高一數(shù)列專項典型練習題及解析答案

------------------------------------------------------------------------高一數(shù)列專項典型練習題及解析答案一．選擇題（共11小題）1．（2014?天津模擬）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1），數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）2．（2014?天津）設{an}的首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1=（）A．2B．﹣2C．D．﹣3．（2014?河南一模）設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若，則=（）A．1B．﹣1C．2D．4．（2014?河東區(qū)一模）閱讀圖的程序框圖，該程序運行后輸出的k的值為（）A．5B．6C．7D．85．（2014?河西區(qū)三模）設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2+a5=0，則等于（）A．11B．5C．﹣8D．﹣116．（2014?河西區(qū)二模）數(shù)列{an}滿足a1=2，an=，其前n項積為Tn，則T2014=（）A．B．﹣C．6D．﹣67．（2014?河西區(qū)一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，則S9=（）A．9B．12C．14D．188．（2013?南開區(qū)一模）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S7=28，S11=66，則S9的值為（）A．47B．45C．38D．549．（2013?天津一模）在等比數(shù)列{an}中，，則a3=（）A．±9B．9C．±3D．310．（2012?天津）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出s的值為（）A．8B．18C．26D．8011．（2012?天津模擬）在等差數(shù)列{an}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么該數(shù)列的前14項和為（）A．20B．21C．42D．84二．填空題（共7小題）12．（2014?天津）設{an}是首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_________．13．（2014?紅橋區(qū)二模）某公司推出了下表所示的QQ在線等級制度，設等級為n級需要的天數(shù)為an（n∈N*），等級等級圖標需要天數(shù)等級等級圖標需要天數(shù)157772128963211219243216320545321152660482496則等級為50級需要的天數(shù)a50=_________．14．（2014?鄭州模擬）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，則a5+a6+a7=_________．15．（2014?廈門一模）已知數(shù)列{an}中，an+1=2an，a3=8，則數(shù)列{log2an}的前n項和等于_________．16．（2014?河西區(qū)一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，并滿足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，則S9=_________．17．（2014?天津模擬）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2+a4=6，S4=10．則a10=_________．18．（2014?北京模擬）設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2+a5=2am，則m=_________．三．解答題（共12小題）19．（2014?濮陽二模）設{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}、{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和Sn．20．（2014?天津三模）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=﹣an﹣+2（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=2nan．（1）求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設數(shù)列{an}的前n項和為Tn，證明：n∈N*且n≥3時，Tn＞；（3）設數(shù)列{cn}滿足an（cn﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ為非零常數(shù)，n∈N*），問是否存在整數(shù)λ，使得對任意n∈N*，都有cn+1＞cn．21．（2014?天津模擬）在等差數(shù)列{an}中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求an與bn；（Ⅱ）設cn=an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．22．（2009?河西區(qū)二模）已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=9，a2+a6=10；又數(shù)列{bn}滿足nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=Sn，其中Sn是首項為1，公比為的等比數(shù)列的前n項和．（1）求an的表達式；（2）若cn=﹣anbn，試問數(shù)列{cn}中是否存在整數(shù)k，使得對任意的正整數(shù)n都有cn≤ck成立？并證明你的結論．23．已知等比數(shù)列{an}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）Sn為{an}的前n項和，證明：Sn=（Ⅱ）設bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．24．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為sn=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，數(shù)列{bn}}滿足an=4log2bn，求數(shù)列{bn}的前n項和．25．已知數(shù)列{an}（n∈N*）是等比數(shù)列，且an＞0，a1=3，a3=27．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an和前項和Sn；（2）設bn=2log3an+1，求數(shù)列{bn}的前項和Tn．26．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=9，S5=65．（I）求{an}的通項公式：（II）令，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．27．已知等比數(shù)列{an}滿足a2=2，且2a3+a4=a5，an＞0．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=（﹣1）n3an+2n+1，數(shù)列{bn}的前項和為Tn，求Tn．28．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項的和為Sn，且S3，S9，S6成等差數(shù)列．（1）求q3的值；（2）求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列．29．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，，．（I）求an；（II）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．30．已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，已知a2=8，S10=185．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設an=log2bn（n=1，2，3…），證明{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

