英才學院《電工學》教案02正弦交流電路

圖2.3正弦電流的初相位學習目標：1.理解正弦量的特征及其各種表示方法；2.；熟練掌握計算正弦交流電路的相量分析法，會畫相量圖；3.掌握有功功率和功率因數的計算,了解瞬時功率、無功功率和視在功率的概念；4.了解正弦交流電路的頻率特性，串、并聯諧振的條件及特征；5.了解提高功率因數的意義和方法；6.三相電壓電流的規(guī)律和計算；7.掌握三相四線制供電系統(tǒng)中單相及三相負載的正確聯接方法，理解中線的作用；8.掌握對稱三相電路電壓、電流及功率的計算。2.1正弦電壓與電流1.正弦電流及其三要素隨時間按正弦規(guī)律變化的電流稱為正弦電流，同樣地有正弦電壓等。這些按正弦規(guī)律變化的物理量統(tǒng)稱為正弦量。設圖2.1中通過元件的電流i是正弦電流，其參考方向如圖所示。正弦電流的一般表達式為：i(t)=Imsin(ωt+ψ)圖2.1電路元件圖2.2正弦電流波形圖它表示電流i是時間t的正弦函數，不同的時間有不同的量值，稱為瞬時值，用小寫字母表示。電流i的時間函數曲線如圖2.2所示，稱為波形圖。Im為正弦電流的最大值(幅值)，即正弦量的振幅，用大寫字母加下標m表示正弦量的最大值，例如Im、Um、Em等,它反映了正弦量變化的幅度。(Ot+ψ)隨時間變化，稱為正弦量的相位，它描述了正弦量變化的進程或狀態(tài)。ψ為t=0時刻的相位，稱為初相位(初弦電流的波形圖。正弦電流每重復變化一次所經歷的時間間隔即為它的周期，用T表示，周期的單位為秒(s)。正弦電流每經過一個周期T，對應的角度變化了2π弧度，所以OT=2ω==2f式中ω為角頻率，表示正弦量在單位時間內變化的角度，反映正弦量變化的快慢。用弧度/秒(rad/s)作為角頻率的單位；f=1/T是頻率，表示單位時間內正弦量變化的循環(huán)次數，用1/秒(1/s)作為頻率的單位，稱為赫茲(Hz)。我國電力系統(tǒng)用的交流電的頻率(工頻)最大值、角頻率和初相位稱為正弦量的三要素。2.相位差任意兩個同頻率的正弦電流i1(t)=Im1sin(Ot+1)i2(t)=Im2sin(Ot+2)的相位差是相位差在任何瞬間都是一個與時間無關的常量，等于它們初相位之差。習慣上取∣Q12∣≤180°。若兩個同頻率正弦電流的相位差為零，即Q12=0，則稱這兩個正弦量為同相位。指i1比i2先到達正峰值，反過來也可以說i2滯后i1。超前或滯后有時也需指明超前或滯后多電流的相位差為Q12=，則稱這兩個正弦量為反相。如果Q12=2，則稱這兩個正弦量為正圖2.4正弦量的相位關系3.有效值產生的能量相等，則此直流電流的量值為此周期性電流的有效值。周期性電流i流過電阻R，在時間T內，電流i所產生的能量為直流電流I流過電阻R在時間T內所產生的能量為W2=I2RT當兩個電流在一個周期T內所作的功相等時，有于是，得I=對正弦電流則有I==I m=2≈0.707Im同理可得在工程上凡談到周期性電流或電壓、電動勢等量值時，凡無特殊說明總是指有效值，一般電氣設備銘牌上所標明的額定電壓和電流值都是指有效值。2.2正弦量的相量表示法由于在正弦交流電路中,所有的電壓、電流都是同頻率的正弦量，所以要確定這些正弦量，只要確定它們的有效值和初相就可以了。相量法就是用復數來表示正弦量。1.復數及其表示形式設A是一個復數，并設a和b分別為它的實部和虛部，則有A=a+jb表示形式稱為復數的代數形式。復數可以用復平面上所對應的點表示。圖2.5復數在復平面上的表示圖2.6復數的矢量表示A=復數A的矢量與實軸正向間的夾角ψ稱為A的輻角，記作b2.6中可得如下關系：復數稱為復數的三角形式。再利用歐拉公式(|a=Acosv|b=AsinvA=a+jb=A(cosψ+jsinψ)又得AA=Aee稱為復數的指數形式。在工程上簡寫為A=A/ψ。2.復數運算1)復數的加減設有兩個復數：A1=a1+jb1A2=a2+jb2Aajbajb=(a1a2)+j(b1b2)兩個復數相加的運算在復平面上是符合平行四邊形的求和法則的；如圖3.7所示。圖2.7復數的加減2)復數的乘除復數的乘除運算，一般采用指數形式。設有兩個復數A2=a2+jb2=A2/ψ2A1A1即復數相乘時，將模和模相乘，輻角相加；復數相除時，將模相除，輻角相減。Aejej=Aej(2+)=A等于/ψ1+ψ即復數的模不變，輻角變化了ψ角，此時復數矢量按逆時針方向旋轉了ψ角。所以ej稱為旋轉因子。使用最多的旋轉因子是ej90°=j和ej(-90°)=-j。