高中數(shù)列知識大總結(jié)(絕對全)

PAGE2高中數(shù)列知識大總結(jié)(絕對全)第六章數(shù)列PAGE31PAGE16二、重難點擊本章重點：數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項公式和前項和公式及運用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法、函數(shù)與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。知識網(wǎng)絡(luò)數(shù)列與正整數(shù)集關(guān)系數(shù)列與正整數(shù)集關(guān)系等差數(shù)列等比數(shù)列特殊數(shù)列求和方法公式法倒序相加法錯位相減法裂項相消法遞推公式通項公式數(shù)列第一課時數(shù)列四、數(shù)列通項與前項和的關(guān)系1．2．課前熱身3．數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列各項中最小項是(B)A．第４項B．第５項C．第６項D．第７項4．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其通項公式為,則實數(shù)的取值范圍是5．數(shù)列的前項和,，則題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，分別寫出它們的一個通項公式=1\*GB2⑴7，77，777，7777，…=3\*GB2⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…解析：=1\*GB2⑴將數(shù)列變形為，=3\*GB2⑶將已知數(shù)列變?yōu)?+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…?？傻脭?shù)列的通項公式為點撥：本例的求解關(guān)鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項與項數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項。題型二應(yīng)用求數(shù)列通項例2．已知數(shù)列的前項和，分別求其通項公式.=1\*GB2⑴解析：=1\*GB2⑴當，當又不適合上式，故三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項【例3】根據(jù)下列各個數(shù)列的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式=1\*GB2⑴解析：=1\*GB2⑴因為，所以所以…，…，以上個式相加得即：點撥：在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系數(shù)法或迭代法。課外練習3設(shè)，()，則的大小關(guān)系是(C)A．B．C．D．不能確定解：因為所以，選Ｃ．二、填空題 5．已知數(shù)列的前項和則7．已知數(shù)列的通項（），則數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是解：構(gòu)造函數(shù)由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上遞減，且函數(shù)在上遞增且三、解答題6.2等差數(shù)列知識要點2．遞推關(guān)系與通項公式是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。３．等差中項：若成等差數(shù)列，則稱的等差中項，且；成等差數(shù)列是的充要條件。４．前項和公式；是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。5．等差數(shù)列的基本性質(zhì)=1\*GB2⑴反之，不成立。=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷仍成等差數(shù)列。６．判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項和公式法：是等差數(shù)列課前熱身2．等差數(shù)列中，A．14B．15C．16D．17解解。3．等差數(shù)列中，，則前10或11項的和最大。解：∴為遞減等差數(shù)列∴為最大。4．已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為－110解：∵成等差數(shù)列，公差為D其首項為，前10項的和為６．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知=1\*GB3①求出公差的范圍，=2\*GB3②指出中哪一個值最大，并說明理由。解：=1\*GB3①=2\*GB3②課外練習選擇題已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項的和，則其公差等于(D)已知等差數(shù)列中，等于（A）A．15B．30C．31D．64二、填空題設(shè)為等差數(shù)列的前項和，=54已知等差數(shù)列的前項和為，若設(shè)F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同點組成公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍為解：橢圓的焦點F到橢圓上的點最大、最小距離分別為，由題意得：三、解答題等差數(shù)列的前項和記為，已知=1\*GB3①求通項；=2\*GB3②若=242，求解：由，=242甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2，以后每分鐘比前一分鐘多走1，乙每分鐘走5，=1\*GB3①甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？=2\*GB3②如果甲乙到對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1，乙繼續(xù)每分鐘走5，那么，開始運動幾分鐘后第二次相遇？解：=1\*GB3①設(shè)分鐘后第一次相遇，依題意有：故第一次相遇是在開始運動后7分鐘。=2\*GB3②設(shè)分鐘后第二次相遇，則：故第二次相遇是在開始運動后15分鐘10．已知數(shù)列中，前和=1\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\*GB3②求數(shù)列的通項公式=3\*GB3③設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。解：=1\*GB3①∵∴數(shù)列為等差數(shù)列。=2\*GB3②=3\*GB3③要使得對一切正整數(shù)恒成立，只要≥，所以存在實數(shù)使得對一切正整數(shù)都成立，的最小值為。6.3等比數(shù)列知識要點定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為。遞推關(guān)系與通項公式等比中項：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。前項和公式等比數(shù)列的基本性質(zhì)，=1\*GB3①反之不真！=2\*GB3②=3\*GB3③為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列。=4\*GB3④仍成等比數(shù)列。等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化=1\*GB3①是等差數(shù)列是等比數(shù)列；=2\*GB3②是正項等比數(shù)列是等差數(shù)列；=3\*GB3③既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列。