回到§1中所討論的一般情況，為此我們已經推導出方程（Ⅰ）?？墒菫榱耸贡硎痉绞胶透拍畋容^簡單，我們現(xiàn)在要假定存在著很大數(shù)目（n）的全同體系，它們都是那里所表征的那種類型；于是我們在這里要打交道的是數(shù)目，而不是幾率。這時方程（Ⅰ）表示為：在N個體系中，有（Ⅰa）個體系的參數(shù)的值在一偶然選定的時刻落在之間。我們要用這個關系來求由不規(guī)則的熱過程所引起的參數(shù)的不規(guī)則變化的量值。為此目的，我們用符號來表示：在時間間隔內，在對應于勢的力同不規(guī)則的熱過程的聯(lián)合作用下，函數(shù)不起變化；這里的表示如此短的時間，以致單個體系的這個量的相應變化可以被著作是函數(shù)的自變數(shù)的無限小變化。如果我們在一條直線上，從一個確定的零點出發(fā)，劃出一些數(shù)值上都等于量的線段，那么每一個體系都在這條道線上對應于一個點是體系點在直線上的配置密度。在時間內，這種體系點在一個方向上通過道線上的一個任意點的數(shù)目，同相反方向上通過的數(shù)目必定完全一樣。對應于勢的力所引起的的變化的量值是此處B是同無關的，也就是說，的變化速度同作用力成比例，而同參數(shù)的值無關。我們稱因子B為“體系關于的遷移率”。因此，如果有外力作用著，而量不為分子的不規(guī)則的熱過程所改變，那么在時間內，就有個體系點在負的方向上通過點（）。進一步假設：一個體系的參數(shù)在時間t內由于不規(guī)則的熱過程而經受的變化的值處于和之間的幾率等于，此外，而是同無關的。于是由于不規(guī)則的熱過程，在時間內，在正方向上通過點（）的體系點，其數(shù)目是如果我們置由于不規(guī)則的熱過程而向負方向移動的體系點，其數(shù)目則是關于函數(shù)F的不變性的數(shù)學表示因而是如果我們引進已經求得的關于，和的表示式，并且記住是無限小的，或者只有對于的無限小值才不等于零，那么經過簡單的運算后，我們就得到這里表示在時間t內由不規(guī)則的熱過程所引起的量變化的平方的平均值。從這個關系式，考慮到方程（Ⅰa）,我們得到：（Ⅱ）這里R是氣體方程的常數(shù)（），N是一個克分子實際分子的數(shù)目（大約為），B是“體系關于參數(shù)的遷移率”，T是絕對溫度，是由于不規(guī)則的熱過程所引起的的變化所經歷的時間?！?把推導出的方程應用于布朗運動我們現(xiàn)在借助方程（Ⅱ）首先來計算一個懸浮在液體中的球形物體在時間內在一定方向（坐標系的X軸方向）上所經歷的平均位移。為此目的，我們必須把相應的B值代入那個方程。如果有一個力作用在一個半徑為的球上，而這個球是懸浮在摩擦系數(shù)為的液體中的，那么它就會以速度運動著。因此，我們可以置于是我們就得到——同前面應用的那篇論文相一致——懸浮在X軸方向上的平均位移的值其次，我們討論這樣的情況，即所考查的球在液體中可以繞它的直徑作無向位摩擦的自由轉動，并且我們要去求，由于不規(guī)則的熱過程，這個球在時間內的平均轉動。如果有動量矩D作用在一個半徑為P的球上，這個球能夠在摩擦系數(shù)為k的液體中繞軸旋轉，那么旋轉的角度是我們從而必須置因此，我們得到因此，由分子運動所引起的旋轉運動隨著P的增加而減少的程度要比平均運動快得多。對于毫米以及17℃的水，這公式給出一秒鐘內所經歷的角平均大約是11弧度秒；在一小時內大約11弧度分。對于微米以及17℃的水，對于秒鐘，我們得到大約100角度。在一個自由浮動的懸浮粒子的情況下，有三個彼此獨立的這種類型的旋轉運動發(fā)生。所推導出的這個關于的公式還可以用于別的情況。比如，要是用閉電路的電阻的倒數(shù)來代替B，那么這公式就表明在時間內平均有多少電通過任何一個導體的橫截面，這個關系式又是同那個關于長波長和高溫的黑體輻射的極限定律有聯(lián)系的。可是，既然我未能找到更多的可供實驗驗證的結果，所以在我看來，去討論更多的特殊情況，那是無益的。§5關于公式有效的極限很清楚，公式（Ⅱ）不能適用于任何任意短的時間。也就是說，由于熱過程，的平均變化速度對干無限小的時間間隔就變成了無限大，這顯然是不可能的，因為要不然每個懸浮粒子都必須以無限大的瞬時速度在運動。這個緣由在于，在我們的展開中，我們無形中假定了：時間內的現(xiàn)象過程，必須被看作是同其緊接著的前面時間內的現(xiàn)象過程無關的事件。但是，所選取的時間愈短，這個假定就愈難站得住腳。如果確實在時間時，變化速度的瞬時值是又如果在以后的某個時間間隔內，變化速度不受不規(guī)則的熱過程的影響，而的變化僅僅