第四章線性系統(tǒng)根軌跡法

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)零極點散布決定。當開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)轉(zhuǎn)變時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)也相應轉(zhuǎn)變，閉環(huán)極點也要改變（解根難）。研究閉環(huán)極點隨開環(huán)某參數(shù)轉(zhuǎn)變而轉(zhuǎn)變的規(guī)律，進而討論閉環(huán)系統(tǒng)性能的轉(zhuǎn)變趨勢，是具有理論和實際工程意義的課題。（調(diào)參、設(shè)計等）。根軌跡的特點： 圖解法，簡單； 特別適用于研究當系統(tǒng)的開環(huán)參數(shù)轉(zhuǎn)變時，系統(tǒng)性能的轉(zhuǎn)變 趨勢問題； 近似方式，不十分精準。 §根軌跡的大體概念 1.根軌跡的概念：當開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從 0 到∞轉(zhuǎn)變時，閉環(huán) 極點在 S 平面上轉(zhuǎn)變所描畫出 的軌跡。 例 1：系統(tǒng)如右： 閉環(huán)特征方程為： 特征根為閉環(huán)特征方程為： 特征根為： 當系統(tǒng)參數(shù) 4-1所示。 （或 ,）從零轉(zhuǎn)變到無窮時，閉環(huán)極點的轉(zhuǎn)變情況如表 表4-1表4-1、=0～時系統(tǒng)的特征根 000-21-1-121-1+j-1-j5-1+j2-1-j2∞∞-1+∞-1-∞1. 閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點之間的關(guān)系：3.根軌跡方程：例 3、如右系統(tǒng) 例 2：3.根軌跡方程：例 3、如右系統(tǒng) ●閉環(huán)零點=前向通道的零點+反饋通道的極點（不隨轉(zhuǎn)變，易患●閉環(huán)零點=前向通道的零點+反饋通道的極點（不隨轉(zhuǎn)變，易患2.閉環(huán)極點與開環(huán)零點，開環(huán)極點和根軌跡增益都有關(guān)系2.閉環(huán)極點與開環(huán)零點，開環(huán)極點和根軌跡增益都有關(guān)系（需專門（根軌跡方程）令 1+G(s)=0,（根軌跡方程）4.開環(huán)增益于根軌跡間的關(guān)4.開環(huán)增益于根軌跡間的關(guān)：(者除外)例4、系統(tǒng)開環(huán)極點散布如右圖所示，別離討論 例4、系統(tǒng)開環(huán)極點散布如右圖所示，別離討論 是不是在根軌跡上。 5.任一點 S,總可以有一個 與之對應， 知足模值條件，但它不必然在根軌跡上 （不必然知足相角條件 ）。6.知足相角條件的 ，也必然有對應的 使之知足模值條件，所以相角 7.當S知足相角條件時，它必然在根軌跡上，所對應的 值，由模值 點個數(shù) 少于開環(huán)極點個數(shù) ，則有 條根軌跡終止于無窮遠處。 起點： 條件是判定 S在不在根軌跡上的充要條件。 條件肯定。 § 繪制根軌跡的大 體法則一、 起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點；若是開環(huán)零 終點： 二、根軌跡的分支數(shù)及對稱性終點： 1.實軸上的根軌跡： 從實軸最右端的開環(huán)零極點算起，奇數(shù)開環(huán)零極點1.實軸上的根軌跡： 間必然是根軌跡，不然必然 不是證明：見右圖為例說明 ∴S。2.定理當2個 ，開環(huán)零點有1個，而且在復平面上間必然是根軌跡，不然必然 不是證明：見右圖為例說明 ∴S。2.定理當2個 ，證明:（見下面兩頁）要求：對于二階系統(tǒng)的根軌跡，必然要能畫的熟練準確。