等比數(shù)列的判定法=1\*GB3①定義法：為等比數(shù)列；=2\*GB3②中項法：為等比數(shù)列；=3\*GB3③通項公式法：為等比數(shù)列；=4\*GB3④前項和法：為等比數(shù)列。已知數(shù)列是等比數(shù)列，且70（問題引入）猜想：是等比數(shù)列，公比為。證明如下：∵即：，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列。二、性質(zhì)運用例2：=1\*GB2⑴在等比數(shù)列中，=1\*GB3①求，=2\*GB3②若=2\*GB2⑵在等比數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在等比數(shù)列中，若則有等式成立。解：=1\*GB2⑴=1\*GB3①由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：=2\*GB3②由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是等差數(shù)列，因為=2\*GB2⑵由題設(shè)可知，如果在等差數(shù)列中有成立，我們知道，如果，而對于等比數(shù)列，則有所以可以得出結(jié)論，若成立，在本題中點撥：歷年高考對性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握。典例精析錯位相減法求和例1：求和：解：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①－=2\*GB3②得：點撥：=1\*GB3①若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法；=2\*GB3②當?shù)缺葦?shù)列公比為字母時，應(yīng)對字母是否為1進行討論；=3\*GB3③當將與相減合并同類項時，注意錯位及未合并項的正負號。裂項相消法求和例2：數(shù)列滿足=8，（）=1\*GB3①求數(shù)列的通項公式；則所以，=8＋（－1）×（－2）＝―10－2=2\*GB3②對一切恒成立。故的最大整數(shù)值為5。點撥：=1\*GB3①若數(shù)列的通項能轉(zhuǎn)化為的形式，常采用裂項相消法求和。=2\*GB3②使用裂項消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項。奇偶分析法求和例3：設(shè)二次函數(shù)在等差數(shù)列中，=1，前項和滿足=1\*GB3①求數(shù)列的通項公式=2\*GB3②記，求數(shù)列的前項和。解：=1\*GB3①設(shè)數(shù)列的公差為，由所以==2\*GB3②由，有所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①－=2\*GB3②得課外練習數(shù)列的前項和為，若等于（B）４．的定義域為，且是以2為周期的周期函數(shù)，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，那么的值為（C）A．－1B．1C．0D．10解：因為函數(shù)的定義域為，且是以2為周期的周期函數(shù)，所以又數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列故原式=0，選C。二、填空題５．設(shè)等比數(shù)列的公比與前項和分別為和，且≠1，6．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為=）７．數(shù)列的前100項的和為。（）選校網(wǎng)高考頻道專業(yè)大全歷年分數(shù)線上萬張大學圖片大學視頻院校庫PAGE42選校網(wǎng)專業(yè)大全歷年分數(shù)線上萬張大學圖片大學視頻院校庫典例精析函數(shù)與數(shù)列的綜合問題=1\*GB3①設(shè)是常數(shù)，求證：成等差數(shù)列；=2\*GB3②若，的前項和是，當時，求解：=1\*GB3①，=2\*GB3②點撥：本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項公式，從而問題得到求解。已知正項數(shù)列的前項和為，的等比中項，=1\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；=2\*GB3②若，數(shù)列的前項和為，求=3\*GB3③在=2\*GB3②的條件下，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出；若不存在，說明理由。解：=1\*GB3①的等比中項，所以數(shù)列是等差數(shù)列。=2\*GB3②所以當且僅當3+=0，即=－3時，數(shù)列為等比數(shù)列。已知在正項數(shù)列中，=2，且在雙曲線上，數(shù)列中，點（，）在直線上，其中是數(shù)列的前項和，=1\*GB3①求數(shù)列的通項公式；=2\*GB3②求證：數(shù)列是等比數(shù)列。=3\*GB3③若。解：=1\*GB3①由已知帶點在上知，－＝１，所以數(shù)列是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列。所以=2\*GB3②因為點（,）在直線上，=3\*GB3③一、選擇題1.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當時，A.B.C.D.【解析】由得，，則，，選C.答案C2.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為，若=3，則=A.2B.C.D.3【解析】設(shè)公比為q,則＝1＋q3＝3q3＝2于是【答案】B14.(2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為__________。答案4532解析（1）若為偶數(shù)，則為偶,故①當仍為偶數(shù)時，故②當為奇數(shù)時，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=516.（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則.解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n.答案:2n17.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則.答案：122.（2009全國卷Ⅰ理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式（II）求數(shù)列的前項和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式:()（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=23.（2009北京理）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）證明：，且；（Ⅲ）證明：當時，成等比數(shù)列.【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.（Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A，由于，∴，故.從而，∴.∵，∴，故.由A具有性質(zhì)P可知.又∵，∴，從而，∴.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，有，即，∵，∴，∴，由A具有性質(zhì)P可知.，得，且，∴，∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列.25（2009江蘇卷）對于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對于隨機選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對任意正整數(shù)≥2，有.