江蘇省高三下學(xué)期5月高考數(shù)學(xué)模擬試卷三

2022屆江蘇地區(qū)高考模擬試卷三數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，則B的子集個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．82．復(fù)數(shù)z1、z2滿足|z1|＝|z2|＝1，z1﹣z2＝，則z1?z2＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．設(shè)x∈R，則“x＞1”是“x2+1≥2x”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），當(dāng)x＝a時，f（x）取得最小值b，則函數(shù)g（x）＝a|x+b|的圖象為（）A．B．C． D．5．某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上的人，用分層抽樣法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為（）A．7，5，8 B．9，5，6 C．6，5，9 D．8，5，76．已知向量、滿足條件：，、的夾角為，如圖，若，，且D為BC的中點，則的長度為（）A． B． C．7 D．87．設(shè)a，b，c依次是方程x+2＝x，log2（x+2）＝，2x+x﹣2＝0的根，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a8．2013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出的問題，在談到環(huán)境保護(hù)問題時他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山，寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山．”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（）A．2655萬元 B．2970萬元 C．3005萬元 D．3040萬元選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．9．已知點P在雙曲線C：﹣＝1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的左、右焦點，若△PF1F2的面積為20，則下列說法正確的有（）A．點P到x軸的距離為 B．|PF1|+|PF2|＝ C．△PF1F2為鈍角三角形 D．∠F1PF2＝10．小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間（分鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如表所示：所需時間（分鐘）30405060線路一線路二則下列說法正確的是（）A．任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件 B．從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間 C．如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一 D．若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為11．如圖直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E為AB中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達(dá)點P的位置，且PC＝2．則（）A．平面PED⊥平面EBCD B．PC⊥ED C．二面角P﹣DC﹣B的大小為 D．PC與平面PED所成角的正切值為12．已知函數(shù)f（x）＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R，則下列說法正確的是（）A．f（x）在區(qū)間（0，π）上有2個零點 B．（，0）為f（x）的一個對稱中心 C．f（+x）＝f（﹣x） D．要得到g（x）＝2cos（x+）的圖像，可以將y＝f（x）圖像上所有的點向左平移π三．填空題（共4小題）13．已知隨機變量X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝，則P（a≤X＜4﹣a）＝．14．已知雙曲線C：?＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C漸近線上一點，|MF1|＝2|MF2|，點N滿足?，且∠MF2N＝120°，則該雙曲線的離心率等于．15．已知a∈R，若函數(shù)在區(qū)間x∈（1，2）上存在最小值，則a的取值范圍是．16．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D為棱A1C1上的點．且BC1∥平面AB1D，則＝，已知AB＝BC＝AA1＝1，AC＝，以D為球心，以為半徑的球面與側(cè)面AA1B1B的交線長度為．四．解答題（共6小題）17．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosA﹣bcosC＝ccosB．