任何一個復數乘以j(或除以j)，相當于將該復數矢量按逆時針旋轉90°；而乘以-j則相當于將該復數矢量按順時針旋轉90°。3.正弦量的相量表示法正弦量可以寫作式中，符號Im是虛數的縮寫。其中復常數部分Uej是包含了正弦量的有效值U和初相角ψ的復數，我們把這復數稱為正弦量的相量，并用符號U.表示，上面的小圓點是用來表示相量。則相量和復數一樣，可以在復平面上用矢量表示，這種表示相量的圖，稱為相量圖。如圖2.8電壓相量圖例1已知正弦電壓寫出表示u1和u2的相量表示式，并畫出相量圖。圖2.9例1電壓的相量圖例2已知兩頻率均為50Hz的電壓，表示它們的相量分別為U.1=380/30°V，U.2=220/-60°V，試寫出這兩個電壓的解析式。iI.2=100/-120°AI.1+I.2=100/0°+100/-120°=100/-60°A由此可見,正弦量用相量表示，可以使正弦量的運算簡化。2.3單一參數的交流電路電阻R、電感L、電容C是交流電路中的基本電路元件。本節(jié)著重研究三種元件上的電壓與電流關系，能量的轉換及功率問題。1.電阻元件1)電阻元件上電壓與電流的關系當電阻兩端加上正弦交流電壓時，電阻中就有交流電流通過，電壓與電流的瞬時值仍然遵循歐姆定律。在圖2.10中，電壓與電流為關聯參考方向，則電阻上的電流為上式是交流電路中電阻元件的電壓與電流的基本關系。如加在電阻兩端的是正弦交流電壓uR=URmsin(Ot+u)圖2.10電阻元件則電路中的電流為U式中IRm=mi=u寫成有效值關系為：I=URRR或UR=RIR從以上分析可知：(1)電阻兩端的電壓與電流同頻率、同相位； (2)電阻兩端的電壓與電流的數值上成正比.其波形圖如2.11所示(設i其波形圖如2.11所示(設i)。圖2.11電阻元件的電壓、電流波形圖電阻元件上電壓與電流的相量關系為URRIRuRIRiI.R=IR/ψiU.R=RI.R就是電阻元件上電壓與電流的相量關系，也就是相量形式的歐姆定律。圖2.12給出了電阻元件的相量模型及相量圖。2)電阻元件的功率在交流電路中，任意電路元件上的電壓瞬時值與電流瞬時值的乘積稱作該元件的瞬時功率。用小寫字母P表示。當uR，iR為關聯參考方向時，(a)相量模型(b)相量圖圖2.12電阻元件的相量模型及相量圖RRP=uRR若電阻兩端的電壓、電流為(設初相角為0°)uR=URmsinOtiR=IRmsinOt則正弦交流電路中電阻元件上的瞬時功率為P=uRiR=URmsinOtIRmsinOt=RmRmUIsin=RmRm2.13所示。從圖中可知：只要有電流流過電阻，電阻R上的瞬時功率P≥0，即總是吸收功率(消耗功率)。其吸收功率的大小在工程上都用平均功率來表示。周期性交流電路中的平均功率就是瞬時功率在一個周期的平均值。平均功率又因所以UR=RIRP=URIR=IR2R=UR2/R圖2.13電阻元件的功率波形圖由于平均功率反映了元件實際消耗電能的情況，所以又稱有功功率。習慣上常簡稱功。例1一額定電壓為220V、功率為100W的電烙鐵，誤接在380V的交流電源上，問此時它消耗的功率是多少？會出現什么現象。解：已知額定電壓和功率，可求出電烙鐵的等效電阻R=U=2202P100=484Ω當誤接在380V電源上時，電烙鐵實際消耗的功率為P1==300W此時，電烙鐵內的電阻很可能被燒斷。2.電感元件1)電感元件上電壓和電流的關系設一電感L中通入正弦電流，其參考方向如圖2.14所示。設iL=ILmsin(Ot+i)則電感兩端的電壓為udtdt=ILmOLcos(Ot+i)udtdt=ILmOLcos(Ot+i)inOtu式中ULm=OLILmΨu=Ψi+2圖2.14電感元件寫成有效值為UL=OLIL或U LULIL從以上分析可知：(1)電感兩端的電壓與電流同頻率；(2)電感兩端的電壓在相位上超前電流90°；(3)電感兩端的電壓與電流有效值(或最大值)之比為OL。令XL=OL=2fLXL稱為感抗，它用來表示電感元件對電流阻礙作用的一個物理量。它與角頻率成正比。單位是歐姆。在直流電路中，ω=0，XL=0，所以電感在直流電路中視為短路。UL=XLIL元件的電壓、電流波形圖如2.15所示(設ψi=0)。圖2.15電感元件的電壓、電流波形圖電感元件上電壓與電流的相量關系為即UL=jXLIL圖2.16給出了電感元件的相量模型及相量圖。(a)相量模型(b)相量圖圖2.16電感元件的相量模型及相量圖2)電感元件的功率在電壓與電流參考方向一致的情況下電感元件的瞬時功率若電感兩端的電流、電壓為(設Ψi=0)iL=ILmsinOtu2u2則正弦交流電路中電感元件上的瞬時功率為p=uLiL=ULmsin(Ot+)ILmsinOt=ULmILmsinOtcosOt其電壓、電流、功率的波形圖如圖2.17所示。