河北省唐山市高三5月第三次模擬演練數(shù)學(xué)試題

唐山市2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試第三次模擬演練數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．解答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．解答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符含題目要求的．1．設(shè)集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．等比數(shù)列中，若，則（）A．16B．C．32D．4．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，則（）A．B．C．1D．25．的展開式中的系數(shù)為（）A．B．C．2D．106．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)．直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若的斜率之積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A．3B．6C．D．7．下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)的方差是0.1，則有數(shù)據(jù)的方差為9B．將4名學(xué)生分配到2間宿舍，每間宿舍2人，則不同的分配方法共有種C．從4名男醫(yī)生和5名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，既有男醫(yī)生又有女醫(yī)生的組隊(duì)方案共有種D．在回歸直線方程中，相對(duì)于樣本點(diǎn)的殘差為8．已知函數(shù)則使不等式成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．下列命題正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．，則10．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則（）A．B．雙曲線C的漸近線方程為C．雙曲線C的離心率為D．11．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O，，其高為2，為圓O的內(nèi)接三角形，且，P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．若平面，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則C．三棱錐體積的最大值為D．點(diǎn)A到平面距離的最大值為12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．的周期為B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上的最大值為D．在上的所有零點(diǎn)之和為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在某次測(cè)驗(yàn)中，測(cè)驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布．若，則______．14．若，則___________．15．直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______．16．角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需要經(jīng)過8個(gè)步滕變成1（簡(jiǎn)稱為8步“香程”），已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），①若，則使得至少需要_______步雹程；②若；則m所有可能取值的和為_______．（第①問2分，第②問3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步．17．（10分）如圖，在四邊形中，．（1）證明：為直角三角形；（2）若，求四邊形面積S的最大值．18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．19．（12分）某景區(qū)內(nèi)有一項(xiàng)“投球”游戲，游戲規(guī)則如下：游客投球目標(biāo)為由近及遠(yuǎn)設(shè)置的A，B，C三個(gè)空桶，每次投一個(gè)球，投進(jìn)桶內(nèi)即成功，游客每投一個(gè)球交費(fèi)10元，投進(jìn)A桶，獎(jiǎng)勵(lì)游客面值20元的景區(qū)消費(fèi)券；投進(jìn)B桶，獎(jiǎng)勵(lì)游客面值60元的景區(qū)消費(fèi)券；投進(jìn)C桶，獎(jiǎng)勵(lì)游客面值90元的景區(qū)消費(fèi)券；投不進(jìn)則沒有獎(jiǎng)勵(lì)．游客各次投球是否投進(jìn)相互獨(dú)立．（1）向A桶投球3次，每次投進(jìn)的概率為p，記投進(jìn)2次的概率為，求的最大值點(diǎn)；（2）游客甲投進(jìn)A，B，C三桶的概率分別為，若他投球一次，他應(yīng)該選擇向哪個(gè)桶投球更有利？說(shuō)明理由．20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是梯形，．（1）證明：平面；（2）若，E為線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓M與圓相內(nèi)切，且與直線相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作曲線C的切線力，直線相交于點(diǎn)P．若，求直線l的方程．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：．參考答案：1．A【解析】【分析】解出集合，再進(jìn)行補(bǔ)集交集運(yùn)算即可.【詳解】，則，又，所以.故選：A.2．D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求出其共軛復(fù)數(shù)作答.【詳解】依題意，，于是得，所以z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D3．A【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列得基本量得運(yùn)算，根據(jù)可求得，再由分析得．【詳解】∵，則，即又∵，即，則且∴則故選：A．4．B【解析】【分析】根據(jù)向量得線性運(yùn)算可知，代入，可得，再結(jié)合代入運(yùn)算．【詳解】根據(jù)題意可得∵，即∴，即故選：B．5．C【解析】【分析】用乘以展開式中的項(xiàng)，再用乘以展開式中的常數(shù)項(xiàng)，合同同類項(xiàng)即得所求【詳解】的第項(xiàng)令，則，令，則，則的展開式中的系數(shù)為故選：C6．B【解析】【分析】由題意得到方程組①和②，即可解出a、b，求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓的面積，即①.因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則且，所以.因?yàn)榈男甭手e為，所以，把代入整理化簡(jiǎn)得：②①②聯(lián)立解得：.所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6.故選：B7．D【解析】【分析】根據(jù)方差、殘差以及分組分配的相關(guān)計(jì)算公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證求解，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，由已知得，，則對(duì)于，可得，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將4名學(xué)生分配到2間宿舍，每間宿舍2人，則不同分配方法有種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，從4名男醫(yī)生和5名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，既有男醫(yī)生又有女醫(yī)生的組隊(duì)方案共有種，而種，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，殘差，故D正確；故選：D8．C【解析】【分析】由函數(shù)定義得函數(shù)為奇函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在的單調(diào)性，從而得其在R上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性解函數(shù)不等式后由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，時(shí)，，因此時(shí)也有，即函數(shù)是奇函數(shù)，時(shí)，，，所以是減函數(shù)，所以奇函數(shù)在R上是減函數(shù)，又，所以，不等式為，所以，，故選：C．9．BD【解析】【分析】可通過反例排除A、C，對(duì)于B，兩邊取對(duì)數(shù)即可，對(duì)于D，通過對(duì)數(shù)運(yùn)算得到的式子，應(yīng)用基本不等式即可確定.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，故D正確.故選：BD.10．CD【解析】【分析】對(duì)于A，用定義即可判斷，對(duì)于B，根據(jù)焦點(diǎn)位置即可判斷，對(duì)于C，直接計(jì)算即可，對(duì)于D，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)可求出的取值范圍，即可判斷【詳解】雙曲線：焦點(diǎn)在軸上，，，對(duì)于A選項(xiàng)，，而點(diǎn)在哪支上并不確定，故A錯(cuò)誤對(duì)于B選項(xiàng)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線方程為，故B錯(cuò)誤對(duì)于C選項(xiàng)，，故C正確對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則（時(shí)取等號(hào)）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故D正確故選：CD11．ACD【解析】【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，根據(jù)題意得到為三棱錐外接球的球心，根據(jù)正弦定理和勾股定理求出球的半徑即可得解；對(duì)于B，只能推出與在上底面內(nèi)的射影垂直，推不出；對(duì)于C，求出的最大值即可求出三棱錐體積的最大值；對(duì)于D，根據(jù)C選項(xiàng)中的結(jié)果以及等體積法可求出點(diǎn)A到平面距離的最大值.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，易得，則為三棱錐外接球的球心，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以三棱錐外接球的表面積為.故A正確；對(duì)于B，過過平面，垂足為，連，則，又因?yàn)?，，所以平面，所以，只有?dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，才有，故B不正確；對(duì)于C，在中，由余弦定理得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以三棱錐體積的最大值為.故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)A到平面距離為，則，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)A到平面距離的最大值為，故D正確.故選：ACD12．BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)正弦與正切的周期判斷即可；對(duì)B，計(jì)算是否成立即可；對(duì)C，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而求得上的最大值即可；對(duì)D，根據(jù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合分析即可【詳解】對(duì)A，因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，故的周期為，A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；對(duì)C，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)在上為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，即，故在上，，單調(diào)遞增；在上，，；對(duì)D，分析在上的所有零點(diǎn)即圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又均關(guān)于對(duì)稱，故分析時(shí)的圖象即可.由C選項(xiàng),在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，又關(guān)于對(duì)稱，在上，為減函數(shù)，故可畫出在區(qū)間圖象交點(diǎn)有三對(duì)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，故零點(diǎn)和為,故D正確故選：BCD13．0.6##.【解析】【分析】結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，因?yàn)楣蚀鸢笧椋?.6.14．4【解析】【分析】將兩邊同時(shí)平方求得，進(jìn)而把化弦，再通分即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，兩邊同時(shí)平方得，即，所以，因此，故答案為：4.15．或5##5或【解析】【分析】設(shè)AB中點(diǎn)為D，則CD⊥AB，且DB=DA，根據(jù)化簡(jiǎn)即可求得圓心C到直線l的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出m的值．【詳解】，則圓心，半徑，設(shè)AB中點(diǎn)為D，則CD⊥AB，且DB=DA，則，即，∴或5．故答案為：或5．16．