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a＝2，求b+c的取值范圍．18．隨著生活質(zhì)量的提升，家庭轎車保有量逐年遞增，方便之余卻加劇了交通擁堵和環(huán)保問題，綠色出行引領(lǐng)時尚，共享單車進(jìn)駐城市．菏澤市有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2020年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示．若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”（20歲～39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的經(jīng)常使用共享單車的稱為“單車族”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“非單車族”．已知在“單車族”中有是“年輕人”．（1）現(xiàn)對該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機抽樣的方法，抽取一個容量為400的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補全下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)？使用共享單車情況與能力列聯(lián)表年輕人非年輕人合計單車族非單車族合計（2）若將（1）中的頻率視為概率，從該市市民中隨機任取3人，設(shè)其中既是“單車族”又是“非年輕人”的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗界值表P（K2≥k0）k0其中，n＝a+b+c+d，K2＝（注：保留三位小數(shù)）．19．已知數(shù)列{an}，{bn}都是公差大于零得等差數(shù)列，其中{an}滿足a1＝﹣3，且a2+1，a3﹣1，a4﹣1成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{|bn|}的前n項和為Tn，當(dāng)n≤3時，Tn＝﹣n2+3n．（1）求{an}，{bn}的通項公式；（2）設(shè)cn＝，求證++……+．20．如圖，已知橢圓，斜率為k的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點，過線段AB的中點M作AB的垂線交y軸于點C．（1）設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，若k＝1，直線l經(jīng)過橢圓Γ的左焦點，求的值；（2）若，且，求ΔOMC面積的取值范圍．21．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，DE⊥PC，垂足為E，EF⊥PB，垂足為F．（1）求證：PB⊥平面EFD；（2）若PD＝DC＝DA，求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．22．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣a﹣ax，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求a的取值圍；（2）若對任意的x∈[0，+∞），均有，求a的取值范圍．（注：e≈為自然對數(shù)的數(shù)）參考答案1．解：由題意可知，集合B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}＝{0，1，2}，則B的子集個數(shù)為：23＝8個，故選：D．2．解：z1﹣z2＝＝＝＝﹣2i，由|z1|＝|z2|＝1，設(shè)z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，∴cosα＝cosβ，sinα﹣sinβ＝﹣2，∴cosα＝cosβ＝0，sinα＝﹣1，sinβ＝1，∴z1＝﹣i，z2＝i，則z1?z2＝﹣i?i＝1．故選：A．3．解：因為x2+1≥2x，所以（x﹣1）2≥0，即解集為R，所以“x＞1”能推出“x2+1≥2x”，“x2+1≥2x”不能推出“x＞1”，即“x＞1”是“x2+1≥2x”的充分不必要條件．故選：B．4．解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號，此時函數(shù)有最小值1∴a＝2，b＝1，此時g（x）＝2|x+1|＝，此函數(shù)可以看成函數(shù)y＝的圖象向左平移1個單位結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象及選項可知A正確故選：A．5．解：因為樣本容量與總體的個體數(shù)比為，所以在每個層次抽取的個體數(shù)依次為：45×＝×45＝9，25×＝5，30×＝6．故選：B．6．解：∵，，∴根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得2＝＝，∴＝∵，、的夾角為，∴，，＝＝6由此可得2＝（）2＝9﹣3+＝9×8﹣3×6+＝∴＝（舍負(fù)），即的長度為．故選：A．7．