核心考點06因式分解（原卷版）

核心考點06因式分解目錄一．因式分解的意義（共1小題）二．公因式（共1小題）三．因式分解-提公因式法（共7小題）四．因式分解-運用公式法（共7小題）五．提公因式法與公式法的綜合運用（共6小題）六．因式分解-分組分解法（共2小題）七．因式分解-十字相乘法等（共7小題）八．因式分解的應用（共12小題）考點考點考向一．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗．二．公因式1、定義：多項式ma+mb+mc中，各項都含有一個公共的因式m，因式m叫做這個多項式各項的公因式．2、確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項式的第一項是負的，一般要提出“﹣”號，使括號內的第一項的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號時，多項式的各項都要變號．3、口訣：找準公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同．四．因式分解-運用公式法1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍．3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止．五．因式分解-分組分解法1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應用公式．2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）六．因式分解-十字相乘法等借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解這種方法的關鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．七．因式分解的應用1、利用因式分解解決求值問題．2、利用因式分解解決證明問題．3、利用因式分解簡化計算問題．【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應用1．因式分解是研究代數(shù)式的基礎，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代入．2．用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．考點考點精講一．因式分解的意義（共1小題）1．（2023春?拱墅區(qū)校級期中）下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）A．6x2y3＝2x2?3y3B．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6二．公因式（共1小題）2．（2022春?西湖區(qū)校級期中）若兩個多項式有公因式，則稱這兩個多項式為關聯(lián)多項式，若x2﹣25與（x+b）2為關聯(lián)多項式，則b為．三．因式分解-提公因式法（共7小題）3．（2022春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）設P＝a2（﹣a+b﹣c），Q＝﹣a（a2﹣ab+ac），則P與Q的關系是（）A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．互為相反數(shù)4．（2022春?青田縣校級期中）分解因式：2x3﹣6x2＝．5．（2022春?蕭山區(qū)期中）因式分解：2x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝．6．（2022春?長興縣月考）812﹣81肯定能被（）整除．A．79B．80C．82D．837．（2022春?金東區(qū)期中）如圖，邊長為a、b的長方形周長為20，面積為16，則a2b+ab2的值為．8．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）已知（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）可分解因式為（x+a）（x+b），則ab的值是．9．（2022春?上虞區(qū)期末）已知x﹣y＝，xy＝，則xy2﹣x2y的值是（）A．﹣B．1C．D．四．因式分解-運用公式法（共7小題）10．（2022春?西湖區(qū)期末）因式分解：x2+2x+1＝．11．（2022春?青田縣校級期中）下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+y2B．﹣a2﹣b2C．x3﹣y2D．a(chǎn)2﹣b212．（2022春?余姚市校級期末）下列各式中，能用完全平方公式進行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2+2x+2D．x2﹣2x+113．（2022春?柯橋區(qū)期末）計算：20232﹣20222＝．14．（2022春?北侖區(qū)期末）若x2﹣36y2＝（x+my）（x﹣my），則m的值為．15．（2022春?上城區(qū)校級期中）如圖，有一張邊長為b的正方形紙板，在它的四角各剪去邊長為a的正方形．然后將四周突出的部分折起，制成一個無蓋的長方體紙盒．用M表示其底面積與側面積的差，則M可因式分解為（）A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）216．（2022春?紹興期末）因式分解：x2﹣16x+64＝．五．提公因式法與公式法的綜合運用（共6小題）17．（2022春?新昌縣期末）下列因式分解正確的是（）A．m2+n2＝（m+n）2B．x3﹣x2+x＝x（x2﹣x+1）C．a(chǎn)2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2D．m2﹣n2＝（m﹣n）218．（2022春?樂清市校級期中）﹣y3+6y2﹣9y＝．19．（2022春?拱墅區(qū)期末）下列因式分解正確的是（）A．a(chǎn)3+a2+a＝a（a2+a）B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2C．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2）D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+120．（2022春?上城區(qū)校級期中）將下列多項式分解因式，結果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2﹣4B．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16C．x3﹣4x2+4xD．x2+2x21．（2022春?常山縣期末）分解因式：3ax2﹣6ax+3a＝．22．（2022春?象山縣校級期中）因式分解：（1）﹣ab+2a2b﹣a3b；（2）4（x﹣y）2﹣8x+8y．六．因式分解-分組分解法（共2小題）23．（2022春?西湖區(qū)校級期中）因式分解（1）﹣2x3+16x2﹣24x；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．