高一學(xué)科素養(yǎng)能力競賽函數(shù)與性質(zhì)測試題

高一學(xué)科素養(yǎng)能力競賽函數(shù)與性質(zhì)測試題第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2021·福建·廈門一中高一競賽）已知函數(shù)，若f(x)滿足，則f（6）＝（

）A．－6 B．0 C．6 D．12【答案】D【分析】將變形為，令，則是奇函數(shù)，再結(jié)合，利用奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，令，則，所以是奇函數(shù)，，所以，又，所以.故選：D2．（2022浙江溫州高一競賽）設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（

）A．與有關(guān)，且與有關(guān) B．與無關(guān)，且與有關(guān)C．與有關(guān)，且與無關(guān) D．與無關(guān)，且與無關(guān)【答案】D【解析】通過對進(jìn)行討論，再用復(fù)合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與是否有關(guān).【詳解】函數(shù)（，），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.則且，，的單調(diào)性都為單調(diào)遞減.所以函數(shù)（，）的單調(diào)性與無關(guān).故選：D3．（2021·福建·廈門一中高一競賽）定義在上的函數(shù)f(x)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)題意得出函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域即可求解.【詳解】不妨設(shè)任意的，，因?yàn)?，則，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減.不等式等價(jià)于，又，所以等價(jià)于，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以，即不等式的解集為.故選：B.4．（2022河南高一競賽）已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為（）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】令，可以求得，即可求出解析式，進(jìn)而求出函數(shù)值.【詳解】根據(jù)題意，令，為常數(shù)，可得，且，所以時(shí)有，將代入，等式成立，所以是的一個(gè)解，因?yàn)殡S的增大而增大，所以可以判斷為增函數(shù)，所以可知函數(shù)有唯一解，又因?yàn)?，所以，即，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的表示方法，屬于中檔題.5．（2022新疆高一競賽）函數(shù)與有相同的定義域，且對定義域中的任意x，有且，則函數(shù)是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】B【解析】先說明函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再證明奇偶性.【詳解】對定義域中的任意x，有，則函數(shù)為奇函數(shù)即函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，由于，則函數(shù)的定義域與函數(shù)的定義域相同，則函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.即，則函數(shù)在定義域上為偶函數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.6．（2022黑龍江高三競賽）設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有x之和為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)已知函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)是單調(diào)函數(shù)，且有，則說明而來，那么解方程可知滿足方程的解求解得到方程的根滿足，那么結(jié)合韋達(dá)定理可知四個(gè)根的和為-8，故選C.考點(diǎn)：本試題考查了函數(shù)與方程的問題．點(diǎn)評：對于方程根的求解，要結(jié)合函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)的對稱性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性來分析得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022浙江高三競賽）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)為奇函數(shù)且在實(shí)數(shù)上為增函教，進(jìn)而即得.【詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)?，又，∴函?shù)為奇函數(shù)，又所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得，即，∴，即.故選：D．8．（2022安徽高一競賽）函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足：(1)在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱函數(shù)為“夢想函數(shù)”.若函數(shù)是“夢想函數(shù)”，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“夢想函數(shù)”定義將問題改寫為，等價(jià)轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為二次方程，利用根的分布求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是“夢想函數(shù)”，所以在上的值域?yàn)?，且函?shù)是單調(diào)遞增的.所以，即∴有2個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，令即有兩個(gè)不等正根，∴且兩根之積等于，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】此題以函數(shù)新定義為背景，實(shí)際考查函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的問題，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，綜合性比較強(qiáng).二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9．（2022·山東日照·高一競賽）對于實(shí)數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如.定義函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)是周期函數(shù)C．方程在僅有一個(gè)解 D．函數(shù)是增函數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)定義判斷A，利用分段函數(shù)形式表示，根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，再依次判斷選項(xiàng)B，C，D即可.【詳解】由題意知，畫出分段函數(shù)的圖象，對選項(xiàng)A，定義可得，故A不正確；對選項(xiàng)B，由圖知函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；對選項(xiàng)C，函數(shù)與函數(shù)在有一個(gè)交點(diǎn)，即方程在僅有一個(gè)解，故C正確；對選項(xiàng)D，由圖象可知，所以函數(shù)不是增函數(shù)，故D不正確.故選：BC.10．（2022·廣東高一競賽）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)為奇函數(shù)D．是函數(shù)圖象的對稱軸【答案】ACD【分析】由題意先表達(dá)出，再分別計(jì)算各函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與對稱性滿足的條件判斷即可.【詳解】.對A，若，則，故A正確；對B，若，無奇偶性，故B錯(cuò)誤；對C，若，則，故C正確；對D，若，所以，得，故正確.故選：ACD11．（2022·吉林高一競賽）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對任意且，恒有B．對任意，恒有C．函數(shù)與的圖象共有5個(gè)交點(diǎn)D．若的最大值為，則【答案】BCD【分析】由題意畫出的圖象，對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，而對任意且，恒有，表示函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，故A不正確；對于B，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，為凹函數(shù)，所以，故B正確；對于C，由圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，解得或，由圖可知，若的最大值為，則，故D正確.故選：BCD.12．（2022重慶高一競賽）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，若對任意，存在正數(shù)M，使得成立，則稱函數(shù)是定義在A上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（