高一數(shù)列專項典型練習題參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．（2014?天津模擬）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1），數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）考點：數(shù)列的函數(shù)特性．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解答：解：∵{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴，解得7≤a＜8．故選：A．點評：本題考查了分段函數(shù)的意義、一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．2．（2014?天津）設{an}的首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1=（）A．2B．﹣2C．D．﹣考點：等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等差數(shù)列的前n項和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比數(shù)列列式求解a1．解答：解：∵{an}是首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得：，即，解得：．故選：D．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎的計算題．3．（2014?河南一模）設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若，則=（）A．1B．﹣1C．2D．考點：等差數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得=，代入已知可得．解答：解：由題意可得====1故選A點評：本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎題．4．（2014?河東區(qū)一模）閱讀圖的程序框圖，該程序運行后輸出的k的值為（）A．5B．6C．7D．8考點：等比數(shù)列的前n項和；循環(huán)結構．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算變量s，k的值，最后輸出k的值，列舉出循環(huán)的各個情況，不難得到輸出結果．解答：解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：循環(huán)前：k=0，s=0，每次循環(huán)s，k的值及是否循環(huán)分別如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否滿足S＞100，退出循環(huán)，此時k值為7故選C點評：本小題主要考查循環(huán)結構、等比數(shù)列等基礎知識．根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，5．（2014?河西區(qū)三模）設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2+a5=0，則等于（）A．11B．5C．﹣8D．﹣11考點：等比數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得數(shù)列的公比q，代入求和公式化簡可得．解答：解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，（q≠0）由題意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故選D點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題．6．（2014?河西區(qū)二模）數(shù)列{an}滿足a1=2，an=，其前n項積為Tn，則T2014=（）A．B．﹣C．6D．﹣6考點：數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．分析：根據(jù)數(shù)列{an}滿足a1=2，an=，可得數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，且a1a2a3a4=1，即可得出結論．解答：解：∵an=，∴an+1=，∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，∴數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，∴T2014=﹣6．故選：D．點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查學生分析解決問題的能力，確定數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，且a1a2a3a4=1是關鍵．7．（2014?河西區(qū)一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，則S9=（）A．9B．12C．14D．18考點：數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．分析：直接由數(shù)列遞推式得到數(shù)列為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的性質(zhì)結合a6=4﹣a4得到a5的值，然后直接代入前n項和得答案．解答：解：∵an+2=2an+1﹣an，∴2an+1=an+an+2∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．又a6=4﹣a4，∴a4+a6=4，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：2a5=a4+a6=4，得a5=2．∴S9=9a5=9×2=18．故選：D．點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關系得確定，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和，是中檔題．8．（2013?南開區(qū)一模）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S7=28，S11=66，則S9的值為（）A．47B．45C．38D．54考點：等差數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設公差為d，利用等差數(shù)列前n項和列關于a1、d的方程組，解出a1，d，再用前n項和公式可得S9的值．解答：解：設公差為d，由S7=28，S11=66得，，即，解得，所以S9=9×1=45．故選B．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，考查方程思想，考查學生的運算能力，屬基礎題．9．（2013?天津一模）在等比數(shù)列{an}中，，則a3=（）A．±9B．9C．±3D．3考點：等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設出公比，利用條件，可得=27，=3，兩式相除，可得結論．解答：解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則∵，∴=27，=3兩式相除，可得∴a3=±3故選C．點評：本題考查等比數(shù)列的定義，考查學生的計算能力，屬于基礎題．10．（2012?天津）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出s的值為（）A．8B．18C．26D．80考點：數(shù)列的求和；循環(huán)結構．