【解析】[必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。29.（2009江西卷理）各項均為正數(shù)的數(shù)列，，且對滿足的正整數(shù)都有（1）當時，求通項（2）證明：對任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有解：（1）由得將代入化簡得所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗證，滿足題設(shè)條件.(2)由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為則考察函數(shù),則在定義域上有故對，恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.30.(2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。解（I）在中，令n=1，可得，即當時，，..又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.于是.(II)由（I）得，所以由①-②得于是確定的大小關(guān)系等價于比較的大小由可猜想當證明如下：證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。（2）假設(shè)時所以當時猜想也成立綜合（1）（2）可知，對一切的正整數(shù)，都有證法2：當時綜上所述，當，當時31.（2009四川卷文）設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；解（I）當時，又∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，…………………3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知∴當n為偶數(shù)時，設(shè)∴當n為奇數(shù)時，設(shè)∴∴對于一切的正整數(shù)n，都有∴不存在正整數(shù)，使得成立?！?分（III）由得又，當時，，當時，32.（2009湖南卷文）對于數(shù)列,若存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有,則稱數(shù)列為數(shù)列.（Ⅰ）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前n項和.給出下列兩組判斷：A組：①數(shù)列是B-數(shù)列,②數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：③數(shù)列是B-數(shù)列,④數(shù)列不是B-數(shù)列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；(Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解:（Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則.于是==所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列.（Ⅱ）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實上設(shè)=1，，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n，.由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有,即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列。（注：按題中要求組成其它命題解答時，仿上述解法）(Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的有.因為.記，則有.因此.故數(shù)列是B-數(shù)列.33.(2009陜西卷理)已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ)證明：。證明（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=1時，已證命題成立（2）假設(shè)當n=k時命題成立，即易知，那么=即也就是說，當n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當n=1時，，結(jié)論成立當時，易知35.（2009天津卷理）已知等差數(shù)列{}的公差為d（d0），等比數(shù)列{}的公比為q（q>1）。設(shè)=+…..+,=-+…..+(-1,n若==1，d=2，q=3，求的值；若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n；(Ⅲ)若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個不同的排列，，證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。（Ⅰ）解：由題設(shè)，可得所以，（Ⅱ）證明：由題設(shè)可得則①②式減去②式，得式加上②式，得③式兩邊同乘q，得所以，(Ⅲ)證明：因為所以若，取i=n若，取i滿足且由（1）,(2)及題設(shè)知，且當時，得即，…，又所以因此當同理可得，因此綜上，37.（2009年上海卷理）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。若，是否存在，有說明理由；找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明。[解法一]（1）由，得，．．．．．．2分整理后，可得，、，為整數(shù)，不存在、，使等式成立。．．．．．．5分（2）若，即，（*）（ⅰ）若則。當{}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．．．．7分（ⅱ）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數(shù)，，矛盾。綜上所述，只有當{}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．．．．10分【解法二】設(shè)則若d=0，則若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾綜上所述，有，10分（3）設(shè).，.13分取15分由二項展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,故當且僅當p=3s,sN時，命題成立.說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+……+am+p為偶數(shù)，但3k為奇數(shù)故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。當p=1時，則am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=當ｋ為偶數(shù)時，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分當p=3時，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時，存在m,4m+9=3k成立2分當p=5時，則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數(shù)，所以，當p=5時，所要求的m不存在故不是所有奇數(shù)都成立.2分三、解答題10.（2008全國I）設(shè)函數(shù)．數(shù)列滿足，．（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．（Ⅰ）證明：，故函數(shù)在區(qū)間(0