24．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）因式分解：（1）ab2+b3（2）16x2﹣8xy+y2（3）（m2﹣3）2﹣4m2（4）x2﹣2x+2xy+y2﹣2y+1七．因式分解-十字相乘法等（共7小題）25．（2022春?象山縣校級期中）下列因式分解正確的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a(chǎn)3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x+10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5y2＝5xy（2x﹣y）26．（2022春?瑞安市月考）若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），則ab的值為．27．（2022春?杭州期中）給出三個多項式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）請任選擇兩個多項式進行加法運算，并把結果因式分解；（2）當a＝4，b＝﹣7時，求第（1）問所得的代數(shù)式的值．28．（2022春?紹興期末）如圖，標號為①、②、③、④的長方形不重疊地圍成長方形PQMN．已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個長方形的面積均為S，AE＝x，DE＝y(tǒng)，且x＞y．若代數(shù)式x2﹣3xy+2y2的值為0，則＝．29．（2022春?象山縣校級期中）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+4a+3，解：原式＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣l）＝（a+3）（a+l）②M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值：解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5因為（a﹣1）2≥0，所以當a＝1時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式x2﹣8x+；（2）用配方法因式分解x2﹣4xy﹣12y2；（3）若M＝4x2+2x﹣1，求M的最小值．30．（2022春?東陽市校級期中）閱讀下列材料：對于多項式x2+x﹣2，如果我們把x＝1代入此多項式，發(fā)現(xiàn)x2+x﹣2的值為0，這時可以確定多項式中有因式（x﹣1）；同理，可以確定多項式中有另一個因式（x+2），于是我們可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：對于多項式2x2﹣3x﹣2，發(fā)現(xiàn)當x＝2時，2x2﹣3x﹣2的值為0，則多項式2x2﹣3x﹣2有一個因式（x﹣2），我們可以設2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我們可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．請你根據(jù)以上材料，解答以下問題：（1）當x＝時，多項式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項式8x2﹣x﹣7有因式，從而因式分解8x2﹣x﹣7＝；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，常用來分解一些比較復雜的多項式，請你嘗試用試根法分解多項式：①3x2+11x+10；②x3﹣21x+20．31．（2022春?諸暨市期中）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知：二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（x﹣5），求另一個因式以及k的值．八．因式分解的應用（共12小題）32．（2022春?江干區(qū)校級期中）【方法呈現(xiàn)】我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩栴}．例如：x2+4x+5＝（x2+4x+4）﹣4+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．【嘗試應用】（1）直接寫出（x﹣1）2+3的最小值為；（2）求代數(shù)式x2+10x+32的最?。ɑ蜃畲螅┲?，并寫出相應的x的值．【拓展提高】（3）用長12m的一根鐵絲圍成長方形，能圍成的長方形的最大面積是多少？請說明理由．33．（2022春?婺城區(qū)期末）在當今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，密碼與我們生活已經(jīng)緊密聯(lián)系在一起．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，其原理是：先將一個多項式分解因式，再計算各因式所得的值，最后將各因式的值進行組合．如：將多項式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的結果為（x+2）（x+3）（x﹣3），當x＝15時，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此時，可獲得密碼171812或171218或181712等．根據(jù)上述方法，解答以下問題：（1）對于因式分解結果為（x+2）（x﹣1）的多項式，當x＝21時，用“因式分解”法獲得的密碼為．（2）當x＝20，y＝2時，對于多項式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以產(chǎn)生哪些數(shù)字密碼（求出四個即可）？（3）已知多項式x3+ax2+bx+3因式分解成三個一次式，當x＝23時，用“因式分解”法可以得到密碼202224，求a，b的值．34．（2022春?麗水期末）已知正數(shù)a，b，c，滿足a﹣b＝b﹣c＝1，ab+ac+bc＝4．（1）a﹣c＝；（2）如圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長分別為c，c+1，c+2，若這三張正方形紙片的面積之和為S，則S的值為．35．（2022春?東陽市期末）教材中的探究：通過用不同的方法計算同一圖形面積，得到相應的等式，從而探求出多項式乘法或分解因式的新途徑．例如，選取圖①中的正方形、長方形硬紙片共6塊，拼出一個如圖②的長方形，計算它的面積寫出相應的等式：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）請根據(jù)圖③寫出代數(shù)恒等式，并根據(jù)所寫恒等式計算（x﹣2y﹣3）2；（2）若x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3，求x+y+z的值．（3）試借助圖①的硬紙片，利用拼圖的方法把二次三項式3a2+7ab+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在虛線方框內．36．