解：由方程x+2＝x，化為＝2﹣x．2x+x﹣2＝0化為2x＝2﹣x．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝log2x，y＝2x，y＝2﹣x的圖象．由圖象可得0＜a＜1＜c．由，可得﹣x≥0，∴x≤0．∴b≤0，綜上可得：a＞c＞b．故選：A．8．解：2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，可看成等差數(shù)列，則2019年投入資金160+（6﹣1）×20＝260萬元，2014﹣2019年共6年投資總額為160+180+200+220+240+260＝1260萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加10%，則從2020年到2024年投入資金可看成首項為260，公比為，項數(shù)為5的等比數(shù)列，所以從2020年到2024年投入總資金為260×萬元，所以到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為1260+1745＝3005萬元．故選：C．9．解：由雙曲線方程得a＝4，b＝3，則c＝5，由△PF1F2的面積為20，得?2c?|yP|＝10|yP|＝20，得|yP|＝4，即點P到x軸的距離為4，故A錯誤，將|yP|＝4代入雙曲線方程得|xP|＝，根據(jù)對稱性不妨設(shè)P（，4），則|PF2|＝＝，由雙曲線的定義知|PF1|﹣|PF2|＝2a＝8，則|PF1|＝8+＝，則|PF1|+|PF2|＝+＝，故B正確，在△PF1F2中，|PF1|＝＞2c＝10＞|PF1|＝，則＝＝＞0，則△PF1F2為鈍角三角形，故C正確，cos∠F1PF2＝＝＝＝1﹣＝1﹣，則∠F1PF2＝錯誤，故正確的是BC，故選：BC．10．解：“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件，A錯誤；線路一所需的平均時間為30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×＝39分鐘，線路二所需的平均時間為30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×＝40分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時間，B正確；線路一所需時間小于45分鐘的概率為，線路二所需時間小于45分鐘的概率為，小張應(yīng)該選線路二，故C錯誤；所需時間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時間可以為（50，60），（60，50）和（60，60）三種情況，概率為×××＝，故D正確．故選：BD．11．解：直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E為AB中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達(dá)點P的位置，且PC＝2．在A中，四邊形EBCD是邊長為2的正方形，PE＝2，∴PE⊥DE，CE＝＝2，∴PE2+CE2＝PC2，∴PE⊥CE，∵DE∩CE＝E，∴PE⊥平面EBCD，∵PE?平面PED，∴平面PED⊥平面EBCD，故A正確；在B中，∵DE∥BC，BC⊥PB，∴BC與PC不垂直，∴PC與ED不垂直，故B錯誤；在C中，∵BE⊥PE，BE⊥DE，PE∩DE＝E，∴BE⊥平面PDE，∵BE∥CD，∴CD⊥平面PDE，∴∠PDE是二面角P﹣DC﹣B的平面角，∵PE⊥平面BCD，PE＝DE，∴∠PDE＝，∴二面角P﹣DC﹣B的大小為，故C正確；在D中，∵CD⊥平面PDE，∴∠CPD是PC與平面PED所成角，PD＝＝＝2，∴PC與平面PED所成角的正切值為tan∠CPD＝＝，故D錯誤．故選：AC．12．解：f（x）＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），由2sin（2x﹣）＝0得，2x﹣＝kπ，則x＝，k∈Z，當(dāng)k＝0，x＝，k＝1時，x＝為（0，π）上的兩個零點，A正確；結(jié)合A的討論可知，（，0）為函數(shù)的一個對稱中心，B正確；當(dāng)x＝時，函數(shù)沒有取得最值，故x＝不是函數(shù)的對稱軸，C錯誤；將y＝f（x）圖像上所有的點向左平移π個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的可得函數(shù)y＝2sin（4x+），D錯誤．故選：AB．13．解：∵X～N（2，σ2），∴正態(tài)分布曲線的對稱軸方程為x＝2，又P（X＜a）＝，且4﹣a與a關(guān)于x＝2對稱，由正態(tài)曲線的對稱性得：∴P（a≤X≤4﹣a）＝1﹣2P（X＜a））＝1﹣2×＝．故答案為：．14．解：如圖，由足?，得M，N關(guān)于原點對稱，又F1，F(xiàn)2關(guān)于原點對稱，∴四邊形MF1NF2為平行四邊形，∵∠MF2N＝120°，∴∠F1MF2＝60°，又|MF1|＝2|MF2|，設(shè)|MF2|＝m，則|MF1|＝2m，∴，可得，則MF2⊥F1F2，則tan＝，∴，即3b2＝4a2，得3（c2﹣a2）＝4a2，解得：e＝（e＞1）．故答案為：．15．