廣西桂林市梧州市高三高考聯(lián)合調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆廣西桂林市、梧州市高三高考聯(lián)合調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合B，然后由交集運(yùn)算可得答案.【詳解】由可得，所以又，所以.故選：C2．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后根據(jù)實(shí)部和虛部的定義求解即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可知，，因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，所以，解得，.故選：B.3．已知向量，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計(jì)算向量的模，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義，將展開，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，設(shè)與的夾角為，，所以，即，解得，故，故選：A.4．北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為，設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．189 B．252 C．324 D．405【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，解方程得出，最后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得出.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得：，所以.故選：C.5．已知，則關(guān)于x的方程有解的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得，結(jié)合長度比的幾何摡型，即可求解.【詳解】由關(guān)于x的方程有解，則滿足，解得，因?yàn)?，所以，根?jù)長度比的幾何摡型，可得方程有解的概率為.故選：A.6．已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為7，到軸的距離為5，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義計(jì)算可得；【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，所以，所以；故選：B7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式對所求式子進(jìn)行化簡，然后根據(jù)齊次式進(jìn)行求值即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

）A．18 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】結(jié)合已知條件可知幾何體為直三棱柱，然后利用柱體體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖可知，幾何體為直三棱柱，如下圖所示：由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知，的面積，從而該幾何體體積.故選：C.9．某保險(xiǎn)公司銷售某種保險(xiǎn)產(chǎn)品，根據(jù)2020年全年該產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）和該產(chǎn)品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖.根據(jù)雙層餅圖，下列說法正確的是（

）A．2020年第四季度的銷售額為380萬元B．2020年上半年的總銷售額為500萬元C．2020年2月份的銷售額為60萬元D．2020年12個(gè)月的月銷售額的眾數(shù)為60萬元【答案】D【分析】首先利用第二季度的銷售額占比和銷售總額求出全年的銷售額，然后根據(jù)雙層餅圖逐項(xiàng)求解即可.【詳解】不妨設(shè)全年總銷售額為萬元，則第二季度的銷售額可得，，解得，，選項(xiàng)A：第四季度銷售額為(萬元)，故A錯誤；選項(xiàng)B：由圖可知，上半年銷售額為(萬元)，故B錯誤；選項(xiàng)C：由圖可知，1月份和3月份銷售額之和為(萬元)，故2月份的銷售額為(萬元)，故C錯誤；選項(xiàng)D：由圖易知，2月份的銷售額占比為，從而由圖可知，月銷售額占比為的月份最多，故月銷售額的眾數(shù)為(萬元)，故D正確.故選：D.10．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和，若，則（