9

385【解析】【分析】根據(jù)題目所給的步驟逐步計(jì)算即可.【詳解】m=13，依題意，，共9共步驟；若，，

或，若，若，的集合為，其和為385；故答案為：9,385.17．(1)證明見解析(2)12【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)即可；（2）由與，結(jié)合與基本不等式求解即可(1)∵，由與余弦定理∴，整理得，，∴．∴為直角三角形．(2)∵，∴．由，得．．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以四邊形面積S的最大值為12．18．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）將題中條件轉(zhuǎn)化，得到，之后利用累加法可求得答案；（2）由（1）可知，利用時(shí)，放縮，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得出證明．(1)由已知，即．又，故，即（且）．所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．所以．(2)當(dāng)時(shí)，．．法二：．.【點(diǎn)睛】本題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和，在放縮時(shí)，注意的條件.19．(1)(2)游客甲選擇向B桶投球更有利；理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)概率公式求得概率，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值點(diǎn)；（2）求出游客投進(jìn)A，B，C三桶純收入的期望，比較可得．(1)3次向A桶投球投進(jìn)2次的概率．．令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴所以的最大值點(diǎn)．(2)由（1）得游客甲投進(jìn)A，B，C三桶的概率分別為．設(shè)投進(jìn)A桶的純收入為X元，；設(shè)投進(jìn)B桶的純收入為Y元，；設(shè)投進(jìn)C桶的純收入為Z元，；因?yàn)樗杂慰图走x擇向B桶投球更有利．20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，故要證平面，需證，需證平面，需證，而不難證明（2）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用空間向量求解即可(1)證明：取中點(diǎn)，連接．∴，∴四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形．∴，∴．又∵，∴平面．又∵平面，∴．又∵平面平面，且平面平面，∴平面．(2)∵平面，∴，∴．又∵，∴，又∵，∴底面是直角梯形．以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，．平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得?。?，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21．(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）利用兩圓內(nèi)切及直線與圓相切列式，化簡(jiǎn)即得曲線C的方程.（2）設(shè)出直線l的方程及，求出直線的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線l與曲線C的方程，借助韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)作答.(1)設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為r，依題意，，于是得，化簡(jiǎn)得，所以曲線C的方程為.(2)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為，由消去y并整理得，，則有，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，由消去y并整理得：，則有，解得，切線的方程為，同理可得，切線的方程為，由，解得，即點(diǎn)，則，因，即，即，化簡(jiǎn)得，，因此，，于是得點(diǎn)或，直線l的斜率，所以直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；拋物線在點(diǎn)處的切線斜率.22．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)①；②證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定原函數(shù)單調(diào)性，注意函數(shù)定義域；（2）①利用參變分離得，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，判斷函數(shù)單調(diào)性理解計(jì)算；②等價(jià)于，借助于函數(shù)零點(diǎn)整理得，即證，構(gòu)建函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?/p>