由上式或波形圖都可以看出，此功率是以兩倍角頻率作正弦變化的。圖2.17電感元件的功率波形圖電感在通以正弦電流時，所吸收的平均功率為t上式表明電感元件是不消耗能量的，它是儲能元件。電感吸收的瞬時功率不為零，在第一和第三個1/4周期內，瞬時功率為正值，電感吸取電源的電能，并將其轉換成磁場能量儲存起來；在第二和第四個1/4周期內，瞬時功率為負值，將儲存的磁場能量轉換成電能返送給電源。為了衡量電源與電感元件間的能量交換的大小，把電感元件瞬時功率的最大值稱為無功功率，用QL表示。2U2LQL=ULIL=ILXL=LXL(3-23)無功功率的單位為乏(var)，工程中有時也用千乏(kvar)。1kvar=103var例2若將L=20mH的電感元件，接在UL=110V的正弦電源上，則通過的電流是1mA，求(1)電感元件的感抗及電源的頻率；(2)若把該元件接在直流110V電源上,會出現什么現象?電源頻率f==一3=8.76105Hz(2)在直流電路中,XL=0,電流很大,電感元件可能燒壞。3.電容元件1)電容元件上電壓和電流的關系設一電容C中通入正弦交流電，其參考方向如圖2.18所示。設外接正弦交流電壓為uc=Ucmsin(Ot+u)則電路中電流CducCdUcmsin(Ot+u)ic=dt=dt=2=Icmsin(Ot+i)圖2.18電容元件式中ICm=UCmOCUC1寫成有效值為IC=OCUC或ICOC從以上分析可知：(1)電容兩端的電壓與電流同頻率；(2)電容兩端的電壓在相位上滯后電流90°；(3)電容兩端的電壓與電流有效值之比為OC。11令XC=OC=2fCXC稱為容抗，它用來表示電容元件對電流阻礙作用的一個物理量。它與角頻率成反比，單位是歐姆。XCCCUCCC設Ψu=0)電容元件上電壓與電流的相量關系為即即件的相量模型及相量圖。圖2.19電容元件的電壓、電流波形圖 CXC(a)相量模型(b)相量圖圖2.20電容元件的相量模型及相量圖2)電容元件的功率在電壓與電流參考方向一致的情況下，設uC=UCmsinOt則電容元件的瞬時功率為p=uCiC=UCmsinOtICmsin(Ot+)=UCmICmsinOtcosOtsinOt其電壓、電流、功率的波形圖如圖2.21所示。由上式或波形圖都可以看出，此功率是以兩倍角頻率作正弦變化的。電容在通以正弦電流時，所吸收的平均功率為與電感元件相同，電容元件也是不消耗能量的，它也是儲能元件。電容吸收的瞬時功率不為零，在第一和第三個1/4周期內，瞬時功率為正值，電容吸取電源的電能，并將其轉換成電場能量儲存起來；在第二和第四個1/4周期內，瞬時功率為負值，圖2.21電容元件的功率波形圖將儲存的電場能量轉換成電能返送給電源。用無功功率QC表示電源與電容間的能量交換QC=UCIC=IXC=流過電容的電流i(t)并畫出電壓、電流的相量圖。(2)若接在直流6V的電源上，則電流為多少？解：(1)U.=6/-60°VCXC==1000110一6=100C一jxc一j100/-60°+90°=0.06/30°A圖2.22。圖2.22電壓、電流的相量圖2.4電阻、電感與電容元件串聯交流電路1.電阻、電感和電容串聯電路及復阻抗電阻、電感和電容串聯電路如圖2.23所示。相量形式的KVL可得=RI.+jOLI.+I.==jOCRjXL=jOCRjXL一XC)]I.圖2.23R、L、C串聯電路式中令則有=ZI.Z=R+j(XL一XC)X=XL一XCZ==R+jX可見，在R、L、C串聯電路中，電壓相量U.與電流相量I.之比為一復數Z，它的實部為電路的電阻R，虛部為電路中的感抗XL與電容XC之差，X稱為電路的電抗，Z稱為電路的復阻抗。將復阻抗寫成指數形式，則為ZZ R2+ R2+X2=Z其中Z=R2+X2=R2+(XL一XC)2其中Q=arctan=arctanXQ=arctan=arctanRR以上兩式表明：復阻抗的模Z(也可稱阻抗)及輻角Q的大小，只與參數及角頻率有關，而與電壓及電流無關。復阻抗的模Z和R及X構成一個直角三角形。如圖2.24所示，稱為阻抗三角形，輻角Q又稱為阻抗角。X=ZsinQuiui可見復阻抗的模Z等于電壓的有效值與電流的有效值之比，輻角Q等于電壓與電流的相位差角，即U由此可見，復阻抗Z決定了電壓、電流的有效值大小和相位間的關系。所以復阻抗是正弦交流電路中一個十分重要的概念，為了簡明，復阻抗可簡稱為阻抗。RLCRXLXC=7Ω，正弦電壓U=100V，試求電路的復阻抗，電路中的電流和各元件上的電壓，并作出相量圖。