新疆克拉瑪依市高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆新疆克拉瑪依市高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合，然后利用交集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，，，.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為i B．C．的共軛復(fù)數(shù) D．為純虛數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義、純虛數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】解：∵，∴z的虛部為1，為純虛數(shù)，，∴正確的結(jié)論是D．故選：D．3．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，已知，，則公比（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，由題意，得，，因?yàn)椋?，所以，所以，解得或（舍?故選：B.4．我國(guó)古代科學(xué)家祖沖之之子祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”（“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高），意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，則它們的體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所表示的幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖可得該幾何體由長(zhǎng)為3，寬為2，高為2的長(zhǎng)方體兩頭挖去兩個(gè)半圓柱組成，即可求出體積.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖如圖所示，該幾何體由長(zhǎng)為3，寬為2，高為2的長(zhǎng)方體兩頭挖去兩個(gè)半圓柱組成.則可得該幾何體的體積為，根據(jù)“冪勢(shì)既同，則積不容異”規(guī)則可得該不規(guī)則幾何體的體積為.故選：C.5．已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求展開式中含和項(xiàng)，然后可得的展開式中常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)已知解方程可得.【詳解】展開式中第項(xiàng)當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，所以，得.故選：A6．函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把方程變形，把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象與另一函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算可得．【詳解】解：因?yàn)?，令，即，?dāng)時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)，作出和的圖象，如圖，它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖象可知它們?cè)谏嫌?個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，每對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為，所以4個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．故選：C．7．已知，，，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】充分性：已知，，，，如下圖所示：取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，則，但直線與不垂直，充分性不成立；必要性：已知，，，，因?yàn)椋?，，，故，必要性成?因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.項(xiàng)為：、、、、、、、、、，通項(xiàng)公式為，若把這個(gè)數(shù)列排成下側(cè)形狀，并記表示第行中從左向右第個(gè)數(shù)，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】確定在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，設(shè)數(shù)陣第行的項(xiàng)數(shù)為，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，是數(shù)列的第項(xiàng)，因此，.故選：D.9．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【答案】B【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式將化為，設(shè)平移了個(gè)單位，從而得到方程，求出，得到答案.【詳解】，設(shè)平移了個(gè)單位，得到，則，解得：，即向右平移了個(gè)單位.故選：B10．已知橢圓的上焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性、橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的判定方法、平行四邊形的性質(zhì)、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)橢圓的上焦點(diǎn)為，顯然，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，所以有，因此四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，所以有，因此三角形是以為斜邊的直角三角形，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，由橢圓的定義可知：，故選：A11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的取值不可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)是內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)且，確定點(diǎn)的軌跡，然后求出線段長(zhǎng)度的取值范圍即可.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接由正方體知平面又因?yàn)辄c(diǎn)是內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為線段（不含端點(diǎn)），又因?yàn)?，，由等面積法得到點(diǎn)到的距離為，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是.所以線段長(zhǎng)度的取值不可能為.故選：A.12．若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由為奇函數(shù)可得m，然后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，然后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以恒成立，即恒成立，所以因?yàn)?，所以所以恒成?即恒成立記，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以所以恒成立即，亦即恒成立記，則易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值所以，即k的取值范圍為故選：D二、填空題13．從集合的非空子集中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的集合，則的概率為_____.【答案】【分析】先求解集合的非空子集個(gè)數(shù)，然后求解滿足條件的選法，利用古典概型計(jì)算公式即可得出結(jié)論.【詳解】解：集合的非空子集有共3個(gè)，從3個(gè)中選兩個(gè)不同的集合，共有種選法，有，故，；或，2種選法，故概率為.故答案為：.14．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線被圓截得弦長(zhǎng)之比為:，則______________.【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及垂徑定理可以用將兩直線被圓所截弦長(zhǎng)表示出來(lái)，再根據(jù)題目信息求解的值【詳解】由題意知因?yàn)樗约纯傻霉蚀鸢笧椋?5．在中，已知，，則的值為______.【答案】【分析】由以及，可分別解得與，利用，用和角公式求解.【詳解】由，解得由，可知，由大邊對(duì)大角可知：為銳角；則：而