（2022春?西湖區(qū)期末）（1）化簡：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2．（2）利用（1）中的結果，計算a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，其中a＝98，b＝100，c＝102．（3）若a﹣b＝1，b﹣c＝2，a2+b2+c2＝7，求ab+bc+ac的值．37．（2022春?西湖區(qū)校級期中）配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．請用配方法解決以下問題．（1）試說明：x，y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)；（2）分解因式：a4+a2+1；（3）已知實數(shù)a，b滿足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．38．（2022春?鄞州區(qū)期中）數(shù)學活動課上，老師準備了若干張如圖1所示的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．現(xiàn)在用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2所示的大正方形．觀察圖形并解答下列問題．（1）由圖1到圖2的過程可得到的因式分解等式為（用含a，b的代數(shù)式表示）；（2）小敏用圖1中的A、B、C三種紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+2b）的大長方形，求需要A、B、C三種紙片各多少張；（3）如圖3，C為線段AB上的動點，分別以AC，BC為邊在AB的兩側作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，記正方形ACDE和正方形BCFG的面積分別為S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的結論求圖中三角形ACF的面積．39．（2022春?柯橋區(qū)期中）若一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么就稱這個正整數(shù)為智慧數(shù)．如，52﹣32＝16，則16是一個智慧數(shù)，5和3稱為16的一對智慧分解數(shù)．則2019的智慧分解數(shù)有．40．（2022春?杭州期中）化簡求值：小明在求兩位數(shù)的平方時，可以用“列豎式”的方法進行計算，求解過程如圖1所示，34的平方中，首數(shù)字3的平方對應09，尾數(shù)字4的平方對應16，…（1）仿照圖1，用“列豎式”的方法計算一個兩位數(shù)的平方，部分過程如圖2所示，求這個兩位數(shù)；（2）（10n+m）2是一個兩位數(shù)的平方，用“列豎式”方法進行計算的部分過程如圖3所示，求m，n的值．41．（2022春?拱墅區(qū)期末）將一個多項式分組后，可提取公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．（1）因式分解：①x2﹣y2+x+y；②ab﹣a﹣b+1；（2）若a，b都是正整數(shù)且滿足ab﹣a﹣b﹣6＝0，求2a+b的值．42．（2022春?“用乘法公式分解因式”中這樣寫到：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式．再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值、或小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知當x＝﹣1時2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝；（2）求代數(shù)式﹣a2+8a+1的最大值；（3）當a、b為何值時，多項式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+有最小值，并求出這個最小值；（4）設a為實數(shù)，b為正整數(shù)，當多項式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+取得最小整數(shù)時，則a＝，b＝．43．（2022春?金東區(qū)期末）通常情況下，a+b不一定等于ab，觀察下列幾個式子：第1個：2+2＝2×2；第2個：3+＝3×；第3個：4+＝4×…我們把符合a+b＝ab的兩個數(shù)叫做“和積數(shù)對”．（1）寫出第4個式子．（2）寫出第n個式子，并檢驗．（3）若m，n是一對“和積數(shù)對”，求代數(shù)式的值．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2023春·浙江·七年級專題練習）把多項式分解因式的結果正確的是（）A． B． C． D．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A． B．C． D．3．（2023春·浙江·七年級專題練習）多項式可因式分解成，其中、、均為整數(shù)，求的值為()A． B． C．或 D．或4．（2022春·浙江寧波·七年級校考期中）下列各式中，能用完全平方公式進行因式分解的是()A． B． C． D．5．（2023春·浙江·七年級專題練習）如果，那么代數(shù)式的值是（）A． B．0 C．1 D．26．（2023春·七年級單元測試）多項式分解因式為，其中，，為整數(shù)，則的取值有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個7．（2023春·七年級課時練習）如圖，有三種規(guī)格的卡片共9張，其中邊長為的正方形卡片1張，邊長為的正方形卡片4張，長，寬分別為，的長方形卡片4張．現(xiàn)使用這9張卡片拼成一個大的正方形，則這個大正方形的邊長為（）A． B． C． D．8．（2023春·七年級課時練習）已知，則的值為（）A． B．0 C． D．9．（2023春·七年級課時練習）若能分解成兩個一次因式的積，則的值為（）A．1 B． C． D．2二、填空題10．（2023春·浙江·七年級專題練習）因式分解_____．11．（2023春·浙江·七年級專題練習）分解因式：______．12．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知，則的值是_____．13．（2023春·七年級課時練習）已知：，，則的結果是______．14．（2023春·七年級課時練習）一個二次二項式分解后其中的一個因式為，請寫出一個滿足條件的二次二項式______．15．（2023春·浙江·七年級專題練習）如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小長方形，且（以上長度單位：cm）．觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為______________．16．（2023春·浙江·七年級期中）若，且，則___________．17．（2023春·七年級課時練習）多項式的公因式是________．18．（2023春·浙江·七年級專題練習）當時，代數(shù)式__________19．（2023