解：復阻抗Z=R+j(XLXC)=3+j(37)=3j4=5/-53.1°Ω設電壓則(V)I.=U.100/0。Z=5/53.1。=20/53.1°(A)URRI20/53.1°=60/53.1°(V)U.L=jXLI.=j320/53.1°=60/143.1°U.C=jXCI.=j720/53.1°=140/-36.9°(V)相量圖如圖2.25。下面我們討論電路參數對電路性質的影響。根據電路參數可得出R、L、C串聯電路的性質：(1)當XL>XC時，Q>0，即電壓超前電流Q角；電路呈感性；(2)當XL<XC時，Q<0，即電壓滯后電流，電路呈容性；(3)當XL=XC時，Q=0，即電壓與電流同相位，電路呈阻性。三種情況的相量圖如圖2.26所示：則則即圖2.26R、L、C串聯電路相量圖由上面分析可知：一90o<Q<90°，當電源頻率不變時，改變電路參數L或C可以改變電路的性質；若電路參數不變，也可以改變電源頻率達到改變電路的性質。從圖2.26的相量圖還可看出，電阻電壓UR、電抗電壓UX=UL+UC和端電壓U.的三個相量組成一個直角三角形叫電壓三角形，它與阻抗三角形是相似三角形。即U=UR2+(UL一UC)2=UR2+UX2例2電路如圖2.27(a)圖所示是一移相電路，已知輸入電壓Uin=1V，f=1000Hz，C=0.01f，欲使輸出電壓uo較輸入電壓uin的相位滯后60o，試求電路的電阻。(a)移相電路(b)相量圖U.0一jI.XC一jXCXC/一90oU.in=I.(R一jXC)=R一jXC=/一arctan(XC/R)Q=-90°+R欲使輸出電壓uo較輸入電壓uin的相位滯后60oarctan=30oXCR3R=3XC=315.9=27.6k例3電路如圖2.28(a)圖所示為正弦交流電路中的一部分,已知電壓表V1的讀數為6V，V2的讀數為8V，試求端口電壓U。(a)電路圖(b)相量圖解：以電流為參考相量，畫出相量圖如圖2.28(b)所示。U=U+U=62+82=10V本例也可用相量法計算：設電流相量為I.=I/0°則UR=6/0°=6V則UL=8/90°=j8V由KVLU=UR+UL=6+j8=10/53.1°V2.5阻抗的串聯與并聯1.阻抗的串聯阻抗串聯電路如圖2.29所示，根據相量形式的KVL可得，IZI式中Z=Z1+Z2+Z3Z為全電路的等效阻抗，它等于各復阻抗之和。如果把各阻抗用R與X串聯來表示，即Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2，Z3=R3+jX3則Z=(R1+R2+R3)+j(X1+X2+X3)=R+jX式中R=R1+R2+R3X=X1+X2+X3圖2.29阻抗串聯電路因此，串聯阻抗的等效電阻等于各電阻之和，等效電抗等于各電抗的代數和。故等效阻抗的模為Z=(R1+R2+R3)2+(X1+X2+X3)2阻抗角為Q=arctan阻抗角為Q=arctan+R+R33阻抗串聯時的分壓公式其公式與直流電路相似，所不同的是電壓、電流均為相量，Z為復數。例1設三個復阻抗串聯電路如圖2.30所示，已知Z1=5+j10，Z2=10一j15，并畫出相量圖。解：復阻抗Z=Z1+Z2+Z343°I.=U.=40/30。Z20.5/一43。=1.95/73°A=21.8/136.4°VU.2=Z2I.=(10-j15)1.95/73°=35.2/16.7°VU.3=Z3I.==-j91.95/73°=17.6/-17°V.30所示。2.阻抗的并聯阻抗并聯電路如圖2.31，根據相量形式的KCL得 1=1+1+1式中123Z式中123幾個復阻抗并聯時，全電路的等效復阻抗的倒數等于各復阻抗的倒數之和。若用導納表示，則為Y=Y1+Y2+Y3也就是說，幾個復導納并聯時，等效復導納等于各復導納之和。當兩個復阻抗并聯時，其等效阻抗也可用下式計算：Z=a。已知R1=3，XL=4，XC=2，R3=10，U.=20/0°V，試求電路的等效復阻抗，總電流I.和支路電流I.1、I.2、I.3，并畫出相量圖。=j+j+=+j=0.22+j0.34SZ===1.34j2.17=2.46/-57.1°ΩI.=U.=20/0=8.1Z2.46/57.1/57.1°A1IU0=1Z2j210/90°AZ1Z2j210/90°A3IU20/0=332/0°32/0°A相量圖如圖2.32(b)所示。(a)電路圖(b)相量圖3.阻抗混聯電路阻抗混聯的電路的分析方法可按照直流電路的方法進行。例3在圖2.33中，已知R=10，L=40mH，C=10uf，R1=50，U.