=故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查和角公式在三角形中的應(yīng)用，主要方法是對(duì)公式的利用；本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于利用大邊對(duì)大角，對(duì)題目中產(chǎn)生的兩個(gè)值進(jìn)行取舍.三、雙空題16．設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，則叫做向量在向量上的投影向量.如下圖，已知扇形的半徑為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，則弧的中點(diǎn)的坐標(biāo)為________；向量在上的投影向量為________.【答案】

【分析】由已知，根據(jù)給到的，先求解與的夾角，然后再利用點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，即可求解出，從而求解點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)前面求解出的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出和，先計(jì)算向量在上的投影，然后根據(jù)即可寫出向量在上的投影向量.【詳解】由已知，，，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為弧的中點(diǎn)，所以，扇形的半徑為1，所以弧滿足的曲線參數(shù)方程為，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的坐標(biāo)為，，，向量在上的投影為，因?yàn)椋韵蛄吭谏系耐队跋蛄繛?故答案為：；四、解答題17．第屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日至月日在北京和張家口聯(lián)合舉辦.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國(guó)人民參與冬季運(yùn)動(dòng)的大熱潮.某市舉辦了中學(xué)生滑雪比賽，從中抽取40名學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)繪制成莖葉圖和頻率分布直方圖如下，后來(lái)莖葉圖受到了污損，可見(jiàn)部分信息如圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值，并根據(jù)直方圖估計(jì)該市全體中學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)將頻率作為概率，若從該市全體中學(xué)生中抽取4人，記這4人中測(cè)試分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，中位數(shù)為，平均數(shù)為74.5；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合莖葉圖求出各組數(shù)據(jù)的頻率，再計(jì)算a值及估計(jì)中位數(shù)、平均數(shù)作答.（2）求出測(cè)試分?jǐn)?shù)不低于90分的概率，，借助二項(xiàng)分布求出分布列和期望作答.【詳解】(1)由頻率分布直方圖和莖葉圖知，測(cè)試分?jǐn)?shù)在的頻率依次為：，因此，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，則，顯然測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)t在區(qū)間內(nèi)，則有：，解得：，測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：.(2)測(cè)試分?jǐn)?shù)不低于90分的頻率為，的所有可能值是：0，1，2，3，4，顯然，，所以X的分布列為：X01234P數(shù)學(xué)期望.18．在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，分別為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若所成角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，再利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）根據(jù)已知條件可證是異面直線與所成的角，進(jìn)而可得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角即可.【詳解】(1)證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，故，又，且，故平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?(2)因?yàn)?，，?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：連接，因?yàn)椋?，故，所以是異面直線與所成的角，則，所以.則：，，，，所以.，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以.又平面的法向量，所以.又因?yàn)槎娼鞘氢g二面角，所以二面角的余弦值為.19．在中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若．(1)求角；(2)若，，D為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理邊角互化可得，即得；（2）利用和角公式及正弦定理，然后利用余弦定理可得.【詳解】(1)在中，由余弦定理知：，由正弦定理知：，得,,得：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?(2)，所以，由正弦定理知，所以，在中，由余弦定理知：，所以.20．已知（1）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：對(duì)一切，都有成立．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；【分析】(1)由已知得,設(shè),則,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)問(wèn)題等價(jià)于證明,設(shè),則,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求證即可．【詳解】解:(1),則,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,(1),對(duì)一切,恒成立,，即證明:(2)問(wèn)題等價(jià)于證明,由(1)可知,，；故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故；設(shè),則,時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值；故對(duì)一切，都有成立．21．已知過(guò)點(diǎn)、斜率為的直線與雙曲線：交于、兩點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）若為雙曲線的右焦點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）；（2）1或【詳解】（1）設(shè)直線：，與雙曲線方程聯(lián)立得.①因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，，，且.故.（2）設(shè)，.則，.又，于是，，.注意到，.則當(dāng)時(shí)，，.由或（舍去）.當(dāng)時(shí)，，.由或或（均不合題意，舍去）.綜上，的值為1或.22．在直角坐標(biāo)系中，圓的的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓經(jīng)過(guò)伸縮變換得曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求．【答案】(1)，（為參數(shù)）(2)【分析】（1）根據(jù)題意得變換后的方程為：，再利用公式求極坐標(biāo)方程即可，由題意得直線的極坐標(biāo)方程為，，再求出直角坐標(biāo)方程，再求參數(shù)方程即可；（2）聯(lián)立，則，計(jì)算求解即可.【詳