例： 軸上的于復平面有軸上的于復平面有）例：單位例：單位反饋系 統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,畫出當 時系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡，證明根軌跡是圓， （實解：（實即：即：分離點 處，分離點 處，有 解出： 快： 準快： 準： 4、根之和，閉環(huán)根之和維持一個常數(shù)證明：●，在 s平面上有一部份極點隨 轉(zhuǎn)變向左移 ,則另一部份●，在 s平面上有一部份極點隨 轉(zhuǎn)變向左移 ,則另一部份必 如右根軌跡： 2五、漸近線： n-m個極點趨于無窮遠點 的規(guī)律。 “廣義重心 ”如右根軌跡如右根軌跡： 2五、漸近線： n-m個極點趨于無窮遠點 的規(guī)律。 “廣義重心 ”如右根軌跡： 1. 注 ：、根軌跡 法研究 的 是當系統(tǒng)參 數(shù)轉(zhuǎn)變 時 ， 閉環(huán) 極點的轉(zhuǎn)變規(guī)律。 、根軌跡 法 的 目 的：在于 通過研究參 數(shù)轉(zhuǎn)變、根轉(zhuǎn)變的規(guī)律， 來研究閉 環(huán)系統(tǒng)性能 的轉(zhuǎn)變規(guī)律。 Ⅰ、 作時 的根軌跡。Ⅰ、 作時 的根軌跡。 解 ：一、 起 點、 終 點二 、 分支 數(shù)、 對稱性 3、實軸上的根軌跡4、根之和3、實軸上的根軌跡4、根之和五、漸近線：六、分離點坐標d分離點d的一般公式：即有：d1即有：（ ）、（ ）、先取 =;上面方程不平衡。 再取 =;上面方程反相不平衡（選擇方向?qū)?，但過頭了） 選=;方程大體平衡（ ）（ ）、 d的精度到 之內(nèi)即可。 II、分析當 轉(zhuǎn)變進程中，閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能的轉(zhuǎn)變規(guī)律。 ②由模值 條件求出相應的 系統(tǒng)始終穩(wěn)定。 III、肯定兩復數(shù)閉環(huán)極點實部系統(tǒng)始終穩(wěn)定。 III、肯定兩復數(shù)閉環(huán)極點實部為 -1時， 系統(tǒng)動態(tài)性能主要取決于一對共軛復極點 實系統(tǒng)動態(tài)性能主要取決于一對共軛復極點 實際響應對應的 應比只有 時要?。?比之更靠近原點 ）。①先 由根之 和法 則解出 單根求一對復根實部為 -1時對應的根軌跡增益及三個根的坐①先 由根之 和法 則解出 單根③由長除法解出 、坐標：③由長除法解出 、坐標： 依題意，應有：解出： 右邊展開式比較系數(shù)有： 聯(lián)立解出： 例二系統(tǒng)如右，畫根軌跡?！嗌虨椋航獬觯?左側(cè)展開式解法二：依題意∴商為：解出： 左側(cè)展開式實軸上的根軌跡： ，漸近線： 分離點： 經(jīng)整理得 故， ， ，顯然分離點位于實軸上 間，故取 。7、與虛軸地交點 ①是臨界穩(wěn)定點----勞斯表第一列出現(xiàn)0的點 ②s=j 是特征根令實部 虛部 性能轉(zhuǎn)變趨勢： 八、出射角、入射角：出射角 ：根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點的切線與正實軸的夾角入射角 ：根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點的切線與正實軸的夾角3設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：利用相角條件： 由（）：由：例 4如右圖所示系統(tǒng)， ，畫閉環(huán)根軌跡。解：例 4如右圖所示系統(tǒng)， ，畫閉環(huán)根軌跡。解：起始角:與虛軸交點： 實部起始角:與虛軸交點： 實部： 虛部： 性能轉(zhuǎn)變趨勢： 例如右系統(tǒng)：：例如右系統(tǒng)：：=4）解11，肯定根軌跡上全數(shù)極的位置。移動 的位置 ，使知足模值方程： 得： 長移動 的位置 ，使知足模值方程： 得： 長除 ：得： 解二、先在實軸上試根（求出分離點 d處對應的 ）可 判定 時， 必然在實軸上。 用模值條件，移動 ，得出： 利用根之和， 合起來向左移動的總量為： 因別離向右移動 。試出兩根： 解出： 例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 畫出Ｋ由 時閉環(huán)系統(tǒng)的概略的根軌跡 解： 解 3、開環(huán)極點： 一、軌跡起點、終開環(huán)極點： 一、軌跡起點、終點、分支數(shù)：起于 ，終于 處，共有4條軌跡分支。