=100/0°V，O=1000rads，試求各支路電流。解：(1)首先計算全電路的等效阻抗ZXL=40XC===100Z=R+jXL+=10+j40+=10+j40+40j20=50+j20=53.9/21.8°Ω(2)計算電路總電流I.=U.=100/0=Z53.9/21.81.86/-21.8°A(3)利用分流公式計算各支路電流I.=jXCI.=j1001R1jXC50j1001.86/21.8°=1.66/-48.4°AI.2=I.=1.86/21.8°=0.83/41.6°A或I.2=I.I.1=1.86/21.8°-1.66/-48.4°=0.83/41.6°A從上例可以看出，阻抗串、并聯交流電路的計算同直流電路的電阻串、并聯方法相同，所不同的是電阻用復阻抗來代替，電壓、電流用相量代替，且計算比較復雜。2.6電路中的諧振諧振的概念：在同時含有L和C的交流電路中，如果總電壓和總電流同相，稱電路處于諧振狀態(tài)。此時電路與電源之間不再有能量的交換，電路呈電阻性。串聯諧振：L與C串聯時u、i同相并聯諧振：L與C并聯時u、i同相研究諧振的目的，就是一方面在生產上充分利用諧振的特點，(如在無線電工程、電子測量技術等許多電路中應用)。另一方面又要預防它所產生的危害。2.7功率因數的提高1.有功功率、無功功率、視在功率和功率因數設有一個二端網絡，取電壓、電流參考方向如圖2.34所示，則網絡在任一瞬間時吸收的功率即瞬時功率為p=u(t).i(t)設u(t)=2Usin(Ot+Q)設i(t)=2IsinOt其中Q為電壓與電流的相位差。p(t)=u(t).i(t)Usin(Ot+Q).2IsinOt2.35所示。瞬時功率有時為正值，有時為負值，表示網絡有時從圖2.35瞬時功率波形圖外部接受能量，有時向外部發(fā)出能量。如果所考慮的二端網絡內不含有獨立源，這種能量交換的現象就是網絡內儲能元件所引起的。二端網絡所吸收的平均功率P為瞬時功率p(t)在一個周期內的平均值，可見，正弦交流電路的有功功率等于電壓、電流的有效值和電壓、電流相位差角余弦的乘積。網絡為純電阻情況下，Q=0，功率因數cosQ=1，網絡吸收的有功功率PR=UI；當二端這與前面2．3節(jié)的結果完全一致。二端網絡兩端的電壓U和電流I的乘積UI也是功率的量綱，因此，把乘積UI稱為該網絡的視在功率，用符號S來表示，即為與有功功率區(qū)別，視在功率的單位用伏安(VA)。視在功率也稱容量，例如一臺變壓器的容量為4000kVA，而此變壓器能輸出多少有功功率，要視負載的功率因數而定。在正弦交流電路中，除了有功功率和視在功率外，無功功率也是一個重要的量。即Q=UxI而UX=UsinQ所以無功功率Q=UIsinQ當Q=0時，二端網絡為一等效電阻，電阻總是從電源獲得能量，沒有能量的交換；當Q豐0時，說明二端網絡中必有儲能元件，因此，二端網絡與電源間有能量的交換。2.功率因數的提高電源的額定輸出功率為PN=SNcosQ，它除了決定于本身容量(即額定視在功率)外，還與負載功率因數有關。若負載功率因數低，電源輸出功率將減小，這顯然是不利的。因此為了充分利用電源設備的容量，應該設法提高負載網絡的功率因數。另外，若負載功率因數低，電源在供給有功功率的同時，還要提供足夠的無功功率，致使供電線路電流增大，從而造成線路上能耗增大?？梢?，提高功率因數有很大的經濟意義。功率因數不高的原因，主要是由于大量電感性負載的存在。工廠生產中廣泛使用的三相異步電動機就相當于電感性負載。為了提高功率因數，可以從兩個基本方面來著手：一方面是改進用電設備的功率因數，但這主要涉及更換或改進設備；另一方面是在感性負載的兩端并聯適當大小的電容器。下面分析利用并聯電容器來提高功率因數的方法。原負載為感性負載，其功率因數為cosQ，電流為I.1，在其兩端并聯電容器C，電路如圖3.47所示，并聯電容以后，并不影響原負載的工作狀態(tài)。從相量圖可知由于電容電流補償了負載中的無功電流。使總電流減小，電路的總功率因數提高了。(b)相量圖電路圖設有一感性負載的端電壓為U，功率為P，功率因數cosQ1，為了使功率因數提高到cosQ，可推導所需并聯電容C的計算公式：IC=I1sinQ1IsinQ=P(tgQ1tgQ)流過電容的電流U又因IC=UOC所以C=(tgQ1tgQ)例1兩個負載并聯,接到220V、50Hz的電源上。一個負載的功率P1=2.8kW，功率因數cosQ1=0.8(感性)，另一個負載的功率P2=2.42kW，功率因數cosQ2=0.5(感性)。