解：當(dāng)a＞0時，y＝在（1，2）上單調(diào)遞增，可得＜y＜，若函數(shù)在區(qū)間x∈（1，2）上存在最小值，則，即f（x）min＝0，得＜a＜； 當(dāng)a＝0時，f（x）＝，在（1，2）上單調(diào)遞增，不存在最小值，不合題意；當(dāng)a＜0時，＝，∵x∈（1，2），∴ex∈（e，e2），又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），∴若函數(shù)在區(qū)間x∈（1，2）上存在最小值，則e＜＜e2，解得＜a＜．∴a的取值范圍是．故答案為：．16．解：取AC的中點為E，分別連結(jié)BE和C1E，細(xì)查題意，只有當(dāng)D為A1C1的中點時才滿足題意，原因如下；當(dāng)D為A1C1的中點時，AD∥EC1，B1D∥BE，AD∩B1D＝D，所以BE∥平面AB1E，DC1?平面AB1E，又因為BE∩EC1＝E，所以平面BEC1∥平面AB1E，因為BC1?平面BEC1，所以BC1∥平面AB1D，因為平面ADB1∥平面BCE，又平面AA1CC1∩平面ADB1＝AD，平面AA1CC1∩平面BC1E＝C1E，所以AD∥C1E，又DC1∥AE，所以四邊形ADC1E為平行四邊形，所以，即D為A1C1的中點，所以；球面與側(cè)面AA1B1B的交線長，即截面圓的弦長，因為AB＝BC＝1，，AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，易得A1B1⊥B1C1，取A1B1的中點為D'，故可得DD′⊥A1B1，因為平面A1B1C1∩平面A1ABB1＝A1B1，DD′?平面A1B1C1，所以DD′⊥平面A1ABB1，圓心距，設(shè)交線的軌跡為PQ，，截面圓半徑，又因為PQ＝1，所以△PD'Q為等邊三角形，所以弧PQ＝．故答案為：1；．17．解：（Ⅰ）因為2acosA﹣bcosC＝ccosB，所以由正弦定理可得2sinAcosA﹣sinBcosC＝sinCcosB，即2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，又因為sinA≠0，所以cosA＝，因為A為銳角，所以A＝．（Ⅱ）b+c＝（sinB+sinC）＝[sinB+sin（﹣B）]＝（sinB+cosB+sinB）＝（sinB+cosB）＝4sin（B+），因為B，可得B+，所以sin（B+）∈（，1]，即b+c＝4sin（B+）∈（2，4]．18．解：（1）補全的列聯(lián)表如下：年輕人非年輕人合計單車族20040240非單車族12040160合計32080400∴K2＝≈＞，即有95%的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)．（2）由（1）的列聯(lián)表可知，既是“單車族”又是“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為×100%＝10%，即在抽取的用戶中既是“單車族”又是“非年輕人”的概率為，∵X～B（3，），X＝0，1，2，3，∴P（X＝0）＝（1﹣）3＝，P（X＝1）＝××（1﹣）2＝，P（X＝2）＝×2×（1﹣）＝，P（X＝3）＝3＝，∴X的分布列為：X0123P∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×＝．19．（1）解：設(shè){an}的公差為d1，因為a1＝﹣3且a2+1，a3﹣1，a4﹣1成等比數(shù)列，所以（a2+1）（a4﹣1）＝（a3﹣1）2，即（﹣3+d1+1）（﹣3+3d1﹣1）＝（﹣3+2d1﹣1）2，解得d1＝2或d1＝4，當(dāng)d1＝2時，a2+1＝0（不符合題意）舍去，故d1＝4，所以an＝4n﹣7，因為|b1|＝T1＝，|b1|+|b2|＝T2＝4，|b1|+|b2|+|b3|＝T3＝，所以|b3|＝，設(shè){bn}的公差為d2，因為d2＞0，所以b1＝，否則b2≤|b2|＝＜b1與d2＞0矛盾，同理b2＝，b3＝﹣，所以d2＝1，所以；（2）證明：由（1）可得Sn＝﹣3n+＝2n2﹣5n，所以cn＝＝，所以＝，要證++……+，即證，即，而＝＜＝，所以+…+＝，即++……+．20．解：（1）由已知可得直線l的方程為：y＝x+1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由得：7x2+8x﹣8＝0，且x1+x2＝，所以＝＝＝＝；（2）設(shè)直線l的方程為：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由韋達(dá)定理可知x1+x2＝＝，所以，線段AB的中垂線方程為：，整理得y＝﹣，所以yC＝．又由＝＝，整理可得：＝4k2+3，即①，所以SΔOMD＝＝＝將①代入整理可得：SΔOMC＝＝，因為，所以，而我們知道，，y＝﹣都是關(guān)于|k|在上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)|k|＝1時，SΔOMC有最小值，當(dāng)時，SΔOMC有最大值，所以．21．（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，又因為ABCD是矩形，所以BC⊥DC，PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC，又因為DE?平面PDC，所以BC⊥DE，又因為DE⊥PC，PC∩BC＝C，所以ED⊥平面PBC，因為PB?平面PBC，PB⊥ED，又因為PB⊥EF，ED∩