3、漸近線：點：點：點：（之間必有分離）解解;軸軌跡：（）例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)右;,畫根軌跡 即： 當開環(huán)零極點即： 當開環(huán)零極點數(shù) 時，一般得用試探法。 六、與虛軸的交點： 至此，可以畫出根軌跡的概略圖,(如前頁示)可以用之分析 K↗時的特性注：用以上法則，只能概略的畫出根軌跡20%)并非每一題全數(shù)法則都要用。 位置有有轉(zhuǎn)變能有顯著不同要依據(jù)情況具體分析而肯定（關(guān)鍵在于分離點的肯定）如： 虛部： 實部虛部： 實部： 聯(lián)立（聯(lián)立（1）（3）問題：若把上結(jié)構(gòu)圖化為如右形式：開環(huán)傳遞函數(shù)變成開環(huán)傳若作圖， ↗，開環(huán)極點位置也在變，很難研究，對此問題，可用廣義根軌跡法來研究?！?廣 義根軌跡法一、參數(shù)根軌跡[94（15）例一、已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制 的根軌跡，并求出系統(tǒng)在臨界阻尼比（ ）的閉環(huán)遞函數(shù)。（1）閉環(huán)特征方程：做等效開環(huán)傳遞函數(shù)分離點：解得：漸近線： 虛軸交點： 令 s=j（2） 時，閉環(huán)極點位于分離點處，對應 a值是： ,∴另一極點位于 ∴例2單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求 轉(zhuǎn)變的根軌跡解法一：②②:令?。?①分離點取： ③終止角:取解法二③終止角:取令(相當于令(相當于)畫出的根軌跡前同，只是箭頭方向定的極:相應有比較系數(shù)定的極:相應有比較系數(shù)：也可利用模值條件：性能： （注：有一閉環(huán)零點 性能： 1)、，繪制根軌跡。2）、1)、，繪制根軌跡。2）、當解：令繪制根軌跡如右圖所示例、已知系統(tǒng)特征方程解：取等效開環(huán)傳遞函數(shù)：分離點方程：分離點：解：取等效開環(huán)傳遞函數(shù)：分離點方程：分離點a取值 0 1 5 9分離點③起始角：③起始角：根軌跡方程：分離點數(shù) 根軌跡方程：分離點數(shù) 010200001020零度根軌跡的繪制法則：②漸近線①實軸上的根軌跡：從實軸右端起，偶數(shù)開環(huán)零極點到奇數(shù)開環(huán)零極 之間。②漸近線其其余同常規(guī)根軌跡。 例：系統(tǒng)如右， 別離畫出正、負反饋時的根軌跡。 實軸上軌跡實軸上軌跡： 分離點：分離點：漸近線：2.a=13:1.a=92.a=13:1.a=9時： 為系統(tǒng)的特征式：當于轉(zhuǎn)變時描述出來的根軌跡 已知開環(huán)傳遞函數(shù) 求分離點 d已知開環(huán)傳遞函數(shù) 求分離點 d：d=-3d=-3角問題轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)起始角問題部份，以做是系統(tǒng)時的零度根軌 當兩支根當兩支根軌跡在 相遇時 由根之和： 由根之積： 有極點散布對稱于 ，根軌跡 應對 應跑又由根之和， 對稱 走，只能上下走利用相 角條件，之 間部份是根軌跡 例：單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)： 根軌跡的對稱性：開環(huán)零極點均為偶數(shù)且對稱散布于某縱軸左右，例：單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)： 解： 一 軸解： 一 軸根軌跡 4， 0）二、漸近線3、十”豎線上軌跡的 肯定：這樣可能出現(xiàn)以下三種情況： 分析：可以有與虛軸交點、分離點來肯定是哪一種。 4、與虛軸交點： 實部： 虛部： 解法一： 五、實部： 虛部： 解法一： 解出： 解出： 解法二：分析復平面分離點 A的特征→是當取極大值時的點。 