）A．13 B．15 C．31 D．33【答案】B【分析】由題意知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和，若，可先求出公比，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式給出的做對比，即可求出，即可求出分別前四項(xiàng)，即可得到前四項(xiàng)和.【詳解】是等比數(shù)列，，故，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，又，故，則.故選：B.11．在四邊型中（如圖1所示），，，，將四邊形沿對角線折成四面體（如圖2所示），使得，則四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知，由勾股定理求出，由三角形全等進(jìn)而得出，取的中點(diǎn)，連接，則，由于球心到球上任意一點(diǎn)的距離相等，從而可知點(diǎn)為四面體外接球的球心，求出外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可求出結(jié)果.【詳解】解：，，，又，則，，可知，則，取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)為四面體外接球的球心，則外接球的半徑為：，所以四面體外接球的表面積.故選：D.12．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于3，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．若，且，則C．以線段，為直徑的兩個(gè)圓外切D．若點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，則的實(shí)軸長為4【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率的方法求得，再由求出結(jié)果，即可判斷A選項(xiàng)；由，得，根據(jù)雙曲線的定義可得，根據(jù)題意得出和，可得出的值，即可判斷B選項(xiàng)；設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，則為的中位線，所以，根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系即可判斷C選項(xiàng)；由點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，得出，而得出的值，即可得出的實(shí)軸長，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對于A，設(shè)，則，因?yàn)椋本€與的斜率之積等于3，所以，得，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，所以，而為雙曲線的左支上一點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，且，所以，則，由，可得，即，解得：，故B錯誤；對于C，設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，則為的中位線，所以，則以線段為直徑的圓，圓心為，半徑，以線段為直徑的圓，圓心為，半徑，所以，故兩個(gè)圓外切，故C正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)到的一條漸近線的距離為，所以，又由前面的推理可知，所以，故的實(shí)軸長為，故D錯誤.故選：C.二、填空題13．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則______．【答案】1【分析】根據(jù)題意，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)，代入中可求出的值.【詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，解得：.故答案為：1.14．若，滿足約束條件則的最大值為________．【答案】【分析】根據(jù)線性規(guī)劃的約束條件畫出圖像，然后求目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解：畫出可行域知，直線和直線的交點(diǎn)為.當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值．故答案為：15．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為______．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，故函?shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為；故答案為：16．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的最大值為，則___________.【答案】【分析】先根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減及周期，確定，再根據(jù)函數(shù)的最大值求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值為，所以，即，所以.故答案為：三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為S，已知，．(1)求a；(2)若，求A．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)余弦定理將已知展開化簡，可得到，再根據(jù)，求得結(jié)果.（2）利用三角形的面積公式結(jié)合余弦定理化簡，可求得角，再根據(jù)，結(jié)合正弦定理將邊化為角，可得答案.【詳解】(1)在中，由可得：，即，則，而，所以；(2)由得：，又，所以,則，因?yàn)?，?根據(jù)得，，,又,所以或.18．某中學(xué)組織一支“鄒鷹”志愿者服務(wù)隊(duì)，帶領(lǐng)同學(xué)們利用周末的時(shí)間深入居民小區(qū)開展一些社會公益活動．現(xiàn)從參加了環(huán)境保護(hù)和社會援助這兩項(xiàng)社會公益活動的志愿者中，隨機(jī)抽取男生80人，女生120人進(jìn)行問卷調(diào)查（假設(shè)每人只參加環(huán)境保護(hù)和社會援助中的一項(xiàng)），整理數(shù)據(jù)后得到如下統(tǒng)計(jì)表：女生男生合計(jì)環(huán)境保護(hù)8040120社會援助404080合計(jì)12080200(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會公益活動所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)？(2)從本校隨機(jī)抽取的120名參與了問卷調(diào)查的女生中用分層抽樣的方法，從參加環(huán)境保護(hù)和社會援助的同學(xué)中抽取6人開座談會，現(xiàn)從這6人（假設(shè)所有的人年齡不同）中隨機(jī)抽取參加環(huán)境保護(hù)和社會援助的同學(xué)各1人，試求抽取的6人中參加社會援助的年齡最大的同學(xué)被選中且參加環(huán)境保護(hù)的年齡最大的同學(xué)未被選中的概率．附：，其中．【答案】(1)沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會公益活動所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)；(2)【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得，結(jié)合附表，即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求得參加環(huán)境保護(hù)的人數(shù)為4人，參加社會援助的人數(shù)為2人，列舉事件后可得概率.【詳解】(1)解：由題意，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，因?yàn)?，所以沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會公益活動所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)；(2)解：由題意，女生120中，參加環(huán)境保護(hù)的人數(shù)為80人，所以抽取的6人中，參加環(huán)境保護(hù)的人數(shù)為4人，記為A,B,C,D(其中A年齡最大)參加社會援助的人數(shù)為2人，記為a,b,(其中a年齡最大)從這6人中隨機(jī)抽取參加環(huán)境保護(hù)和社會援助的同學(xué)各1人，共有,8種基本情況；參加社會援助的年齡最大的同學(xué)被選中且參加環(huán)境保護(hù)的年齡最大的同學(xué)未被選中的基本情況有：，共3種，故所求概率為.19．如圖，AB是圓O的直徑，圓O所在的平面，C為圓周上一點(diǎn)，D為線段PC的中點(diǎn)，，.(1)證明：平面平面PBC.(2)若，求三棱錐B-ACD的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）首先證明平面PAC，即可得到，然后即可證明平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面平面PBC.（2）根據(jù)三棱錐的體積等于三棱錐的體積，從而可求出答案.【詳解】(1)因?yàn)閳AO所在的面，即平面ABC，而平面ABC，所以.因?yàn)锳B是圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，所以.又，所以平面PAC，而平面PAC，所以.因?yàn)椋?，所?又，所以，又D為線段PC的中點(diǎn)，所以.又，所以平面PBC，而平面ABD，所以平面平面PBC.(2)在中，因?yàn)?，，所以，，所?因?yàn)槠矫鍭BC，D為PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D到平面ABC的距離.所以.20．已知O坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，的面積為，原點(diǎn)O到直線AB的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)過C的左焦點(diǎn)F作弦DE，MN，這兩條弦的中點(diǎn)分別為P，Q，若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線的方程為：，原點(diǎn)到直線的距離為，列出關(guān)系式，通過，根據(jù)三角形的面積，求出，，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）依題意可得，即可判斷直線與的斜率均存在，設(shè)：，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到、，再利用基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】(1)解：由題意，①，，則直線的方程為：，即為，原點(diǎn)到直線的距離為，，，②，③由①②③得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)解：由（1）可知，因?yàn)?，所以，若直線或中有一條直線斜率不存在，那么、中一點(diǎn)與重合，故斜率一定存在，設(shè)：，則的斜率為，由可得：，設(shè)，，，，則，，所以，即，同理將代入得，所以，，所以令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，所以，即面積的最大值為；21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2).【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，得出的定義域并對進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的單調(diào)區(qū)間；（2）將題意等價(jià)于在內(nèi)有解，設(shè)，即在上，函數(shù)，對進(jìn)行求導(dǎo)，令，得出，分類討論與區(qū)間的關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)和最小值，結(jié)合，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，，可知的定義域?yàn)椋瑒t，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)解：由題可知，存在，使得成立，等價(jià)于在內(nèi)有解，可設(shè)，即在上，函數(shù)，，令，即，解得：或（舍去），當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，得，又，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，得，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，即，不符合題意；綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式成立的綜合問題：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)區(qū)間問題，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯；利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題，要注意分類討論和化歸思想的應(yīng)用；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的綜合問題的一般步驟是：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間和最值，再進(jìn)行相應(yīng)證明.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．(1)求圓的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用互化公式，即可將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)題意，直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程得，設(shè)是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理和直線參數(shù)方程中的幾何意義，可知，即可得出結(jié)果.【詳解】(1)解：將代入，得，即，所以