試求:(1)電路的總電流和總功率因數；(2)電路消耗的總功率；(3)要使電路的功率因數提高到0.92，需并聯多大的電容？此時，電路的總電流為多少？(4)再把電路的功率因數從0.92提高到1,需并聯多大的電容?I1=cosQ1=0.8Q1=36.9°2I2cos設電源電壓2P24202=UcosQ2=2200.5Q1=0.5Q1=60°=22A則I1=15.9/-36.9°AI2=22/-60°AI.=I1+I2=15.9/-36.9°+22/-60°=37.1/-50.3°AI=37.1AQ=50.3°cosQ=0.64P=P1+P2=2.8+2.42=5.22kWQQocosQ=0.64Q=50.3°=0.00034(1.2-0.426)=263FI=P=5220=25.8UcosQ2200.92AcosQ=0.92Q=23.1o=0.00034(0.426-0)=144.8F由上例計算可以看出，將功率因數從0.92提高到1，僅提高了0.08，補償電容需要144.8F，將增大設備的投資。在實際生產中并不要把功率因數提高到1，因為這樣做需要并聯的電容較大，功率因數提高到什么程度為宜，只能在作具體的技術經濟比較之后才能決定。通常只將功率因數提高到0.9~0.95之間。2.8三相電路1.三相電源三相電源是具有三個頻率相同、幅值相等但相位不同的電動勢的電源，用三相電源供電的電路就稱為三相電路。1)對稱三相電源在電力工業(yè)中，三相電路中的電源通常是三相發(fā)電機，由它可以獲得三個頻率相同、幅值相等、相位互差120°的電動勢，這樣的發(fā)電機稱為對稱三相電源。圖2.37是三相同步發(fā)電機的原理圖。三相發(fā)電機中轉子上的勵磁線圈MN內通有直流電流，使轉子成為一個電磁鐵。在定子內側面、空間相隔120°的槽內裝有三個完全相同的線圈A-X，B-Y，C-Z。轉子與定子間磁場被設計成正弦分布。當轉子以角速度O轉動時，三個線圈中便圖2.37三相同步發(fā)電機原理圖感應出頻率相同、幅值相等、相位互差120°的三個電動勢。有這樣的三個電動勢的發(fā)電機便構成一對稱三相電源。對稱三相電源的瞬時值表達式(以uA為參考正弦量)為uc=2Usin(ot+120O)三相發(fā)電機中三個線圈的首端分別用A、B、C表示；尾端分別用X、Y、Z表示。三相電壓的參考方向為首端指向尾端。對稱三相電源的電路符號如圖2.38所示。它們的相量形式為A|A|U.B=U/-120。卜對稱三相電壓的波形圖和相量圖如圖2.39和圖2.40所示。對稱三相電壓三個電壓的瞬時值之和為零，即uAuBuC=0圖2.40波形圖圖2.40波形圖三個電壓的相量之和亦為零，即這是對稱三相電源的重要特點。通常三相發(fā)電機產生的都是對稱三相電源。本書今后若無特殊說明，提到的三相電源均為對稱三相電源。2)相序三相電源中每一相電壓經過同一值(如正的最大值)的先后次序稱為相序。從圖2.40可以看出，其三相電壓到稱為順序或正序。若將發(fā)電機轉子反轉，則圖2.41相量圖uA=2Usinot相序為A-C-B-A，稱為逆序或負序。工程上常用的相序是順序，如果不加以說明，都是指順序。工業(yè)上通常在交流發(fā)電機的三相引出線及配電裝置的三相母線上，涂有黃、綠、紅三種顏色，分別表示A、B、C三相。相2.三相電源的聯接將三相電源的三個繞組以一定的方式聯接起來就構成三相電路的電源。通常的聯接方式是星形(也稱Y形)聯接和三角形(也稱△形)聯接。對三相發(fā)電機來說，通常采用星形聯接。1)三相電源的星形聯接將對稱三相電源的尾端X、Y、Z聯在一起，首端A、B、C引出作輸出線，這種聯接稱為三相電源的星形聯接。如圖2.42所示。聯接在一起的X、Y、Z點稱為三相電源的中點，用N表示，從中點引出的線稱為中線。三個電源首端A、B、C引出的線稱為端線(俗稱火線)。電源每相繞組兩端的電壓稱為電源的相電壓，電源相電壓用符號uA、uB、uC表示；而端線之間的電壓稱為線電壓，用uAB、uBC、uCA表示。規(guī)定線電壓的方向是由A線指向B線，B線指向C線，C線指向A線。下面分析星形聯接時對稱三相電源線電壓與相電壓的關系。根據圖4.5，由KVL可得，三相電源的線電壓與相電壓有以下關系：圖2.42星形聯接的三相電源uAB=uAuBuBC=uBuC圖2.43相量圖uCA=uCuA則相量形式為UABUAUBUUAUB由上式看出，星形聯接的對稱三相電源的線電壓也是對稱的。