令： ∴A點坐標： 最后作出根軌跡如上頁圖示： 注：當開環(huán)零極點散布對稱于某 c而且零極點數(shù)均為偶數(shù)時，一般根軌 跡是對稱于 c的。時,系統(tǒng)性能分析：（注意各個階段不同閉環(huán)極點在各軌跡分支上的相對位置）例：已知：K=1,T=, 轉(zhuǎn)變，求根軌跡， 論 轉(zhuǎn)變對系統(tǒng)性能的影響。解：令終止角： 與虛軸交點： 做根軌跡如右圖所示：可見： 減小對改善系統(tǒng)性能有利。當 轉(zhuǎn)變時，做零度根軌跡。分離點： 試根終止角： 做根軌跡如圖所示可見 時，系統(tǒng)不穩(wěn)定例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：繪出系統(tǒng)當 轉(zhuǎn)變時的零度根軌跡，180度根軌跡解：依傳遞函數(shù)，開環(huán)零極點散布如右圖示 ∵180根軌跡：∵180根軌跡：∵；；；∵；；；∴s（左右）2（）由（1）（2）實軸上的根軌跡：由相角條件判定虛軸上：求分離點實軸上的根軌跡：由相角條件判定虛軸上：∴∴可見， 是三重分離點，（即 是當 取某一值可見， 是三重分離點，（即 是當 取某一值時的四重根） ：即： 求起始角：即： 求起始角： 做出180根軌跡如上頁紅筆畫出做出0根軌跡如上頁藍筆畫出。如取 0根軌跡上的一點 ：對稱于+45做出180根軌跡如上頁紅筆畫出做出0根軌跡如上頁藍筆畫出。如取 0根軌跡上的一點 ：對稱于+45線的零點對或極點對相應的矢量相角之和別離都是 90。兩對零共兩對極兩對零共兩對極共。相00軌跡上。一、根軌跡對稱于實軸。二、若零極點散布關(guān)于一縱軸對稱，零極點都是偶數(shù)，則根軌跡對稱于該 縱軸。 3、若零極點散布又關(guān)于一點（對稱點）對稱，零極點都是偶數(shù)，則根軌跡 關(guān)于該點對稱。 § 利用根軌跡 分析系統(tǒng)性能例、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示， 轉(zhuǎn)變，畫出閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡，并別離肯定： （ 1）系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼時的開環(huán)增益 K的范圍； （ 2）復極點對應 （ ）時的 K值及閉環(huán)極點位置； （ 3）當一個根 =-5時，其余根的位置及相應 K值； （ 4） =4時，閉環(huán)根的位置，并由零點極點法求 ， 解、根軌跡： 實軸根軌跡： -∞， -4， 2， 漸近線分離點： 虛軸交點 （）、依題意，要求 0< ,（對應根軌跡分離點到虛軸交點之間的部份） ∴有：（）、 （ ）設(shè)共軛復根為：依根之和，∴應有：比較系數(shù)：（3） 5，z=-4由閉環(huán)零極點散布位置，可以看出：將作為主導閉環(huán)極點是合理的：∴z=-4由閉環(huán)零極點散布位置，可以看出：將作為主導閉環(huán)極點是合理的：∴∴解根：（4）=4（此時以先求單根為簡單）由于（4）=4（此時以先求單根為簡單）由于，存在一對共軛復根d，在-4令試根求出：例、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：做出根軌跡（ 轉(zhuǎn)變）肯定使閉環(huán)復數(shù)極點對應（ ） 時的 值求閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能。解：依題：作根軌跡如右圖所示：依幾何關(guān)系，閉環(huán)復極點為（ ）比較常數(shù)項： 估算性能： 把由于零極點對消丟掉的閉環(huán)零極點補上，用零點極點法估算性能： 例 PID控制系統(tǒng)如右 已知 討論 轉(zhuǎn)變時，系統(tǒng)采用討論 轉(zhuǎn)變時，系統(tǒng)采用比例 P/比例＋微分 PD/比例＋積分 PI/比解（１）比例控制時：（2）比例+微分時:分離點：漸近線（3）比例+積分時 漸近線（ 4）比例＋微分＋積分時： 起始角： 終止角： 分析 ：（ 1）系起始角： 終止角： 分析 ：（ 1）系統(tǒng)性能隨 的轉(zhuǎn)變規(guī)律： （ 2）正反饋系統(tǒng)未必都不穩(wěn)定，只要 )本身有必然的穩(wěn)定儲蓄量 （此時無積分（此時無積分環(huán)節(jié)， 要求差）正反饋 的量又不大到必然值，系統(tǒng)可以 （ 3） 0軌跡和 0軌跡組成持續(xù)的圖形（求出的分離點若不是 0軌跡分 離點，即可離點，即可能是 0軌跡分離點 。）