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：根據(jù)框圖可求得S1=2，S2=8，S3=26，執(zhí)行完后n已為4，故可得答案．解答：解：由程序框圖可知，當n=1，S=0時，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2時，S2=8；n=3，S2=8時，S3=26；執(zhí)行完后n已為4，故輸出的結果為26．故選C．點評：本題考查數(shù)列的求和，看懂框圖循環(huán)結構的含義是關鍵，考查學生推理、運算的能力，屬于基礎題．11．（2012?天津模擬）在等差數(shù)列{an}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么該數(shù)列的前14項和為（）A．20B．21C．42D．84考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：由數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，化簡已知的等式，可得出a4+a11的值，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到a1+a14=a4+a11，由a4+a11的值得到a1+a14的值，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式表示出該數(shù)列的前14項之和，將a1+a14的值代入即可求出值．解答：解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3，∵a1+a14=a4+a11=3，則該數(shù)列的前14項和S14==21．故選B點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關鍵．二．填空題（共7小題）12．（2014?天津）設{an}是首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為﹣．考點：等比數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由條件求得，Sn=，再根據(jù)S1，S2，S4成等比數(shù)列，可得=S1?S4，由此求得a1的值．解答：解：由題意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn==，再根據(jù)若S1，S2，S4成等比數(shù)列，可得=S1?S4，即=a1?（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案為：﹣．點評：本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．13．（2014?紅橋區(qū)二模）某公司推出了下表所示的QQ在線等級制度，設等級為n級需要的天數(shù)為an（n∈N*），等級等級圖標需要天數(shù)等級等級圖標需要天數(shù)157772128963211219243216320545321152660482496則等級為50級需要的天數(shù)a50=2700．考點：數(shù)列的概念及簡單表示法；歸納推理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由表格可知：an=5+7+…+（2n+3），利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．解答：解：由表格可知：an=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案為：2700．點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式、歸納推理等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．14．（2014?鄭州模擬）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，則a5+a6+a7=24．考點：等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意，聯(lián)立兩方程a2+a3=1，a3+a4=﹣2解出等比數(shù)列的首項與公比，即可求出a5+a6+a7的值．解答：解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，兩式作商得q=﹣2．代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．解得a1=．所以a5+a6+a7=（24﹣25+26）=24．故答案為：24．點評：本題考查對數(shù)計算與等比數(shù)列性質(zhì)的運用，屬于基本計算題15．（2014?廈門一模）已知數(shù)列{an}中，an+1=2an，a3=8，則數(shù)列{log2an}的前n項和等于．考點：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知條件推導出{an}是首項和公比都是2的等比數(shù)列，從而得到，log2an=n，由此能求出數(shù)列{log2an}的前n項和．解答：解：∵數(shù)列{an}中，an+1=2an，∴=2，∴{an}是公比為2的等比數(shù)列，∵a3=8，∴，解得a1=2，∴，∴l(xiāng)og2an=n，∴數(shù)列{log2an}的前n項和：Sn=1+2+3+…+n=．故答案為：．點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．16．（2014?河西區(qū)一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，并滿足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，則S9=18．考點：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知條件推導出數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)能求出結果．解答：解：∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，并滿足an+2=2an+1﹣an，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，∴=．故答案為：18．點評：本題考查數(shù)列的前9項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．17．（2014?天津模擬）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2+a4=6，S4=10．則a10=10．考點：等差數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知條件，利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，建立方程組，求出首項和公差，由此能求出結果．解答：解：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，∵a2+a4=6，S4=10，設公差為d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案為：10．點評：本題考查等差數(shù)列中第10項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，要熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)．18．（2014?北京模擬）設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2+a5=2am，則m=8．考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的通項公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：由S3，S9，S6成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，利用等比數(shù)列的前n項和公式化簡，得到關于q的關系式，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡a2+a5=2am的左右兩邊，將得到的關于q的關系式整理后代入，即可得出m的值．