線電壓的有效值(Ul)是相電壓有效值(Up)的3倍，即Ul=3Up；式中各線電壓的相位超前于相應的相電壓三相電源星形聯接的供電方式有兩種，一種是三相四線制(三條端線和一條中線)，另一種是三相三線制，即無中線。目前電力網的低壓供電系統(tǒng)(又稱民用電)為三相四線制，此系統(tǒng)供電的線電壓為380V，相電壓為220V，通常寫作電源電壓380∕220V。圖2.45對稱三相負載的聯接2)三相電源的三角形聯接將對稱三相電源中的三個單相電源首尾相接，由三個聯接點引出三條端線就形成三角形聯接的對稱三相電源。如圖2.44所示。圖2.44三角形聯接的三相電源對稱三相電源三角形聯接時，只有三條端線，沒有中線，它一定是三相三線制。在圖2.58中可以明顯地看出，線電壓就是相應的相電壓，即ABAuABAABAU.=ABABCBuBCBBCBU.=BCBuCA=uC或U.CA=U.C上式說明三角形聯接的對稱三相電源，線電壓等于相應的相電壓。三相電源三角形聯接時，形成一個閉合回路。由于對稱三相電源U.A+U.B+U.C=0，所以回路中不會有電流。但若有一相電源極性接反，造成三相電源電壓之和不為零，將會在回路中產生很大的電流。所以三相電源作為三角形聯接時，聯接前必須檢查。3.對稱三相電路組成三相交流電路的每一相電路是單相交流電路。整個三相交流電路則是由三個單相交流電路所組成的復雜電路，它的分析方法是以單相交流電路的分析方法為基礎的。對稱三相電路是由對稱三相電源和對稱三相負載聯接組成。一般電源均為對稱電源，因此只要負載是對稱三相負載，則該電路為對稱三相電路。所謂對稱三相負載是指三相負載的三個復阻抗相同。三相負載一般也接成星形或三角形，如圖2.45所示。(a)負載的三角形聯接(b)負載的星形聯接1)負載Y聯接的對稱三相電路圖2.46中，三相電源作星形聯接。三相負載也作星形聯接，且有中線。這種聯接稱Y—Y聯接的三相四線制。圖2.46三相四線制設每相負載阻抗均為Z=Z/Q。N為電源中點，n為負載的中點，Nn為中線。設中線的阻抗為ZN。每相負載上的電壓稱為負載相電壓，用U.an，U.bn，U.cn表示；負載端線之間的電壓稱為負載的線電壓，用U.ab，U.bc，U.ca表示。各相負載中的電流稱為相電流，用I.a，I.b，I.c表示；火線中的電流稱為線電流，用I.A，I.B，I.C表示。線電流的參考方向從電源端指向負載端，中線電流I.N的參考方向從負載端指向電源端。對于負載Y聯接的電路，線電流I.A就是相電流I.a。三相電路實際上是一個復雜正弦交流電路，采用節(jié)點法分析此電路可得結論是負載中點與電源中點等電位，它與中線阻抗的大小無關。由此可得上式表明：負載相電壓等于電源相電壓(在忽略輸電線阻抗時)，即負載三相電壓也為對稱三相電壓。若以U.A為參考相量，則線電流為I.A=U.an=U.AZZ=/-QUpZ=/-Q-120°ZICUcnUCZZ=/-Q+120°上式可見，三相電流也是對稱的。因此，對稱Y—Y聯接電路有中線時的計算步驟可歸結為：(1)先進行一個相的計算(如A相)，首先根據電源找到該相的相電壓，算出I.A；(2)根據對稱性，推知其它兩相電流I.B，I.C；INI.A+I.B+I.C=0。設則若對稱Y—Y聯接電路中無中線，即ZN=∞時，由節(jié)點法分析可知U.nN=0即負載中點設則與電源中點仍然等電位，此時相當于三相四線制。即每相電路看成是獨立的，計算時采用如上的三相四線制的計算方法?？梢?，對稱Y—Y聯接的電路，不論有無中線以及中線阻抗的大小，都不會影響各相負載的電流和電壓。由于U.nN=0，所以負載的線電壓與相電壓的關系同電源的線電壓與相電壓的關系相同n即lpU=3Ulp式中Ul為負載的線電壓和相電壓。當忽略輸電線阻抗時,Ul=Ulp。綜上所述可知，負載星形聯接的對稱三相電路其負載電壓、電流有以下特點：(1)線電壓、相電壓，線電流、相電流都是對稱的。(2)線電流等于相電流。例1某對稱三相電路，負載為Y形聯接，三相三線制，其電源線電壓為380V，每相負載阻抗Z=8+j6Ω，忽略輸電線路阻抗。求負載每相電流，畫出負載電壓和電流相量圖。解：已知Ul=380V，負載為Y形聯接，其電源無論是Y形還是△形聯接，都可用等效的Y形聯接的三相電源進行分析。380U==2203電源相電壓3電源相電壓VU.A=220/0°V=Z=8+j6=22/-36.9=Z=8+j6=22/-36.9°A根據對稱性可得：I.B=22/-36.9°-120°=22/-156.9°AI.C=22/-36.9°+120°=22/83.1°A相量圖如圖2.47。