）A．

B．C．

D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意計(jì)算每個(gè)函數(shù)的值域，再分析是否有界即可.【詳解】對于A，，由于，所以，所以，故不存在正數(shù)M，使得成立.對于B，令，則，，當(dāng)時(shí)，u取得最大值4，所以，所以，故存在正數(shù)2，使得成立.對于C，令，則，易得，所以，即，故存在正數(shù)5，使得成立.對于D，令，則，，則，易得，所以，故不存在正數(shù)M，使得成立.故選：BC第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．（2021·浙江溫州·高一競賽）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則________.【答案】2【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以有，時(shí)，，當(dāng)，，，所以.故答案為：214．（2018·全國·高三競賽）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a，，使在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【分析】由題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造，研究其在上有兩個(gè)零點(diǎn)的情況下的取值范圍即可.【詳解】由題設(shè)，為增函數(shù)且定義域?yàn)?，要使在上的值域?yàn)?，∴，易知：，∴與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)根且恒成立即，∴對于，有，可得，故答案為：15．（2021·全國·高三競賽）已知定義在上的函數(shù)滿足，若，則方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為___________．【答案】2【詳解】令得；令，且，得；令，，得．下面說明：方程的整數(shù)解只有：和1．令，得．

①一方面，當(dāng)時(shí)，由可知：，則，即對一切大于1的正整數(shù)k，恒有；另一方面，易求得，當(dāng)整數(shù)時(shí)，由①得，則，即．綜上可知：方程的整數(shù)解只有2個(gè)：和1．故答案為：2.16．（2020·江蘇·高三競賽）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的最大值為___________．【答案】1【詳解】解析：由題意，則，求導(dǎo)可得為單調(diào)遞增的函數(shù)，故，則，解得，則實(shí)數(shù)的最大值為1．故答案為：1.四、解答題:本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2021·福建·廈門一中高一競賽）已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù)都有成立，且(1)求的解析式；(2)，若存在，使得，有成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）賦值法，令y＝1，求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)題干中的條件，只需，先求出函數(shù)的最大值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，進(jìn)而求出a的取值范圍.(1)∵函數(shù)對一切實(shí)數(shù)都有成立，且，令y＝1，則，．.(2)由題意，有，則，對于g(x)，當(dāng)x＝0時(shí)，g(0)＝0，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在x＝1處取到最小值，所以，所以，綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到，所以；設(shè)，則h(x)為開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為x＝a，下面通過對稱軸的位置對h(x)的最值情況進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，對稱軸距離區(qū)間右側(cè)x＝2更遠(yuǎn)，故，∴，即；2）當(dāng)時(shí)，對稱軸距離區(qū)間左側(cè)x＝－1更遠(yuǎn)，故，∴，即；綜上，．18．（2021·福建·廈門一中高一競賽）已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足．（1）若，求；（2）證明：函數(shù)f(x)的周期是2；（3）當(dāng)時(shí)，f(x)＝2x，求f(x)在時(shí)的解析式，并寫出f(x)在時(shí)的解析式．【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）代入由已知先求得，繼而求得；（2）令x取x＋1得，代入可求得，由此可得函數(shù)的周期；（3）由當(dāng)時(shí)，，代入可求得；由函數(shù)的周期得當(dāng)時(shí)，，．可求得函數(shù)解析式.【詳解】解：（1）所以，故；（2）因?yàn)椋顇取x＋1得，所以，所以，2是函數(shù)f(x)的周期．（3）當(dāng)時(shí)，，則，又，即，解得．所以當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閒(x)的周期為2，所以當(dāng)時(shí)，．所以.19．（2020·浙江溫州·高一競賽）已知函數(shù)，其中a，b，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為：，；（2）最小值為1.【解析】（1）將代入，去絕對值得出分段函數(shù)，然后作出圖象，觀察圖象即可得出結(jié)果.（2）根據(jù)題意可得，解得，討論，；，；，或，根據(jù)絕對值三角不等式即可求解.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，對稱軸為，結(jié)合圖象，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)減區(qū)間為：，.（2）∵對任意，都有恒成立，即對任意，都有恒成立，∴，且對任意實(shí)數(shù)a，b，恒成立，.①當(dāng)，時(shí)，恒成立，②當(dāng)，時(shí)，恒成立，③當(dāng)，時(shí)，由恒成立，則，④當(dāng)時(shí)，對一切時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，綜上所述，的最小值為1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立以及絕對值三角不等式，解題的關(guān)鍵是確定，考查了分類討論的思想.20．（2015·廣東潮州·高一競賽）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）設(shè)，若記，求函數(shù)的最大值的表達(dá)式．【答案】（1），偶函數(shù)；（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件和奇偶性的定義即可求的定義域和奇偶性；（2）依題意可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，分別求出函數(shù)的最大值；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，解得，故函?shù)定義域是，因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)．（2）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，即函數(shù)的值域?yàn)?，即∴令∵拋物線的對稱軸為①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴；②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，若即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴；若即時(shí)，；若即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴；綜上得21．（2022湖北高一競賽）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)解關(guān)于的不等式;(3)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)直接化簡求值；（2）判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性可得函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，解不等式即可；（3）由函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，可得有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)根，利用判別式求參數(shù)范圍.（1）函數(shù)的定義或?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù).，即，，；（2），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，，解得或，所以所求不等式的解集為；（3）函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，，即，，設(shè)，則，即，又在上單調(diào)遞增，所以方程有兩個(gè)不等的正根；，解得，即的取值范圍為.22