解答：解：∵Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且S3，S9，S6成等差數(shù)列，∴2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2am=2a1qm﹣1，且a2+a5=2am，∴2a1q7=2a1qm﹣1，即m﹣1=7，則m=8．故答案為：8點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式及求和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關鍵．三．解答題（共12小題）19．（2014?濮陽二模）設{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}、{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和Sn．考點：等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題；壓軸題．分析：（Ⅰ）設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，聯(lián)立方程求得d和q，進而可得{an}、{bn}的通項公式．（Ⅱ）數(shù)列的通項公式由等差和等比數(shù)列構成，進而可用錯位相減法求得前n項和Sn．解答：解：（Ⅰ）設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則依題意有q＞0且解得d=2，q=2．所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．（Ⅱ）．，①，②②﹣①得，===．點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和用錯位相減法求和．20．（2014?天津三模）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=﹣an﹣+2（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=2nan．（1）求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設數(shù)列{an}的前n項和為Tn，證明：n∈N*且n≥3時，Tn＞；（3）設數(shù)列{cn}滿足an（cn﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ為非零常數(shù)，n∈N*），問是否存在整數(shù)λ，使得對任意n∈N*，都有cn+1＞cn．考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與不等式的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）由已知條件推導出2nan=2n﹣1an﹣1+1．由此能證明{數(shù)列bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．從而求出an=．（2）由（1）知=（n+1）?（）n，利用錯位相減法能求出Tn=3﹣．再用數(shù)學歸納法能證明n∈N*且n≥3時，Tn＞．（3）由an（cn﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得cn，對任意n∈N+，都有cn+1＞cn即cn+1﹣cn＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1?λ＜（）n﹣1，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可解決．解答：（1）證明：在Sn=﹣an﹣+2（n∈N*）中，令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，當n≥2時，Sn﹣1=﹣an﹣1﹣（）n﹣2+2，∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+（）n﹣1，∴2an=an﹣1+（）n﹣1，即2nan=2n﹣1an﹣1+1．∵bn=2nan，∴bn=bn﹣1+1，即當n≥2時，bn﹣bn﹣1=1，又b1=2a1=1，∴{數(shù)列bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．于是bn=1+（n﹣1）?1=n=2nan，∴an=．（2）證明：∵，∴=（n+1）?（）n，∴Tn=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②①﹣②，得：=1+=1+﹣（n+1）?（）n+1=，∴Tn=3﹣．∴Tn﹣=3﹣=，∴確定Tn與的大小關系等價于比較2n與2n+1的大?。旅嬗脭?shù)學歸納法證明n∈N*且n≥3時，Tn＞．①當n=3時，23＞2×3+1，成立②假設當n=k（k≥3）時，2k＞2k+1成立，則當n=k+1時，2k+1=2?2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，∴當n=k+1時，也成立．于是，當n≥3，n∈N*時，2n＞2n+1成立∴n∈N*且n≥3時，Tn＞．（3）由，得=3n+（﹣1）n﹣1?λ?2n，∴cn+1﹣cn=[3n+1+（﹣1）n?λ?2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1?λ?2n]=2?3n﹣3λ（﹣1）n﹣1?2n＞0，∴，①當n=2k﹣1，k=1，2，3，…時，①式即為λ＜，②依題意，②式對k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，當n=2k，k=1，2，3，…時，①式即為③，依題意，③式對k=1，2，3…都成立，∴，∴，又λ≠0，∴存在整數(shù)λ=﹣1，使得對任意n∈N*有cn+1＞cn．點評：本題考查數(shù)列遞推式、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和等知識，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．21．（2014?天津模擬）在等差數(shù)列{an}中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求an與bn；（Ⅱ）設cn=an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．考點：等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）根據(jù)b2+S2=12，{bn}的公比，建立方程組，即可求出an與bn；（2）由an=3n，bn=3n﹣1，知cn=an?bn=n?3n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項和Tn．解答：解：（1）∵在等差數(shù)列{an}中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，．∴b2=b1q=q，，（3分）解方程組得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分）（2）∵an=3n，bn=3n﹣1，∴cn=an?bn=n?3n，∴數(shù)列{cn}的前n項和Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，∴﹣2Tn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴Tn=×3n+1﹣．點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和錯位相減法的合理運用．22．（2009?河西區(qū)二模）已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=9，a2+a6=10；又數(shù)列{bn}滿足nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=Sn，其中Sn是首項為1，公比為的等比數(shù)列的前n項和．