例2如圖2.48所示為一對稱三相電路，對稱三相電源的線電壓為380V，每相負載的阻抗Z=80/-30°Ω，輸電線阻抗Zl=1+j2Ω,求三相負載的相電壓、線電壓、相電流。380U==220p解：電源相電壓3Vp設U.A=220/0°V則I.A====2.69/-30.9°A由對稱性得I.B=2.69/-150.9°AI.C=2.69/89.1°A三相負載的相電壓=215.2/-0.9°VUbn2/-120.9°V三相負載的線電壓U.ab=3U.an/30°=372.7/29.1°VU.bc=372.1/-90.9°Vca=ca=372.1/149.1°V由于輸電線路阻抗的存在，負載的相電壓、線電壓與電源的相電壓、線電壓不相等，但仍是對稱的。2)負載△聯接的對稱三相電路負載作三角形聯接，如圖2.49所示。由圖可以看出，與負載相聯的三個電源一定是線電壓，不管電源是星形聯接還是三角形聯接。負載的相電流為負載三角形聯接的對稱三相電路l/0°V，當忽略輸電線阻抗時，負載線電壓等于電源線電壓。lI.ab===lI.bc===/-Q-120°I.ab===/-Q+120°線電流為I.A=I.ab一I.ca=ab/-30°IBIbcIabbc0°ICIcaIbcca°綜上所述可知：負載△形聯接的對稱三相電路，其負載電壓、電流有以下特點：(1)相電壓、線電壓，相電流、線電流均對稱。(2)每相負載上的線電壓等于相電壓。 (3)線電流大小的有效值等于相電流有效值的 倍。即Il=3Ip,且線電流滯后相應的相電流例3已知負載△聯接的對稱三相電路，電源為Y形聯接，其相電壓為110V，負載每相阻抗Z=4+j3Ω。求負載的相電壓和線電流。pVpV設則相電流根據對稱性得線電流I.ab===38/-36.9°AI.bc=38/-156.9°Aca=38/83.1°I.A=ab/-30°I.B=66/-186.9°=66/173.1°AIC6/53.1°A負載三角形連接的電路，還可以利用阻抗的Y—△等效變換，將負載變換為星形聯接，再按Y—Y聯接的電路進行計算。例4設有一對稱三相電路如圖2.51(a)所示，對稱三相電源相電壓U.A=220/0°V。每Z30°Ω，線路阻抗Zl=1+j2Ω，求負載的相電壓、相電流和線電流。解：將△形聯接的對稱三相負載變換成Y形聯接的對稱三相負載。取經變換后的電路中的一相等效電路，如圖2.51(b)所示。線電流I.A====6.9/-32.2°A負載相電流3/30°=36.9/-32.2°=3.89/-2.2°AI負載相電流3/30°=36.9/-32.2°=3.89/-2.2°A△聯接負載的相電壓等于負載線電壓，根據圖4.14(a)可得U.ab=ZI.ab=90/30°3.89/-2.2°=358.2/27.8°A根據對稱性可得其它兩相的相電壓、相電流和線電流。4.不對稱三相電路在三相電路中，電源和負載只要有一個不對稱，則三相電路就不對稱。一般來說，三相電源總可以認為是對稱的。不對稱主要是指負載不對稱。日常照明電路就屬于這種。圖2.52所示三相四線制電路中，負載不對稱，假設中線阻抗為零，則每相負載上的電壓一定等于該相電源的相電壓，而三相電流由于負載阻抗不同而不對稱。即負載相電壓對稱為負載相電流不對稱為I.A=I.B=I.C=圖2.52Y—Y聯接的不對稱三相電路此時中線電流I.N=I.A+I.B+I.C0如將圖2.52中的中線去掉，形成三相三線制，如圖2.53所示。根據節(jié)點電壓法可知U.nN一般不等于零，即負載中點n的電位與電源中點N的電位不相等，發(fā)生了中點位移，相量圖如圖2.54所示。由相量圖可以看出，中點位移標志著負載I.A=I.B=I.C=UanUbnUcn的電流也是不對稱的。圖2.53Y聯接的三相三線制圖2.54相量圖綜上所述，在不對稱三相電路中，如果有中線，且輸電線阻抗Z≈0，則中線可迫使UnN=0，盡管電路不對稱，但可使負載相電壓對稱，以保證負載正常工作；若無中線，則中點位移，造成負載相電壓不對稱，從而可能使負載不能正常工作?？梢?，中線作用至關重要，且不能斷開。實際接線中，中線的干線必須考慮有足夠的機械強度，且不允許安裝開關和熔絲。例5電路如圖2.55所示，每只燈泡的額定電壓為220V，額定功率為100w，電源系220/380V電網，試求：(1)有中線時(即三相四線制)，各燈泡的亮度是否一樣；(2)中線斷開時(即三相三線制)，各燈泡能正常發(fā)光嗎？解：(1)有中線時，盡管此時三相負載不對稱，但是有中線，加在各相燈泡上的電壓均為220V，各燈泡正常發(fā)光，亮度一樣。(2)中線斷開時，由節(jié)點電壓法得：++每盞燈泡電阻為U2202R=P=