系統(tǒng) 判斷每種情況下系統(tǒng)兩個反饋的極性。解：分析所有情況，得出上面結(jié)果 。例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右 要使閉環(huán)兩個根 =±例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右 要使閉環(huán)兩個根 =±j4肯定相應的 a,,解法一：用 相角條件依圖有 ∴由根之和：∴∴得：解法二：系數(shù)比較法：∴得：令：（運算中只取）令：（運算中只?。嗦?lián)立求解：由根之和：解得：∴聯(lián)立求解：由根之和：解得：(等效)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)根軌跡定相應的閉環(huán)零點：閉環(huán)極點：定相應的閉環(huán)零點：閉環(huán)極點：用零點極點法可計算出：開環(huán)增益思路：開環(huán)增益分離分離對應出現(xiàn)重的情況，此時令即：系統(tǒng)性能定量估算： r(t)=t，?解：I畫根軌跡： GH(s)根軌跡 定零極點 定主導零r(t)=t，?解：I畫根軌跡： GH(s)根軌跡 定零極點 定主導零極點 II做出根軌跡如右圖（是一個圓 ）；找出 最?。?最大）的閉環(huán)極點 開環(huán)增益 =6K=2III 標出 閉環(huán)零點 :-3;-1Ⅳ 肯定主導極點： 主導零點： z=-1V近似估算： 由 P185公式：由開環(huán) 傳遞函數(shù)：特別注意：（1）：閉環(huán)零點要由 s 分子來定，畫根軌跡時的開環(huán)零點不必然是閉 環(huán)零點。 （2）：開環(huán)有零極點相消時，消去的極點（開環(huán)極點）也是閉環(huán)極點，不 能丟掉。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，要求： 、作出當 轉(zhuǎn)變時的根軌跡 、肯定使系統(tǒng)阻尼比 達到最小時的閉環(huán)極點位置（ ， ）和應的a。、計算此速度誤差數(shù)并r(t)=3+2t穩(wěn)態(tài)誤差。：）等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：作根軌跡如右圖所示： 2）圖，要求的閉環(huán)極點此時此時： 比較： 3）∴第四章小3）∴模型 模型 注：（1）根軌跡法解題的前提條件：開環(huán)傳遞函數(shù)已知。 （ 2）在根軌跡上肯定了閉環(huán)極點后，還要由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖肯定全數(shù)閉環(huán)零點， 才能進一步估算動態(tài)性能。 （ 3）出現(xiàn)開環(huán)零極點相消時，注意找全固定的閉環(huán)零極點。 一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) （ 0） 一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) （ 0） 閉環(huán)穩(wěn)定條件是： ①、 a>b ②、 二、單 位反饋系統(tǒng) 二、單 位反饋系統(tǒng) r(t)=t時， = ， 說明系統(tǒng) ①、中有一 個 環(huán) 節(jié)②、是 0型系統(tǒng) ③、中有兩個 環(huán) 節(jié)④、開環(huán) 不穩(wěn)定③、中有兩個 環(huán) 節(jié)④、開環(huán) 不穩(wěn)定 ① r(t)=A*1(t)時， 輸出 速度與輸入速度之間的穩(wěn)態(tài) ② r(t)=A*1(t)時， 輸出 位置與輸入位置之間的穩(wěn)態(tài) ③ r(t)=At時， 輸出 位置與輸入位置之間