（1）求an的表達式；（2）若cn=﹣anbn，試問數(shù)列{cn}中是否存在整數(shù)k，使得對任意的正整數(shù)n都有cn≤ck成立？并證明你的結論．考點：等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用等比數(shù)列的通項公式、、分類討論的思想方法即可得出．解答：解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，∴，解得，∴an=2+1×（n﹣1）=n+1．（2）∵Sn是首項為1，公比為的等比數(shù)列的前n項和，∴nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=，①（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2bn﹣2+bn﹣1=…+，②①﹣②得b1+b2+…+bn=，即．當n=1時，b1=Tn=1，當n≥2時，bn=Tn﹣Tn﹣1==．∴．．于是cn=﹣anbn．設存在正整數(shù)k，使得對?n∈N*，都有cn≤ck恒成立．當n=1時，，即c2＞c1．當n≥2時，==．∴當n＜7時，cn+1＞cn；當n=7時，c8=c7；當n＞7時，cn+1＜cn．∴存在正整數(shù)k=7或8，使得對?n∈N*，都有cn≤ck恒成立．點評：熟練掌握等差數(shù)列的圖象公式、分類討論的思想方法、等比數(shù)列的通項公式、、分類討論的思想方法是解題的關鍵．23．已知等比數(shù)列{an}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）Sn為{an}的前n項和，證明：Sn=（Ⅱ）設bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．考點：等比數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題．分析：（I）根據(jù)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=，公比q=，求出通項公式an和前n項和Sn，然后經(jīng)過運算即可證明．（II）根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式和對數(shù)函數(shù)運算性質(zhì)求出數(shù)列{bn}的通項公式．解答：證明：（I）∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1=，q=∴an=×=，Sn=又∵==Sn∴Sn=（II）∵an=∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33=﹣（1+2+…+n）=﹣∴數(shù)列{bn}的通項公式為：bn=﹣點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和以及對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)．24．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為sn=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，數(shù)列{bn}}滿足an=4log2bn，求數(shù)列{bn}的前n項和．考點：等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：（I）根據(jù)前n項和與通項間的關系，得到an=2pn﹣p﹣2，再根據(jù){an}是等差數(shù)列，a1滿足an，列出方程p﹣2+q=2p﹣p﹣2，即可求解（Ⅱ）由（I）知an=4n﹣4，再根據(jù)an=4log2bn，得bn=2n﹣1，故{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求解解答：解：（I）當n=1時，a1=s1=p﹣2+q當n≥2時，an=sn﹣sn﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2由{an}是等差數(shù)列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2所以an=4n﹣4又an=4log2bn，得bn=2n﹣1，故{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn=．點評：本題考查了數(shù)列的前n項和與通項間的關系及等比數(shù)列的求和問題，在解題中需注意前n項和與通項間的關系是個分段函數(shù)的關系，但最后要驗證n=1是否滿足n≥2時的情況，屬于基礎題．25．已知數(shù)列{an}（n∈N*）是等比數(shù)列，且an＞0，a1=3，a3=27．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an和前項和Sn；（2）設bn=2log3an+1，求數(shù)列{bn}的前項和Tn．考點：等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：（1）先根據(jù)a3=a1?q2=27求出q2，然后根據(jù)an＞0，求出q的值，再由等比數(shù)列的公式求出數(shù)列{an}的通項公式an和前項和Sn；（2）由（1）得出數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式得出結果．解答：解：（1）設公比為q，則a3=a1?q2，∴27=3q2，即q2=9∵an＞0，∴（2）由（1）可知bn=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，又bn+1﹣bn=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，故數(shù)列{bn}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴．點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和，此題比較容易，只要認真作答就可以保障正確，屬于基礎題．26．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=9，S5=65．（I）求{an}的通項公式：（II）令，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．考點：等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題．分析：（I）利用等差數(shù)列的首項a1及公差d表示已知條件，解出a1，d代入等差數(shù)列的通項公式可求（II）由（I）可求，從而可得數(shù)列{bn}是首項為b1=32，公比q=16的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的前n項和公式可求解答：解：（I）（2分）解得：（4分），所以an=4n+1（6分）（II）由（I）知（7分）因為，（8分）所以{bn}是首項為b1=32，公比q=16的等比數(shù)列（9分），所以．（12分）點評：在數(shù)列的基本量的求解中要求考生熟練掌握基本公式，具備一定的計算能力，本題屬于基礎試題．27．已知等比數(shù)列{an}滿足a2=2，且2a3+a4=a5，an＞0．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=（﹣1）n3an+2n+1，數(shù)列{bn}的前項和為Tn，求Tn．考點：等比數(shù)列的前n項和；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則，解方程可求a1，q結合等比數(shù)列的通項公式即可求解（Ⅱ）由bn=（﹣1）n3an+2n+1=﹣3?（﹣2）n﹣1+2n+1，利用分組求和，結合等比與等差數(shù)列的求和公式即可求解解答：（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則…（2分）整理得q2﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2，∵an＞0，∴q=2．代入可得a1=1∴．…（6分）（Ⅱ）∵bn=（﹣1）n3